Egzamin pisemny z matematyki
Wydzia WILiÅš, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013
l
Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa
e
Zad.Z1. [9p  rozwiazanie piszemy na stronie 1 ]
¸

Dane jest pole wektorowe F (x, y, z) = [3 cos x ey, 3 sin x ey - 2z sin y, 2 cos y - 3z2]. Sprawdzić, czy pole to jest


potencjalne. Jeżeli tak, wyznaczyć potencja tego pola. Obliczyć F ć% d gdzie krzywa L ma parametryzacj¸
l r, e
L
Ä„
x(t) = sin 2t, y(t) = sin 3t, z(t) = t, t " [0, ].
2
Zad.Z2. [6p  rozwiazanie piszemy na stronie 2 ]
¸
Obliczyć mas¸ luku L : {x(t) = et, y(t) = et, z(t) = t, t " [0, 1]}, jeżeli Á(x, y, z) = xy.
e
Zad.Z3. [8p  rozwiazanie piszemy na stronie 3 ]
¸
"

(-1)n(3x-6)n
"
Dany jest szereg pot¸ . Wyznaczyć promieÅ„ zbieżnoÅ›ci, przedzia zbieżnoÅ›ci, zbadać
egowy l
3
n+1
n=0
zbieżność (i określić jej rodzaj) w prawym krańcu przedzia zbieżności.
lu
Zad.Z4. [8p  rozwiazanie piszemy na stronie 4 ]
¸
1
Dana jest funkcja f(x) = . Rozwin¸Ä‡ funkcje f(x) i f2 (x) w szereg Taylora w otoczeniu x0 = -3.
a
x2+6x+18
Obliczyć f(46)(-3).
Zad.Z5. [9p  rozwiazanie piszemy na stronie 5 ]
¸
Dana jest g¸ prawdopodobieÅ„stwa zmiennej losowej X:
estość
Å„Å‚
òÅ‚
|x - 1| x " [0, 2]
f(x) = .
ół
0 x " [0, 2]
/
Obliczyć P (1 - X2 e" 0). Wyznaczyć dystrybuant¸ zmiennej losowej X oraz narysować jej wykres. Obliczyć
e
EX, D2X oraz D2(5X + 1).