Ruch telekomunikacyjny
Teoria ruchu
- definicja (2)
telekomunikacyjnego
Ruch telekomunikacyjny jest to zjawisko o
charakterze zbiorowym, dające się mierzyć za
pomocÄ… obserwacji statystycznych
Podstawy rachunku
i polegające na zestawianiu połączeń,
prawdopodobieństwa
przepływie zgłoszeń i wiadomości.
Zamiast pojęcia ruch telekomunikacyjny
u\
ywa siÄ™ niekiedy wyra\
enia  teletrafik (ang.
teletraffic).
2
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa
- pojęcia i definicje
- pojęcia i definicje
Dany jest zbiór &!, którego elementy ei
Zdarzenie  wynik dowolnego doświadczenia
nazywane sÄ… zdarzeniami elementarnymi.
(eksperymentu) przebiegajÄ…cego w
określonych warunkach
Niech zjawisko (zdarzenie) X stanowi
podzbiór zbioru &!.
Doświadczenie (w sensie teorii
Mówimy, \
e zjawisko (zdarzenie) X jest
prawdopodobieństwa) to proces, w wyniku
realizowalne, jeśli dla zdarzenia
którego realizowane są w rzeczywistości
elementarnego er, będącego wynikiem
zdarzenia elementarne.
doświadczenia, zachodzi relacja:
3 4
er " X.
Rachunek prawdopodobieństwa
Definicja prawdopodobieństwa
(na gruncie eksperymentalnym)
- pojęcia i definicje
Je\
eli podczas N doświadczeń n(X) razy
zaszło zdarzenie X, to
n ( X )
n(X )
N
Ka\
demu zdarzeniu X przyporzÄ…dkowujemy
N
liczbÄ™ rzeczywistÄ… p(X) zwanÄ…
nazywamy częstością zdarzenia A.
prawdopodobieństwem zdarzenia X.
Natomiast prawdopodobieństwo zaistnienia
zdarzenia X wyra\
a siÄ™ wzorem:
n( X )
p( X ) = lim"
N
5 N 6
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 1
Aksjomaty prawdopodobieństwa Własności prawdopodobieństwa
zdarzenia X zdarzenia X (1)
1. p(X) e" 0
2. p(&!) = 1 1. Je\
eli X` jest dopełnieniem do X w
&! (zdarzenie X` jest zdarzeniem przeciwnym
do zdarzenia X), to
Je\
eli X )" Y = " (zbiór pusty), X )" X = ", X *" X` = &!
to mówimy, \
e zdarzenia X i Y są rozłączne, oraz
a wtedy:
p(X) + p(X`) = p(&!)
3. p(X *" Y) = p(X) + p(Y) 7 p(X`) = 1 - p(X) 8
Własności prawdopodobieństwa Własności prawdopodobieństwa
zdarzenia X (2) zdarzenia X (3)
3. Je\
eli " oznacza zbiór pusty (&! *" " = &!),
2. Z równości p(X) + p(X`) = 1 i aksjomatu
to
p(X) e" 0 wynika, \
e:
p(&! *" ") = p(") + p(&!) = 1
0 d" p(X) d" 1
więc
stÄ…d
p(") = 0 (prawd. zdarzenia niemo\
liwego),
prawdopodobieństwo mo\
e być zdefiniowane
p(&!) = 1 (aksjomat 1., prawd. zdarzenia
jako odwzorowanie części zbioru &!
9 pewnego). 10
w zbiór liczb rzeczywistych [0, 1].
Prawdopodobieństwo całkowite
Prawdopodobieństwo warunkowe
Je\
eli A ‚" &! jest dowolnym zdarzeniem,
Dany jest zbiór &!, na którym zdefiniowano natomiast B1, B2, B3, ..., Bn ‚" &!
prawdopodobieństwo, natomiast zdarzenia A i B
spełniają warunki:
nale\
Ä… do tego zbioru oraz
1. B1 *" B2 *" B3 *" ... *" Bn = &!
p(B) > 0.
2. wykluczajÄ… siÄ™ parami B1 )" B2 = "
3. mają dodatnie prawdopodobieństwa, to
Prawdopodobieństwem zaistnienia zdarzenia A
pod warunkiem, \
e miało miejsce zdarzenie B,
nazywamy liczbÄ™ P(A) = P(A|B1)*P(B1) + P(A|B1)*P(B2) + ... + P(A|Bn)*P(Bn)
p(A )" B)
p(A | B) =
12
11
p(B)
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 2
Własności prawdopodobieństwa 
rozłączność a niezale\
ność
Pojęcie zmiennej losowej
Rozłączność nie dotyczy prawdopodobieństw:
Zmienna losowa  zmienna, która w wyniku
zdarzenia A i B są rozłączne, gdy A )" B = ".
doświadczenia mo\
e przyjąć jedną z wartości
z pewnego zbioru liczb rzeczywistych
Wtedy prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A i
(z określonym prawdopodobieństwem)
B jest równe sumie ich prawdopodobieństw.
Przykłady zmiennych losowych:
P(A *" B) = P(A)+P(B)
" liczba uszkodzonych podzespołów urządzenia, które ulega
Gdy zdarzenia sÄ… niezale\
ne, to
awariom
prawdopodobieństwo ich części wspólnej jest
" liczba obsługiwanych klientów przy kasie supermarketu
" liczba wyprodukowanych przedmiotów na danym
iloczynem ich prawdopodobieństw.
stanowisku pracy w pewnym przedziale czasu
P(A )" B) = P(A)Å"P(B) 13 14
Wartość oczekiwana zmiennej losowej
Dystrybuanta zmiennej losowej
Je\
eli zmienna losowa
X: &! R,
Dystrybuanta
której dystrybuantą jest funkcja
F: R [0, 1],
F(x) = P(X < x)
to wartością oczekiwaną zm. los. jest liczba
gdzie
X  zmienna losowa
x  liczba rzeczywista
EX = x dF (x )
+"
15 16
R
Momenty zmiennej losowej (1) Momenty zmiennej losowej (2)
E(X - c)k
Momenty zmiennej losowej  grupa parametrów, określona
wyra\
eniem
gdy c = 0, to
momenty nazywamy zwykłymi (lub krótko: momentami)
i oznaczamy przez
E(X - c)k
gdzie
mk = E(Xk)
c  ustalona liczba rzeczywista
k  liczba naturalna
gdy c = EX, to
E  operator wartości oczekiwanej
momenty nazywamy centralnymi i oznaczamy przez
E(X-c)k  moment k-tego rzędu zmiennej losowej X
względem punktu c
µk = E(X - EX)k
µ
µ
µ
17 18
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 3
Momenty zmiennej losowej (3) Schemat Bernoulliego (1)
Wariancja
Ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia
Var X = µ2 = E[X  E(X)]2
µ
µ
µ
nazywamy schematem Bernoulliego, a
poszczególne doświadczenia próbami
Bernoulliego.
Odchylenie standardowe
Zaistnienie pewnego, interesujÄ…cego nas,
ÃX = " Var X = " µ2
à " " µ
à " " µ
à " " µ
zdarzenia nazywamy sukcesem, natomiast
zaistnienie zdarzenia przeciwnego - pora\
kÄ….
19 20
Schemat Bernoulliego (2) Schemat Bernoulliego (3)
Prawdopodobieństwo pN(k) otrzymania
Symbol Newtona, w schemacie Bernoulliego,
dokładnie k sukcesów, przy N powtórzeniach
określa się następująco:
doświadczenia, wyra\
a siÄ™ wzorem:
N k N -k
ëÅ‚ öÅ‚
N
ëÅ‚ öÅ‚ N!
(k) = ìÅ‚ ÷Å‚
p p q
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ =
N
k
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
k k!(N - k)!
íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie q=1-p i oznacza prawdopodobieństwo
pora\
ki
21 22
Wa\
niejsze typy rozkładów
Wa\
niejsze typy rozkładów
-rozkład binominalny (dwumianowy) (2)
-rozkład binominalny (dwumianowy) (1)
Najprostszą interpretacją zm. los. o rozkładzie
dwumianowym jest liczba wystąpień
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy,
określonego zdarz. w serii doświadczeń
czyli rozkład Bernoulliego, gdy funkcja
przebiegajÄ…cych zgodnie ze schematem
prawdopodobieństwa ma postać:
Bernoulliego.
Przykłady zastosowań:
N x N -x
ëÅ‚ öÅ‚
- liczba uszkodzeń parku maszynowego w
= ìÅ‚ ÷Å‚
P(x) p q
określonym przedziale czasu, pod warunkiem, \
e
ìÅ‚ ÷Å‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚ uszkodzenia sÄ… wzajemnie niezale\
ne
- liczba sztuk wybrakowanych w próbie
wylosowanych w losowaniu niezale\
nym (ze
gdzie N jest liczbÄ… naturalnÄ…, a 0 < p < 1
23 24
zwracaniem).
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 4
Wa\
niejsze typy rozkładów Wa\
niejsze typy rozkładów
- rozkład Poissona - rozkład wykładniczy (1)
Rozpatrujemy zm. los. dyskretnÄ… X, o
Dystrybuanta rozkładu wykładniczego:
wartościach całkowitych nieujemnych:
0,1,2,.....,k,...,
-t
= -
F(t)
1 e
Prawdopodobieństwo, \
e ta zm. los. przyjmie
gęstość prawdopodobieństwa:
wartość k, wynosi:
-t
k
=
-a f (t)
e
a

p(k) =
e
gdzie t e" 0.
k!
25 26
gdzie a jest parametrem rozkładu Poissona.
Wa\
niejsze typy rozkładów Wa\
niejsze typy rozkładów
- rozkład wykładniczy (2) - rozkład wykładniczy (3)
Wariancja rozkładu wykładniczego:
Wartość średnia rozkładu wykładniczego:
îÅ‚ëÅ‚ -t öÅ‚" -t Å‚Å‚
" "
1
-t
e e
÷Å‚ Var (t) =
E(t)=  dt = ïÅ‚ìÅ‚- t + dtśł =
+"te +"
÷Å‚
ïÅ‚ìÅ‚ 2

0
łł0 0  śł
ðÅ‚íÅ‚ ûÅ‚
odchylenie standardowe:
"
-t
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1
e
÷Å‚
= ìÅ‚- =  =
à = Var (t) =
ìÅ‚ ÷Å‚
2

íÅ‚ Å‚Å‚0 2 
27 28
Interfejsy dostępowe w ogólnym modelu
węzła komutacyjnego 5