Politechnika Warszawska
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich
Laboratorium Konstrukcji Nośnych
Krzywa Woehlera. Ocena trwałości zmęczeniowej
Wersja robocza
Tylko dla użytku wewnętrznego SiMR PW
Opracowanie:
Hieronim Jakubczak
Wojciech Sobczykiewicz
Warszawa 2014
Wszelkie prawa zastrzeżone
Ćwiczenie 6
Krzywa Woehlera. Ocena trwałości zmęczeniowej
5.1 CEL ĆWICZENIA
Zasadniczym celem ćwiczenia jest określenie parametrów charakterystyki zmęczeniowej
stosowanej w procesie wymiarowania konstrukcji nośnej (krzywej Woehlera), oraz
oszacowanie na tej podstawie trwałości dla wymaganych obciążeń eksploatacyjnych.
W ćwiczeniu przedstawione zostały podstawowe metody wyznaczania
charakterystyki zmęczeniowej oraz statystycznego opracowania wyników eksperymentu.
Ponadto omówiono podstawy oceny trwałości zmęczeniowej konstrukcji nośnych maszyn z
wykorzystaniem krzywej Woehlera (KW) oraz widma obciążeń eksploatacyjnych.
6.2 WPROWADZENIE TEORETYCZNE
Proces pękania zmęczeniowego jest bardzo złożony i można wydzielić w nim kilka faz.
Z punktu widzenia projektanta najważniejsze są dwie główne fazy: inicjacji oraz stabilnego
wzrostu pęknięcia. Współcześnie istnieją metody badań umożliwiające wyznaczenie
charakterystyk trwałości dla każdej z w/w faz rozwoju pęknięcia zmęczeniowego, jak również
metody prognozowania trwałości konstrukcji oparte o te charakterystyki.
W wielu przypadkach wykorzystuje się jednak charakterystykę zmęczeniową, która
obejmuje zwykle te dwie fazy rozwoju pęknięć zmęczeniowych. Jest to krzywa Woehlera,
będąca nadal podstawową charakterystyką zmęczeniową, wykorzystywaną w projektowaniu
elementów maszyn oraz konstrukcji nośnych narażonych na pękanie zmęczeniowe.
Współczesne konstrukcje charakteryzują się, ze względów ekonomicznych,
ograniczonym okresem eksploatacji. Stawia to przed konstruktorem określone wymagania z
tytułu oceny trwałości zmęczeniowej. Zatem już na etapie projektowania musi on
posiadać możliwie pełną informację o własnościach zmęczeniowych materiału konstrukcji,
czy też wręcz tzw. potencjalnego słabego ogniwa (PSO), tj. krytycznego miejsca,
decydującego o trwałości konstrukcji.
Podstawowe wiadomości o charakterystykach trwałości zmęczeniowej
Pojęcia wytrzymałości zmęczeniowej i krzywej Woehlera, jako podstawowe
w wytrzymałości materiałów, są powszechnie znane. Krzywa Woehlera powstaje w efekcie
2
badań zmęczeniowych, przeprowadzonych przy obciążeniu stałoamplitudowym w ściśle
określonych warunkach i opisuje zależność liczby cykli N do pęknięcia próbki od głównego
parametru cyklu obciążenia, którym zwykle jest zakres naprężeń "� = 2�a (rys. 6.1),
amplituda  �a, bądz
też rzadziej, naprężenie maksymalne  �max.
Badania mogą być prowadzone na próbkach gładkich, gdy dotyczą wytrzymałości
zmęczeniowej materiału, bądz
też na próbkach odzwierciedlających określony kształt
elementu (karb) lub technologię wykonania (połączenia spawane)  rys. 6.2. Badania
prowadzi się przy stałej amplitudzie obciążenia i asymetrii cyklu.
log "�
�
�a
Rm
�max
"�1 "�
Próbka gładka
�m
�min
0
czas
"�D
Próbka z karbem
"�DK
1
N1 No log N
Rys. 6.1 Parametry opisujące krzywą Woehlera
Krzywa Woehlera jest prostą w układzie współrzędnych log "�  log N w zakresie liczby
cykli N1  No i jest opisywana równaniem:
m
m
"� N = "� No = const (6.1)
D
gdzie m jest wykładnikiem KW, a jego odwrotność opisuje kąt nachylenia krzywej.
Wytrzymałość zmęczeniowa rozumiana jest jako naprężenie "�D (inne stosowane
oznaczenia to: Rw, ZG), dla określonego cyklu naprężeń, przy którym element badany nie
ulegnie zniszczeniu przed osiągnięciem umownej (bazowej) liczby cykli No (rys. 6.1)1.
Jako bazową liczbę cykli przyjmuje się dla stali zwykle No = 2.106 cykli, jednakże często
ta granica jest obecnie przyjmowana jako 5 lub 10 mln. cykli. N1 to liczba cykli, która
wyznacza początek krzywej Woehlera, wynosi ona około N1 = 103 do 104 cykli.
1
Niekiedy dla tej wielkości stosuje się termin trwała wytrzymałość zmęczeniowa
3
Rys. 6.2 Przykłady próbek do badań zmęczeniowych
Naprężenie � jest zwykle naprężeniem nominalnym (średnim, globalnym), wyznaczonym
w przekroju (punkcie) próbki, w którym następuje inicjacja pęknięcia zmęczeniowego.
Wytrzymałość zmęczeniowa elementu z karbem, "�DK jest mniejsza od wytrzymałości
elementu gładkiego "�D, bowiem na skutek koncentracji naprężeń, przy tej samej wartości
naprężeń nominalnych, inicjacja pęknięcia w karbie następuje wcześniej niż w próbce
gładkiej. Zatem dla osiągnięcia tej samej liczby cykli, zakres naprężeń nominalnych w cyklu
obciążenia musi być mniejszy niż dla próbki gładkiej.
Efekt działania karbu nie jest jednakowy w całym zakresie trwałości, jest on znacznie
większy dla dużej liczby cykli, stąd KW dla próbek z karbem ma większy kąt pochylenia niż
KW dla próbek gładkich (rys. 6.1). Dla uproszczenia przyjmuje się często dwie skrajne
koncepcje:
" KW zbiegające się w punkcie "�1, N1, gdzie wykładnik m dla próbek z karbem jest
mniejszy niż dla próbek gładkich.
" KW równolegle, tj. o stałej wartości wykładnika m (taka koncepcja została przyjęta
w normach dotyczących KW dla konstrukcji spawanych).
Reakcję materiału przy obciążeniu cyklicznym na miejscowy wzrost naprężeń
w elemencie konstrukcyjnym, spowodowany ich koncentracją w karbie, ujmuje współczynnik
działania karbu �K obliczany jako stosunek "�D/"�. Warto podkreślić, że współczynnik
działania karbu �K jest mniejszy od współczynnika koncentracji naprężeń ąK i odnosi się do
N = No. Dokładniej ujmuje to tzw. współczynnik wrażliwości materiału na działanie karbu q,
który określa się na podstawie badań doświadczalnych ze wzoru:
4
� -1
K
q = (6.2)
ą -1
K
Jego wartość maleje wraz ze spadkiem wytrzymałości materiału Rm, jak również
wielkości promienia karbu � (im mniejszy promień, tym mniejsza wartość q).
Należy pamiętać, że głównym parametrem obciążenia zmiennego, decydującym
o trwałości elementu konstrukcyjnego jest zakres (lub amplituda) naprężeń. Następnym
ważnym parametrem jest naprężenie średnie cyklu obciążenia �m, które może być zastąpione
współczynnikiem asymetrii cyklu r = �min/�max. Związek pomiędzy wartością wytrzymałości
zmęczeniowej a naprężeniem średnim wyznaczają tzw. wykresy zbiorcze, do których
należą znane wykresy np. Smitha, Haigha.
Warto podkreślić, że w opisie krzywych Woehlera dla połączeń spawanych pomija
się współczynnik asymetrii cyklu, bowiem wpływ naprężeń średnich jest tu pomijalny ze
względu na duże naprężenia własne (bliskie granicy plastyczności).
Należy pamiętać, że wytrzymałość zmęczeniowa elementu zależy również od takich
czynników, jak:
" sposób obciążenia (rozciąganie, zginanie),
" stan warstwy powierzchniowej,
" wielkość elementu,
" naprężenia własne, i inne.
Technika eksperymentalnego otrzymywania krzywych Woehlera
Kształt oraz wielkość próbek wymaganych do badań zmęczeniowych określone są
normami [4], podobnie jak wymagania dotyczące sposobu prowadzenia badań
(temperatura otoczenia, prędkość narastania obciążeń, atmosfera, itp.). Badania
prowadzi się przy zachowaniu stałej wartości współczynnika asymetrii cyklu r.
Badania zmęczeniowe próbek rozpoczyna się od obciążenia wywołującego największą
wartość naprężeń, zachowując zwykle zasadę, aby naprężenie maksymalne �max nie
przekraczało granicy plastyczności Re. Koniec badań próbki wyznacza jej pęknięcie
zmęczeniowe, umożliwiając zanotowanie liczby cykli zmian naprężeń. Na ogół jako
pęknięcie próbki traktuje się pęknięcie całkowite, które w przypadku próbek gładkich
następuje dość szybko po inicjacji pęknięcia, natomiast w przypadku próbek z karbem etap
inicjacji ma znacznie mniejszy udział w całkowitej trwałości do pęknięcia próbki.
5
Następne próbki poddaje się obciążeniom odpowiednio zmniejszonym. Dopuszcza się,
aby każdy poziom pomiarowy (poziom naprężeń) reprezentowany był tylko przez jeden
wynik, jednak powtarzanie badań na każdym poziomie naprężeń (2 � 3 wyników) znacznie
poprawia dokładność wyznaczanych parametrów KW. Zwykle badania próbek wykazujących
znaczny rozrzut wyników (np. złącza spawane) prowadzi się przy większej liczbie powtórzeń
dla tego samego poziomu naprężeń (nawet do 5). Minimalna liczba próbek dla tej
procedury badawczej wynosi 8�12. Poziom naprężeń zmniejsza się tak długo, aż pęknięcie
próbki następuje po liczbie cykli większej od liczby bazowej No.
Opracowanie wyników badań polega na wyznaczeniu w analizie statystycznej głównych
parametrów, opisujących KW: wytrzymałości zmęczeniowej "�D i wykładnika m (rys. 6.3).
Niekiedy zakłada się z góry określoną, stałą wartość wykładnika krzywej m, np. dla złączy
spawanych przyjmuje się, że wynosi ona 3 lub 3.5. Obok wartości średnich tych parametrów
(prawdopodobieństwo 50%) określa się również krzywe przesunięte o ą(1�-3�), przy czym
istotne są krzywe przesunięte w dół, które zapewniają większe prawdopodobieństwo
przetrwania dla projektowanych, z ich zastosowaniem, konstrukcji.
1000
1000
50%
50%
+3�
+3�
-3�
-3�
"�D
"�D
100
100
10
10
1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07
1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07
No
No
N [cyc]
N [cyc]
Rys. 6.3 Krzywa Woehlera z badań zmęczeniowych
Opracowanie statystyczne wyników eksperymentu
Jak już wspomniano wyznaczenie zależności log "�  log N dokonuje się poprzez
statystyczne opracowanie wyników badań, oparte o analizę regresji i metodę
najmniejszych kwadratów.
6
[MPa]
[MPa]
"�
"�
Wyniki badań zmęczeniowych można przedstawić w postaci wektora Wi = [Ni, �i]
(i = l,..,n), gdzie współrzędna Ni ma charakter losowy. W związku z tym, że KW jest opisana
równaniem (6.1) i w układzie podwójnie logarytmicznym tworzy linię prostą
1
log C = log "� + log � (6.3)
m
wektor Wi lepiej jest zastąpić wektorem W i = [Xi, Yi], którego składowe są określone jako:
Yi = ln �i, Xi = ln Ni.
Poszukiwana jest liniowa funkcja postaci Y = a + bX, która w sposób "najlepszy" wiąże
ze sobą współrzędne wektora Wi. Zadanie sprowadza się do znalezienia takich wartości
współczynników a i b, dla których wartości bezwzględne sumy kwadratów  błędów są
najmniejsze. Błędy są określane jako różnice odległości punktów eksperymentu od linii
średniej i mogą być mierzone wzdłuż osi pionowej (RRY) lub poziomej (RRX) - rys. 6.4 zaś
odpowiednie równania minimalizowanej sumy błędów są następujące:
n
Fmin( a ,b ) = a + bX -Yi )2 (RRY) (6.4)
"( i
i
n
Fmin( a ,b ) = a + bYi - X )2 (RRX) (6.5)
"( i
i
y
y
y
y
x x
x x
Rys. 6.4 Regresja liniowa względem osi Y (RRY) i X (RRX)
Wzory do obliczania parametrów KW za pomocą regresji liniowej są zestawione
w Tabeli 6.1. W tabeli zawarte są również wzory do obliczania średniej wartości granicy
zmęczenia dla przyjętej wartości bazowej liczby cykli No, np. No = 2.106.
Rozrzut danych względem linii średniej KW można oszacować poprzez współczynnik
korelacji �, obliczany z zależności (wartość współczynnika korelacji leży zawsze
w przedziale�#�XY�#< l):
7
n
"( X - X )(Yi -Ysr )
i sr
i
� = (6.6)
XY
n n
"( X - X )2 "(Y -Ysr )2
i sr i
i i
gdzie
n n
1 1
X = X , Yśr = (6.7)
śr " i "Yi
n n
i=1 i=1
lub poprzez odchylenie standardowe wartości Y:
n
1
sY = (6.8)
"(Y -Ymi )2
i
n - 1
i
gdzie Ymi są wartościami średnimi (leżącymi na średniej KW), obliczonymi według
zależności:
Ymi = a + bX (6.9)
i
Tablica 6.1. Wzory do obliczenia parametrów KW
RRY RRX
n n n
n n n
1
1
xi yi - xi yi
xi yi - xi yi
" " "
" " "
n
i i i n
i i i
b =
b =
2
2
n n
n n
1
�# 1
�# ś#
xi 2 - xi ś#
yi
ś# ź# yi 2 - ś# ź#
" "
" "
n�# i #
i n�# i #
i
n n n n
1 1 1 1
a = yi - b a = xi - b
" " x " " y
i i
n n n n
i i i i
m = -1 / b m = -b
� = exp[a + bln(No )]
ln(No )- a
ń#
D
� = expĄ#
D
ó# Ą#
b
Ł# Ś#
Na ogół rozrzut punktów doświadczalnych Yi wokół średniej KW podlega rozkładowi
normalnemu, co oznacza, że rozrzut wytrzymałości zmęczeniowej �D podlega rozkładowi
log-normalnemu.
Prognozowanie trwałości zmęczeniowej
Prognozowanie trwałości zmęczeniowej elementów konstrukcyjnych jest procesem dość
złożonym i wymaga starannego określenia wszystkich danych, niezbędnych dla osiągnięcia
poprawnego wyniku. Składa się ono z następujących kroków (rys. 6.5):
8
1. Wyznaczenie potencjalnych miejsc (PSO), w których mogą się zainicjować pęknięcia
zmęczeniowe (są to zwykle karby). Dokonuje się tego na podstawie analizy naprężeń
w konstrukcji i/lub doświadczenia.
OBCI
ŻENIE ELEMENT KONSTRUKCJI
OBCI
ŻENIE ELEMENT KONSTRUKCJI
MATERIAA

MATERIAA

"�
"�
�
�
�D
�D
PSO
PSO
No N
No N
t
t
ANALIZA TRWAA
OŚCI
TRWAA
OŚĆ
Rys. 6.5 Schemat oceny trwałości zmęczeniowej.
2. Dobór KW, najbardziej odpowiednich do analizowanych PSO (sposób obciążenia
i pękania). Krzywe dobiera się z norm (np. [7, 8]) lub bazy danych, o ile taka istnieje.
Kategoria elementu,
Kategoria elementu,
"�C przy No = 2.106
"�C przy No = 2.106
Wytrzymałość
Wytrzymałość
zmęczeniowa, "�D
zmęczeniowa, "�D
przy stałej amplitudzie
przy stałej amplitudzie
ND = 5.106
ND = 5.106
Granica zmęczenia
Granica zmęczenia
m = 3
m = 3
m = 5
m = 5
104
104
2.106 5.106 108 cykle
2.106 5.106 108 cykle
Rys. 6.6 Schemat oceny trwałości zmęczeniowej [opr. na podstawie 7]
3. Określenie obciążeń eksploatacyjnych. Mogą one być zdefiniowane w normach (widmo
obciążeń w dz
wignicach), bądz
też pochodzić z bazy danych, utworzonej na podstawie
badań wcześniejszych konstrukcji.
9
Zakres naprężeń
"�
Zakres naprężeń
"�
4. Obliczenie trwałości zmęczeniowej przy wykorzystaniu wybranej hipotezy kumulacji
uszkodzeń zmęczeniowych.
Określenie naprężeń w wybranym PSO konstrukcji jest dość istotne i powinno
uwzględniać definicje naprężeń w próbce służącej do wyznaczenia KW. Na rys. 6.7
przedstawiono przykład elementu konstrukcyjnego, w którym potencjalnym słabym ogniwem
(PSO) jest karb w linii wtopu spoiny. Naprężenie � jest obliczane, jako naprężenie
nominalne, tj. bez uwzględnienia koncentracji naprężeń w karbie. Naprężenie to jest zwykle
obliczane dla maksymalnego obciążenia P = Pmax, aby następnie być odniesionym do
kolejnych stopni widma obciążeń eksploatacyjnych o znanych wartościach obciążeń
względnych si = "�i /"�max oraz liczbie cykli dla każdego poziomu obciążeń, ni (rys. 6.8).
�
P
Rys. 6.7 Sposób obliczania naprężeń w PSO
Obliczanie trwałości zmęczeniowej dla obciążeń eksploatacyjnych, opisanych widmem
obciążeń, przy znanej charakterystyce zmęczeniowej (KW) prowadzi się według schematu
jest przedstawionego na rys. 6.8.
log "�
log "�
n1
n1
"�max
"�max
n2
n2
n3
n3
"�D
"�D
n4
n4
"� D
"� D
np N2 No N4 log N
np N2 No N4 log N
Rys. 6.8 Schemat obliczania uszkodzeń zmęczeniowych
Prognozowaną trwałość konstrukcji do pęknięcia w analizowanym PSO można
przedstawić jako liczbę powtórzeń widma obciążeń, reprezentującego zmienność obciążeń
10
w trakcie eksploatacji NBLK. W tym celu należy najpierw obliczyć uszkodzenie zmęczeniowe
DBLK, sumując uszkodzenia Di
ni
Di = (6.10)
Ni
spowodowane każdym z k  stopni widma obciążeń zgodnie z hipotezą Palmgrena-Minera
(P-M):
ni
DBLK = = (6.11)
"DBi "
Ni
k k
Liczbę cykli Ni dla każdego stopnia widma obliczyć można z równania KW (6.1), zatem
liczbę powtórzeń zarejestrowanego bloku obciążeń eksploatacyjnych można wyznaczyć
z następującego wzoru:
m
�# ś#
"� d �" No
D
ś# ź#
NBLK = (6.12)
m
ś# ź#
"� ) ni
�# max # "(si
k
gdzie d jest krytyczną wartością uszkodzenia zmęczeniowego (zwykle przyjmuje się d = 1).
Według klasycznej hipotezy P-M, naprężenia poniżej wytrzymałości zmęczeniowej "�D
nie powodują żadnych uszkodzeń zmęczeniowych, jednakże zasada ta dotyczy tylko obciążeń
o stałej amplitudzie. W przypadku obciążeń o zmiennej amplitudzie, występujących zwykle
w obciążeniach eksploatacyjnych, krzywą Woehlera przedłuża się poprzez obniżenie
wytrzymałości zmęczeniowej "�D do wartości "�'D = (0.3  0.5) "�D. Inna modyfikacja KW,
zaproponowana przez Haibacha, polega na przedłużeniu KW poniżej "�D przy innej wartości
wykładnika m = 2m  1. Efektem uwzględnienia cykli obciążeń poniżej granicy zmęczenia
"�D jest bardziej konserwatywne (bezpieczne) oszacowanie trwałości zmęczeniowej
projektowanej konstrukcji.
Warto podkreślić, że widmo obciążeń eksploatacyjnych może odpowiadać określonej
liczbie cykli pracy cp, bądz
też określonemu czasowi pracy konstrukcji tp. Dzięki temu,
trwałość wyrażoną poprzez liczbę powtórzeń bloku obciążeń NBLK, można zamienić na
prognozowaną liczbę cykli pracy Ncp = cp NBLK, lub prognozowany czas pracy Tp = tp NBLK.
Jeśli obliczoną trwałość NBLK pomnoży się przez objętość widma obciążeń np, to można
obliczyć trwałość wyrażoną poprzez liczbę cykli zmian naprężeń Nc, jednakże ta liczba jest
mało przydatna dla użytkownika konstrukcji.
11
Powyższy proces obliczania trwałości zmęczeniowej należy przeprowadzić dla każdego
z wytypowanych PSO konstrukcji, najmniejsza z nich determinuje trwałość konstrukcji.
6.3 WYKONANIE ĆWICZENIA
Zadaniem studentów jest:
1. Opracować wyniki badań charakterystyki zmęczeniowej (KW):
" przedstawić wyniki próby zmęczeniowej graficznie,
" obliczyć parametry średnie KW (m, �D) oraz odchylenie standardowe sY,
" otrzymane wyniki nanieść na wykres, wyznaczając przedział +/- 3 sY,
2. Wykorzystując wyznaczoną KW obliczyć trwałość zmęczeniową dla zadanego widma
obciążeń eksploatacyjnych (na przykład dla zarejestrowanych i odpowiednio obrobionych
przebiegów obciążeń eksploatacyjnych uzyskanych w ćwiczeniu nr 5) dla zadanych
hipotez kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych.
3. Napisać wnioski.
6.4 LITERATURA
1. S. Kocańda: Zmęczeniowe niszczenie metali. WNT 1972.
2. S. Katarzyński, S. Kocańda, M. Zakrzewski: Badanie własności mechanicznych metali,
WNT 1967.
3. Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś: Wytrzymałość materiałów, WNT Warszawa, 1996
4. PN-EN 6072:2010E: Lotnictwo i kosmonautyka - Materiały metalowe - Metody badań -
Próba zmęczeniowa przy stałej amplitudzie.
5. ASTM E466  07: Standard Practice for Conducting Force Controlled Constant
Amplitude Axial Fatigue Tests of Metallic Materials
6. ASTM E739-10: Standard Practice for Statistical Analysis of Linear or Linearized Stress-
Life (S-N) and Strain-Life (�-N) Fatigue Data
7. ISO 10721-1: Steel Structures, Part 1: Materials and design, 1997
8. ISO 20332-1: Cranes  Proof of competence of steel structures  Part 1: General, 2005
12