2. Modele matematyczne układów regulacji
2. MODELE MATEMATYCZNE UKA
ADÓW REGULACJI
Metody wyznaczania modeli matematycznych.
eksperymentalne
analityczne analityczno -
(empiryczne)
(teoretyczne) eksperymentalne
- wyznaczenie charakterystyki
- eksperyment stosuje siÄ™ do
statycznej;
wyznaczania współczynni-
- wyznaczenie charakterystyki
ków modelu matematy-
dynamicznej
z ogólnych praw
cznego przyjętego na drodze
fizycznych
analitycznej.
metodami aktywnymi
zasady Hamiltona
(czynnymi)
równania Lagrange a
Wady:
- wyłączenie z
analogie eksploatacji.
Zalety:
elektromechaniczne
- duża dokładność.
metodami pasywnymi
(biernymi)
Wady:
- duża ilość
informacji;
- pracochłonna
obróbka danych.
Zalety:
- podczas normalnej
pracy.
Rys. 2.1
Najczęściej stosowanymi modelami matematycznymi są:
- równania różniczkowe zwyczajne dla modeli ciągłych;
- równania różniczkowe cząstkowe dla układów, w których parametry obiektu zależą
również od współrzędnych przestrzennych;
- równania różnicowe dla modeli dyskretnych;
- transmitancje (Laplace a lub z) tylko dla obiektów liniowych;
- równania stanu.
18
2. Modele matematyczne układów regulacji
2.1. Analogie elektromechaniczne
Tabela 2.1
Człony mechaniczne Człony elektryczne
Człony Analogia napięciowa Analogia prądowa
Ruch postępowy Ruch obrotowy hydrauliczne UF lub M i F lub M
iv lub É Uv lub É
dv dÉ BezwÅ‚adność
F = m M = J
m lub J L m lub J C
dt dt
m J mh
L C
F = mDx M = JDÕ
U = LDi dU
"pm = mhDQ
F = m D v
M = J DÉ
i = C
di
dt
= mh D2Vh
U = L
= m D2 x
= J D2Õ
dt
Opory Bp lub BÉ R 1
F = Bp Å" v M = BÉ Å"É
Bp lub BÉ
przepływowe
R
Rh
8
R
1
BÉ
Bp
R
"pr = RhQ
M = BÉÕ
F = Bp x
1
U = i Å" R
i = Å"U
= Rh DVh
M = BÉ Å" D Å"Õ
R
F = Bp Å" Dx
v É Pojemność Cp lub CÉ C Cp lub CÉ L
F = Å" D M =
hydrauliczna
C CÉ Å" D
p
Ch
CÉ
Cp
C L
1
1
1
F = Õ
Q 1
F = x
U = Å" i
"pc = i = Å"U
C D
C D
p
p
C Å" D
ChD L Å" D
É
v
1
1
M = Å" D-1 Vh
F = Å" D-1
U = dt + U
i = dt + I0
0
+"i
=
CÉ +"U
C
C
p
L
Ch
Õ
x
=
=
CÉ
C
p
Obiekty zbudowane są z elementów zwanych w automatyce członami. Człony mogą
być mechaniczne i elektryczne. Człony mechaniczne dotyczą ruchu postępowego i
obrotowego, natomiast w członach elektrycznych występuje dualizm pomiędzy analogami
(odpowiednikami) napięciowymi i analogami prądowymi.
Stosując metody prądów oczkowych w elektrotechnice wyznaczamy układ równań dla
prądów w poszczególnych oczkach stosując zawsze prawoskrętny kierunek prądu.
Podobnie dla układów mechanicznych konstruujemy układ równań dla poszczególnych
prędkości w układzie.
19
Inercja, bezwładność
Tarcie wiskotyczne
(proporcjonalne do
v
)
Sprężystość
2. Modele matematyczne układów regulacji
Przykład 2.1
Zbudować model matematyczny układu i jego analog napięciowy.
x x
Cp
Cp
F(t) F(t)
m m
Bp
Bp
Bp
LR
m
Cp
F(t) C
E(t)
x
Rys. 2.1
1
F(t)= mDx + Bp x + x m LBp R Cp C
Cp D
Przykład 2.2
Zbudować model matematyczny układu a) i b) oraz jego analog napięciowy.
a) b)
x1 x2 x1 x2
Bp2
Cp1 Cp2 Cp2
F(t)
Bp1 Bp2
Bp1
F(t)
Cp1
Bp1 Bp2 Bp1 Cp1
F(t) x1
Bp2
x2 Cp2
x1 Cp1
x2 Cp2 F(t)
Rys. 2.2
1 1
F(t)= (x1 - x2 )+ Bp1x1 F(t)= Bp1x1 + Bp 2(x1 - x2 )+ x1
C D C D
p1 p1
1 1 1
0 = Bp 2 x2 + x2 + (x2 - x1) 0 = Bp2(x2 - x1)+ x2
Cp2D Cp1D C D
p2
20
2. Modele matematyczne układów regulacji
2.2. Metoda prądów oczkowych (II prawo Kirchoffa)
Drugie prawo Kirchoffa (zwane też bilansem napięć w oczku) mówi, że w każdym
zamkniętym obwodzie elektrycznym, zwanym oczkiem, suma algebraiczna napięć
z
ródłowych Ei równa się sumie algebraicznej spadków napięć na impedancjach.
Przykład 2.3
Stosując metodę prądów oczkowych zbudować model matematyczny obwodu (rys.2.3.).
C1
i3
U1 = R1i1 - R1i3 + L2 Di1 - L2Di2 + R2i1
R1 1
0 = i3 + R1i3 - R1i1
C1D
L2 i2 C2
1
0 = i2 + L2 Di2 - L2 Di1
C2 D
U1 U2
i1
1
U = i2 + R2i1
2
R2 C2 D
Rys. 2.3
Przykład 2.4
Stosując metodę prądów oczkowych wyznaczyć równanie wejść e = f (i1) i wyjść U = f (i1)
1
R1
e = R2i1 + (i1 - i2 ) (1)
C1D
1 1
C1 i2 C2 0 = R1i2 + i2 + (i2 - i1) (2)
C2 D C1D
1
i1
C1D
R2
U
i1
e
z równania (2) i2 =
C1 + C1
R2 +
C1C2 D
1
1 C12 D2
R1
e = R2i1 + i1 - i1
C1 + C2
C1D
R2 +
C1C2 D
i2 C2
1
C1 U = i2 + R2i1
C2D
U
1
i1 R2
C2C1D2
e
U = i1 + R2i1
C1 + C2
R2 +
C1C2 D
Rys. 2.4
21
2. Modele matematyczne układów regulacji
Przykład 2.5
Zbudować model matematyczny i wyznaczyć transmitancję operatorową G(D) dla układu
mostkowego RC jak na rysunku 2.5. Spadki napięć są zawsze przeciwne do kierunku
przepływy prądu.
i2
R2
i1
C1
U1
C2
R1
U2
Rys. 2.5
1 U1C1D
U1(D) = i1 + R1i1 i1 =
C1D R1C1D +1
1 U1C2D
U2(D) = i2 + R2i2 i2 =
C2D R2C2D +1
1
U2(D) = i2 - R1i1
C2D
i1 i i2 podstawiamy do równania U2
U (D) 1 - T1T2 D2
2
G(D)= =
U1(D) (T1D + 1)(T2 D + 1)
dla T1 = T2
2
1 - T D2 (1 + TD)(1 - TD) 1 - TD
G(D)= = =
2
(1
1 + T D2 + TD)(1 + TD) 1 + TD
T1 = R1C1 , T2 = R2C2
Przykład 2.6
Zbudować model matematyczny i wyznaczyć transmitancję operatorową dla układu
rysunku 2.6.
i2
i1
C
L
U1
L
U2
C
Rys. 2.6
22
2. Modele matematyczne układów regulacji
1
ëÅ‚ öÅ‚i
U1 = LD +
ìÅ‚ ÷Å‚
1
CD U1 U1CD
íÅ‚ Å‚Å‚
i1 = i2 i = =
2
1
1 LCD + 1
ëÅ‚
LD +
U1 = + LDöÅ‚i2
ìÅ‚ ÷Å‚
CD
CD
íÅ‚ Å‚Å‚
1
U = LDi1 - i2
2
CD
1 U1CD LCD2 -1
ëÅ‚ öÅ‚
U = LD - ÷Å‚
= U1
ìÅ‚
2
CD LCD2 + 1 LCD2 + 1
íÅ‚ Å‚Å‚
2
T D2 -1
G(D)= gdzie T = LC
2
T D2 + 1
Przykład 2.7
Zbudować model matematyczny U = f (U1), zakładając że C i R1 to połączenie
2
1
równoległe dwóch impedancji i R1.
CD
C
L
U1
R2
R1
i
U2
Rys. 2.7
1
ëÅ‚ öÅ‚
R1
ìÅ‚ ÷Å‚
CD
ìÅ‚
U1 = + LD + R2 ÷Å‚i
1
ìÅ‚ ÷Å‚
+ R1
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ CD Å‚Å‚
U = R2i
2
1
R2U1ëÅ‚ + R1 öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
U1
CD
íÅ‚ Å‚Å‚
U = R2 =
2
1 R2
1 LD
R1 R1 + + LR1D + + R1R2
CD CD
+ LD + R2 CD CD
1
+ R1
CD
CR2 D + R1R2CD
U = U1
2
R1 + LD + LCR1D + R2 + R1R2
23
2. Modele matematyczne układów regulacji
2.3. Modele matematyczne układów mechanicznych
Przykład 2.8
Zbudować model matematyczny obiektu pokazanego na rysunku 2.8.
x1 x2 x3
Cp Cp
F(t)
Bp Bp
1
F(t) = (x1 - x2 )+ Bp1(x1 - x2 )
C D
p1
1 1
m1 m2
0 = m1Dx2 + (x2 - x1)+ (x2 - x3 )
C D C D
p1 p2
x1 Cp1 x2 Cp2
F(t)
+ Bp1(x2 - x1)+ Bp2 (x2 - x3 )
Bp1 Bp2 x3
1
0 = m2 Dx3 + Bp2(x3 - x2 )+ (x3 - x2 )
C D
p2
Rys. 2.8
Przykład 2.9
Zbudować model matematyczny obiektu pokazanego na rysunku 2.9.
x2 x3
x1
Cp3
Cp1 Cp2
F(t)
m1 m2
Bp1 Bp2
Bp1 Bp2
m1 m2
F(t) x1 Cp1 x2 Cp2 x3 Cp3
Rys. 2.9
24
2. Modele matematyczne układów regulacji
1
F(t) = (x1 - x2 )
C D
p1
1 1
0 = m1Dx2 + Bp1x2 + (x2 - x1)+ (x2 - x3)
Cp1D Cp2D
1 1
0 = m2Dx3 + Bp2 x3 + x3 + (x3 - x2 )
C D Cp 2D
p3
Powyższe równanie można również zapisać w postaci:
Å„Å‚
1
(x1 - x2)= F
ôÅ‚
p1
ôÅ‚C
ôÅ‚
1 1
ôÅ‚m x2 + B1x2 +
(x2 - x1)+ (x2 - x3)= 0
òÅ‚
1
Cp1 Cp2
ôÅ‚
ôÅ‚
1 1
ôÅ‚m2x3 + B2x3 + (x3 - x2)+ x3 = 0
Cp 2 Cp3
ôÅ‚
ół
Przykład 2.10
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.10.
x1
x2 x3
F(t)
Cp3
Cp2
Cp5
m2
Cp1
Cp4 m3
m1
Bp1 Bp2
Bp1
Cp1
m1 m2
Cp2
x2
Cp3
F(t) x1
m3
x3
Cp4
Cp5
Bp2
Rys. 2.10
25
2. Modele matematyczne układów regulacji
1 1 1
F(t)= m1Dx1 + Bp1x1 + x1 + (x1 - x2 )+ (x1 - x3)
C D C D Cp 4D
p1 p2
1 1
0 = m2Dx2 + (x2 - x1)+ (x2 - x3)
Cp2D Cp3D
ëÅ‚ öÅ‚
1
ìÅ‚m3D ÷Å‚x3 + 1 - x2 1 - x1)
0 = + Bp2 + (x3 )+ (x3
ìÅ‚ ÷Å‚
C D Cp3 C
p5 p4
íÅ‚ Å‚Å‚
Powyższe równanie można również zapisać w postaci:
m1x1 + Bp1x1 + k2(x1 - x2)+ k4(x1 - x3)+ k1x1 = F
m2x2 + k3(x2 - x3)+ k2(x2 - x1)= 0
m3x3 + Bp2x3 + k4(x3 - x1)+ k3(x3 - x2)+ k5x3 = 0
Przykład 2.11
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.11.
Cw
J
É
M(t)
Bw
JL CwC
Cw
J
M(t)
Bw
U(t) Éi
É
BwR
Rys. 2.11
1 1
M (t) = JDÉ + BwÉ + É U (t) = LDi + Ri + i
CwD CD
Przykład 2.12
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.12.
Cw2
Cw1
J1 J2
É1
É3
É2
M(t)
Bw3
Bw1 Bw2
Bw Bw2 Bw3
J1 J2
8 8 8
M(t)
É1 Cw É2
Cw2 É3
Rys. 2.12
26
8
2. Modele matematyczne układów regulacji
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ - É2 = M(t)
Bw1 +
ìÅ‚ ÷Å‚É1
Cw1D Cw1D
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ - É1 - É3 = 0
J1D + Bw2 + +
ìÅ‚ ÷Å‚É2
Cw1D Cw2 D Cw1D Cw2 D
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ - É2 = 0
J D + Bw3 +
2
ìÅ‚ ÷Å‚É3
Cw2 D Cw2 D
íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład 2.13
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.13.
J1
Cw1
É1 J3
É2
M(t)
Cw2
Mo
J2
Bw1
É3 É4
Bw2
Bw3
J1 J2 J3
8
M(t)
Bw1 É3 Cw2 É4
É1 Cw1 É2
Mo
Rys. 2.13
1
M(t)= (É1 - É2 )
Cw1D
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
0 = J1D + + Bw1 ÷Å‚É2 - É1 - Bw1É3
ìÅ‚
Cw1D Cw1D
íÅ‚ Å‚Å‚
1
0 = Bw1(É3 - É2)+ J2DÉ3 + (É3 - É4)
Cw2D
1
0 = (J3D + Bw3)É4 + (É4 - É3)+ Mo
Cw2D
27
8
2. Modele matematyczne układów regulacji
Przykład 2.14
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.14.
Iw
Rw
J1,Bw1 J2,Bw2
ew
R
e
É1 Cw1 É2
m1,Bp1
Lw
fo vx
Bw1 Bw2
J1 J2
8 8
M(t)
É1
Cw1 É2 M2
Bp1
M = f0R
2
Rw
M(t)= kiw
vx = É2R
ew = kÉ1
vx
ew f1 fo
e
iw
m
Lw
Rys. 2.14
(Rw + LwD)iw = e - ew
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ - É2 = M (t)
J1D + Bw1 +
ìÅ‚ ÷Å‚É1
Cw1D Cw1D
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
- É1 + J2D + Bw2 +
ìÅ‚ ÷Å‚É2 + M 2 = 0
Cw1D Cw1D
íÅ‚ Å‚Å‚
(m1D + Bp1)vx + f0 = f1
równania więzów: M2 = f0 R
vx = É2R
M(t)= kiw
ew = kÉ1
gdzie k - stała silnika wynikająca z jego parametrów konstrukcyjnych.
28
2. Modele matematyczne układów regulacji
Przykład 2.15
Zbudować model matematyczny obiektu jak na rysunku 2.15.
J1
É1 C1 É2
2R
x1
B1
Ms,Js,Bs
B2
C2
m
x
Bs B1
m
Js J1
8 8
f0 C2
Ms M0
R
É1
C1 É2 x
x1
B2
x1 = RÉ2
Rys. 2.15
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ JsD + Bs +
÷Å‚ - É2 = M
s
ìÅ‚ ÷Å‚É1
C1D C1D
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚
- É1 + J1D + B1 + ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚É2 + M0 = 0
C1D C1D
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚ - ìÅ‚ ÷Å‚
B2 + B2 +
ìÅ‚ ÷Å‚x1 ìÅ‚ ÷Å‚x = f0
C2 D C2 D
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚
ìÅ‚mD + B2 + C2 D ÷Å‚ - ìÅ‚ B2 + C2 D ÷Å‚ = 0
÷Å‚x ìÅ‚ ÷Å‚x1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
równania więzów: M0 = f0 R
x1 = RÉ2
29