R o z k ł a d n o r m a l n y
1
-� x2
1
2
f(x) = e
2p�
Wartości dystrybuanty F�(x) zmiennej losowej x o rozkładzie normalnym N(0,1).
x
1
-� t2
1
2
F�(x) =� e dt
2p�
��
-�Ą�
x F�(x) x F�(x) x F�(x) x F�(x) x F�(x)
0,00 0,500000 1,00 0,841345 2,00 0,977250 3,00 0,998650 4,00 0,999968
0,05 0,519939 1,05 0,853141 2,05 0,979818 3,05 0,998856 4,05 0,999974
0,10 0,539828 1,10 0,864334 2,10 0,982136 3,10 0,999032 4,10 0,999979
0,15 0,559618 1,15 0,874928 2,15 0,984222 3,15 0,999184 4,15 0,999983
0,20 0,579260 1,20 0,884930 2,20 0,986097 3,20 0,999313 4,20 0,999987
0,25 0,598706 1,25 0,894350 2,25 0,987776 3,25 0,999423 4,25 0,999989
0,30 0,617911 1,30 0,903199 2,30 0,989276 3,30 0,999517 4,30 0,999991
0,35 0,636831 1,35 0,911492 2,35 0,990613 3,35 0,999596 4,35 0,999993
0,40 0,655422 1,40 0,919243 2,40 0,991802 3,40 0,999663 4,40 0,999995
0,45 0,673645 1,45 0,926471 2,45 0,992857 3,45 0,999720 4,45 0,999996
0,50 0,691462 1,50 0,933193 2,50 0,993790 3,50 0,999767 4,50 0,999997
0,55 0,708840 1,55 0,939429 2,55 0,994614 3,55 0,999807 4,55 0,999997
0,60 0,725747 1,60 0,945201 2,60 0,995339 3,60 0,999841 4,60 0,999998
0,65 0,742154 1,65 0,950529 2,65 0,995975 3,65 0,999869 4,65 0,999998
0,70 0,758036 1,70 0,955435 2,70 0,996533 3,70 0,999892 4,70 0,999999
0,75 0,773373 1,75 0,959941 2,75 0,997020 3,75 0,999912 4,75 0,999999
0,80 0,788145 1,80 0,964070 2,80 0,997445 3,80 0,999928 4,80 0,999999
0,85 0,802338 1,85 0,967843 2,85 0,997814 3,85 0,999941 4,85 0,999999
0,90 0,815940 1,90 0,971284 2,90 0,998134 3,90 0,999952 4,90 1,000000
0,95 0,828944 1,95 0,974412 2,95 0,998411 3,95 0,999961 4,95 1,000000
Wartości zmiennej losowej x o rozkładzie normalnym N(0,1) dla zadanej wartości dystrybuanty F�(x).
F�(x) x F�(x) x F�(x) x F�(x) x F�(x) x
0,50 0,00000 0,60 0,25335 0,70 0,52440 0,80 0,84162 0,90 1,28155
0,51 0,02507 0,61 0,27932 0,71 0,55338 0,81 0,87790 0,91 1,34075
0,52 0,05015 0,62 0,30548 0,72 0,58284 0,82 0,91537 0,92 1,40507
0,53 0,07527 0,63 0,33185 0,73 0,61281 0,83 0,95416 0,93 1,47579
0,54 0,10043 0,64 0,35846 0,74 0,64334 0,84 0,99446 0,94 1,55477
0,55 0,12566 0,65 0,38532 0,75 0,67449 0,85 1,03643 0,95 1,64485
0,56 0,15097 0,66 0,41246 0,76 0,70630 0,86 1,08032 0,96 1,75069
0,57 0,17637 0,67 0,43991 0,77 0,73885 0,87 1,12639 0,97 1,88079
0,58 0,20189 0,68 0,46770 0,78 0,77219 0,88 1,17499 0,98 2,05375
0,59 0,22755 0,69 0,49585 0,79 0,80642 0,89 1,22653 0,99 2,32634
2
R o z k ł a d c�
Tablica podaje wartości c�a�2 dla n stopni swobody takie, że
Ą�
1 1
1
n-�1
2
2 2
P(c�2ń�c�a� ) =� x �� e-� xdx =� a�
1
n
1
2 ��
G�( n) �� 2
2
2
c�a�
a� = 0,995 a� = 0,990 a� = 0,975 a� = 0,950 a� = 0,050 a� = 0,040 a� = 0,030 a� = 0,025 a� = 0,020 a� = 0,010 a� = 0,005 a� = 0,001
Ż� n
1 0,00004 0,0002 0,0010 0,0039 3,84 4,22 4,71 5,02 5,41 6,63 7,88 10,83
2 0,010 0,020 0,051 0,103 5,99 6,44 7,01 7,38 7,82 9,21 10,60 13,82
3 0,07 0,11 0,22 0,35 7,81 8,31 8,95 9,35 9,84 11,34 12,84 16,27
4 0,21 0,30 0,48 0,71 9,49 10,03 10,71 11,14 11,67 13,28 14,86 18,47
5 0,41 0,55 0,83 1,15 11,07 11,64 12,37 12,83 13,39 15,09 16,75 20,52
6 0,68 0,87 1,24 1,64 12,59 13,20 13,97 14,45 15,03 16,81 18,55 22,46
7 0,99 1,24 1,69 2,17 14,07 14,70 15,51 16,01 16,62 18,48 20,28 24,32
8 1,34 1,65 2,18 2,73 15,51 16,17 17,01 17,53 18,17 20,09 21,95 26,12
9 1,73 2,09 2,70 3,33 16,92 17,61 18,48 19,02 19,68 21,67 23,59 27,88
10 2,16 2,56 3,25 3,94 18,31 19,02 19,92 20,48 21,16 23,21 25,19 29,59
11 2,60 3,05 3,82 4,57 19,68 20,41 21,34 21,92 22,62 24,72 26,76 31,26
12 3,07 3,57 4,40 5,23 21,03 21,79 22,74 23,34 24,05 26,22 28,30 32,91
13 3,57 4,11 5,01 5,89 22,36 23,14 24,12 24,74 25,47 27,69 29,82 34,53
14 4,07 4,66 5,63 6,57 23,68 24,49 25,49 26,12 26,87 29,14 31,32 36,12
15 4,60 5,23 6,26 7,26 25,00 25,82 26,85 27,49 28,26 30,58 32,80 37,70
16 5,14 5,81 6,91 7,96 26,30 27,14 28,19 28,85 29,63 32,00 34,27 39,25
17 5,70 6,41 7,56 8,67 27,59 28,44 29,52 30,19 31,00 33,41 35,72 40,79
18 6,26 7,01 8,23 9,39 28,87 29,75 30,84 31,53 32,35 34,81 37,16 42,31
19 6,84 7,63 8,91 10,12 30,14 31,04 32,16 32,85 33,69 36,19 38,58 43,82
20 7,43 8,26 9,59 10,85 31,41 32,32 33,46 34,17 35,02 37,57 40,00 45,31
21 8,03 8,90 10,28 11,59 32,67 33,60 34,76 35,48 36,34 38,93 41,40 46,80
22 8,64 9,54 10,98 12,34 33,92 34,87 36,05 36,78 37,66 40,29 42,80 48,27
23 9,26 10,20 11,69 13,09 35,17 36,13 37,33 38,08 38,97 41,64 44,18 49,73
24 9,89 10,86 12,40 13,85 36,42 37,39 38,61 39,36 40,27 42,98 45,56 51,18
25 10,52 11,52 13,12 14,61 37,65 38,64 39,88 40,65 41,57 44,31 46,93 52,62
26 11,16 12,20 13,84 15,38 38,89 39,89 41,15 41,92 42,86 45,64 48,29 54,05
27 11,81 12,88 14,57 16,15 40,11 41,13 42,41 43,19 44,14 46,96 49,64 55,48
28 12,46 13,56 15,31 16,93 41,34 42,37 43,66 44,46 45,42 48,28 50,99 56,89
29 13,12 14,26 16,05 17,71 42,56 43,60 44,91 45,72 46,69 49,59 52,34 58,30
30 13,79 14,95 16,79 18,49 43,77 44,83 46,16 46,98 47,96 50,89 53,67 59,70
31 14,46 15,66 17,54 19,28 44,99 46,06 47,40 48,23 49,23 52,19 55,00 61,10
32 15,13 16,36 18,29 20,07 46,19 47,28 48,64 49,48 50,49 53,49 56,33 62,49
33 15,82 17,07 19,05 20,87 47,40 48,50 49,88 50,73 51,74 54,78 57,65 63,87
34 16,50 17,79 19,81 21,66 48,60 49,72 51,11 51,97 53,00 56,06 58,96 65,25
35 17,19 18,51 20,57 22,47 49,80 50,93 52,34 53,20 54,24 57,34 60,27 66,62
2
Rozkład t Studenta
Tablica podaje wartości ta� dla n-1 stopni swobody (df) takie, że
Ą�
2 1
P T ń�ta� =�
dx =� a�
(� )�
n
��
�� ��
n -1 �� Bć� 12,(n -1)2 �� ta� ć�1+� x2 ��
2
Ł� ł�
��
Ł� (n -1)��
ł�
dwustronny
a� =0,200 a� =0,100 a� =0,050 a� =0,020 a� =0,010 a� =0,005 a� =0,002
jednostronny
a� =0,100 a� =0,050 a� =0,025 a� =0,010 a� =0,005 a� =0,0025 a� =0,001
Ż� df Ż�
1 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3
2
1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33
3
1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21
4
1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173
5
1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,894
6
1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208
7
1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785
8
1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501
9
1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297
10
1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144
11
1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025
12
1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930
13
1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852
14
1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787
15
1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733
16
1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686
17
1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646
18
1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610
19
1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579
20
1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552
25
1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450
30
1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385
40
1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307
50
1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261
60
1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232
120
1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 2,860 3,160
Ą�
1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090
3
Rozkład F
Wartości krytyczne rozkładu F dla podanego poziomu istotności. Liczby stopni swobody w główce tablicy
dotyczą wyższego oszacowania wariancji, natomiast liczby stopni swobody w pierwszej kolumnie tablicy
 niższego oszacowania wariancji.
Uwaga: podane wartości p dotyczą testu jednostronnego.
Dla testu dwustronnego wartości p wynoszą odpowiednio p=0,10 i p=0,05.
p=0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 40
1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 233,99 236,77 238,88 240,54 241,88 242,98 243,90 245,95 248,02 251,14
2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,43 19,45 19,47
3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,70 8,66 8,59
4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,86 5,80 5,72
5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,62 4,56 4,46
6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,94 3,87 3,77
7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,51 3,44 3,34
8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,22 3,15 3,04
9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,01 2,94 2,83
10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,85 2,77 2,66
11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,72 2,65 2,53
12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,62 2,54 2,43
15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,40 2,33 2,20
20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,20 2,12 1,99
30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,01 1,93 1,79
40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,92 1,84 1,69
50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99 1,95 1,87 1,78 1,63
100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89 1,85 1,77 1,68 1,52
500 3,86 3,01 2,62 2,39 2,23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 1,81 1,77 1,69 1,59 1,42
1000 3,85 3,00 2,61 2,38 2,22 2,11 2,02 1,95 1,89 1,84 1,80 1,76 1,68 1,58 1,41
P=0,025 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20 40
1005,6
1 647,79 799,48 864,15 899,60 921,83 937,11 948,20 956,64 963,28 968,63 973,03 976,72 984,87 993,08 0
2 38,51 39,00 39,17 39,25 39,30 39,33 39,36 39,37 39,39 39,40 39,41 39,41 39,43 39,45 39,47
3 17,44 16,04 15,44 15,10 14,88 14,73 14,62 14,54 14,47 14,42 14,37 14,34 14,25 14,17 14,04
4 12,22 10,65 9,98 9,60 9,36 9,20 9,07 8,98 8,90 8,84 8,79 8,75 8,66 8,56 8,41
5 10,01 8,43 7,76 7,39 7,15 6,98 6,85 6,76 6,68 6,62 6,57 6,52 6,43 6,33 6,18
6 8,81 7,26 6,60 6,23 5,99 5,82 5,70 5,60 5,52 5,46 5,41 5,37 5,27 5,17 5,01
7 8,07 6,54 5,89 5,52 5,29 5,12 4,99 4,90 4,82 4,76 4,71 4,67 4,57 4,47 4,31
8 7,57 6,06 5,42 5,05 4,82 4,65 4,53 4,43 4,36 4,30 4,24 4,20 4,10 4,00 3,84
9 7,21 5,71 5,08 4,72 4,48 4,32 4,20 4,10 4,03 3,96 3,91 3,87 3,77 3,67 3,51
10 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,78 3,72 3,66 3,62 3,52 3,42 3,26
11 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59 3,53 3,47 3,43 3,33 3,23 3,06
12 6,55 5,10 4,47 4,12 3,89 3,73 3,61 3,51 3,44 3,37 3,32 3,28 3,18 3,07 2,91
15 6,20 4,77 4,15 3,80 3,58 3,41 3,29 3,20 3,12 3,06 3,01 2,96 2,86 2,76 2,59
20 5,87 4,46 3,86 3,51 3,29 3,13 3,01 2,91 2,84 2,77 2,72 2,68 2,57 2,46 2,29
30 5,57 4,18 3,59 3,25 3,03 2,87 2,75 2,65 2,57 2,51 2,46 2,41 2,31 2,20 2,01
40 5,42 4,05 3,46 3,13 2,90 2,74 2,62 2,53 2,45 2,39 2,33 2,29 2,18 2,07 1,88
50 5,34 3,97 3,39 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,38 2,32 2,26 2,22 2,11 1,99 1,80
100 5,18 3,83 3,25 2,92 2,70 2,54 2,42 2,32 2,24 2,18 2,12 2,08 1,97 1,85 1,64
500 5,05 3,72 3,14 2,81 2,59 2,43 2,31 2,22 2,14 2,07 2,02 1,97 1,86 1,74 1,52
1000 5,04 3,70 3,13 2,80 2,58 2,42 2,30 2,20 2,13 2,06 2,01 1,96 1,85 1,72 1,50
4
Wartości krytyczne T testu Wilcoxona
(dla pojedynczej próby i dla par wiązanych).
Tablica przystosowana do mniejszej z dwóch wartości T, poziom istotności  a�, liczba
par  N. Jeżeli otrzymana statystyka T jest mniejsza lub równa Ta� krytycznemu
odczytanemu z tej tablicy to wówczas odrzucamy hipotezę zerową.
kierunek określony a�=
0,025 0,010 0,005
kierunek nieokreślony a�=
N 0,050 0,020 0,010
6 0 - -
7 2 0 -
8 4 2 0
9 6 3 2
10 8 5 3
11 11 7 5
12 14 10 7
13 17 13 10
14 21 16 13
15 25 20 16
16 30 24 20
17 35 28 23
18 40 33 28
19 46 38 32
20 52 43 38
21 59 49 43
22 66 56 49
23 73 62 55
24 81 69 61
25 89 77 68
5
Test a posteriori Tukeya
Rozstęp studentyzowany, Q dla poziomu istotności 0,05.
zabiegi��
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
st.swobodyŻ�
1 18,00 27,00 32,80 37,20 40,50 43,10 45,40 47,30 49,10 50,60 51,90 53,20 54,30 55,40 56,30 57,20 58,00 58,80 59,60
2 6,09 8,33 9,80 10,89 11,73 12,43 13,03 13,54 13,99 14,39 14,75 15,08 15,38 15,65 15,91 16,14 16,36 16,57 16,77
3 4,50 5,91 6,83 7,51 8,04 8,47 8,85 9,18 9,46 9,72 9,95 10,16 10,35 10,52 10,69 10,84 10,98 11,12 11,24
4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,06 7,35 7,60 7,83 8,03 8,21 8,37 8,52 8,67 8,80 8,92 9,03 9,14 9,24
5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 6,99 7,17 7,32 7,47 7,60 7,72 7,83 7,93 8,03 8,12 8,21
6 3,46 4,34 4,90 5,31 5,63 5,89 6,12 6,32 6,49 6,65 6,79 6,92 7,04 7,14 7,24 7,34 7,43 7,51 7,59
7 3,34 4,16 4,68 5,06 5,35 5,59 5,80 5,99 6,15 6,29 6,42 6,54 6,65 6,75 6,84 6,93 7,01 7,08 7,16
8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5,60 5,77 5,92 6,05 6,18 6,29 6,39 6,48 6,57 6,65 6,73 6,80 6,87
9 3,20 3,95 4,42 4,76 5,02 5,24 5,43 5,60 5,74 5,87 5,98 6,09 6,19 6,28 6,36 6,44 6,51 6,58 6,65
10 3,15 3,88 4,33 4,66 4,91 5,12 5,30 5,46 5,60 5,72 5,83 5,93 6,03 6,12 6,20 6,27 6,34 6,41 6,47
11 3,11 3,82 4,26 4,58 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 5,61 5,71 5,81 5,90 5,98 6,06 6,14 6,20 6,27 6,33
12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5,12 5,27 5,40 5,51 5,61 5,71 5,80 5,88 5,95 6,02 6,09 6,15 6,21
13 3,06 3,73 4,15 4,46 4,69 4,88 5,05 5,19 5,32 5,43 5,53 5,63 5,71 5,79 5,86 5,93 6,00 6,06 6,11
14 3,03 3,70 4,11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 5,36 5,46 5,56 5,64 5,72 5,79 5,86 5,92 5,98 6,03
15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,59 4,78 4,94 5,08 5,20 5,31 5,40 5,49 5,57 5,65 5,72 5,79 5,85 5,91 5,96
16 3,00 3,65 4,05 4,34 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 5,26 5,35 5,44 5,52 5,59 5,66 5,73 5,79 5,84 5,90
17 2,98 3,62 4,02 4,31 4,52 4,70 4,86 4,99 5,11 5,21 5,31 5,39 5,47 5,55 5,61 5,68 5,74 5,79 5,84
18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,49 4,67 4,83 4,96 5,07 5,17 5,27 5,35 5,43 5,50 5,57 5,63 5,69 5,74 5,79
19 2,96 3,59 3,98 4,26 4,47 4,64 4,79 4,92 5,04 5,14 5,23 5,32 5,39 5,46 5,53 5,59 5,65 5,70 5,75
20 2,95 3,58 3,96 4,24 4,45 4,62 4,77 4,90 5,01 5,11 5,20 5,28 5,36 5,43 5,50 5,56 5,61 5,66 5,71
24 2,92 3,53 3,90 4,17 4,37 4,54 4,68 4,81 4,92 5,01 5,10 5,18 5,25 5,32 5,38 5,44 5,50 5,55 5,59
30 2,89 3,48 3,84 4,11 4,30 4,46 4,60 4,72 4,83 4,92 5,00 5,08 5,15 5,21 5,27 5,33 5,38 5,43 5,48
40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,63 4,74 4,82 4,90 4,98 5,05 5,11 5,17 5,22 5,27 5,32 5,36
60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 4,65 4,73 4,81 4,88 4,94 5,00 5,06 5,11 5,15 5,20 5,24
120 2,80 3,36 3,69 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 4,56 4,64 4,71 4,78 4,84 4,90 4,95 5,00 5,04 5,09 5,13
Ą� 2,77 3,32 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47 4,55 4,62 4,68 4,74 4,80 4,84 4,89 4,93 4,97 5,01
6