Wprowadzenie do laboratorium 1
Estymacja jednorównaniowego modelu popytu
na bilety lotnicze
Etapy budowy modelu ekonometrycznego
ż� Specyfikacja modelu
ż� Zebranie danych statystycznych
ż� Estymacja parametrów modelu
ż� Weryfikacja statystyczna modelu
ż� Praktyczne wykorzystanie modelu
r
I
Specyfikacja modelu
ż� Sformułowanie celu i zakresu modelu oraz hipotez badawczych
Cele:
ż� poznawcze
ż� prognostyczne
ż� normatywne
ż� Wybór i zdefiniowanie zmiennych endogenicznych i egzogenicznych
ż� Wybór postaci analitycznej funkcji
r
I
Kolejne etapy budowy modelu
ż� Zebranie danych statystycznych
Struktura danych:
ż� dane przekrojowe
ż� szeregi czasowe
ż� dane panelowe
ż� Estymacja parametrów modelu
z wykorzystaniem oprogramowania GRETL
r
I
Weryfikacja modelu
ż� testowanie istotności wpływu poszczególnych zmiennych
niezależnych na zmienną zależną ( test t-Studenta oraz test F )
ż� ocena stopnia dopasowania modelu do danych empirycznych (błąd
standardowy reszt Se , współczynnik zmienności resztowej Ve ,
współczynnik determinacji R2 , błędy standardowe parametrów)
ż� testowanie sferyczności / niesferyczności składnika losowego:
ż� autokorelacji składnika losowego (test Durbina-Watsona)
ż� heteroskedastyczności składnika losowego (test White a)
ż� ocena liniowości postaci analitycznej modelu
r
I
Interpretacja parametrów
ż� w przypadku funkcji liniowej
Interpretuje się je jak pochodne cząstkowe:
Współczynnik �i oznacza o ile średnio zmieni się zmienna
objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie ceteris
paribus (przy niezmienionych pozostałych zmiennych
objaśniających) o jednostkę.
ż� w przypadku funkcji potęgowej
Interpretuje się je jak współczynniki elastyczności:
Współczynnik �i oznacza o ile procent średnio zmieni się
zmienna objaśniana y, jeśli zmienna objaśniająca xi wzrośnie,
ceteris paribus, o jeden procent.
r
I
Kierunki wykorzystania modelu
ż� do celów poznawczych
badanie zachowań podmiotów gospodarczych, analiza
zależności ekonomicznych, badanie funkcjonowania
systemów ekonomicznych, weryfikacja hipotez i teorii
ekonomicznych
ż� do celów prognostycznych
ż� do celów normatywnych
poszukiwanie efektywnych decyzji gospodarczych, analiza
alternatywnych polityk ekonomicznych
r
I
Przesłanki uwzględnienia składnika losowego
w modelu ekonometrycznym:
a. niedeterministyczny charakter zjawisk społeczno-gospodarczych, konieczność
uwzględnienia czynnika losowego
b. błędy wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego, błędy obserwacji
c. błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających
niektórych czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej
objaśnianej
d. błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej (niedokładnie
odzwierciedlającej rzeczywistą zależność funkcyjną)
Przesłanka (a) odzwierciedla immanentną, niezależną od badającego, własność
zjawisk gospodarczych  niedeterministyczny, losowy charakter.
Przesłanki (b, c i d) odzwierciedlają błędy, które można ograniczyć w wyniku
doskonalenia metod gromadzenia i analizy danych statystycznych oraz metod
estymacji.
Założenia modelu KMNK
1. y =� Xa +� e�
(Każda obserwacja yt jest liniową funkcją obserwacji xtk oraz składnika losowego �t)
2. Ee� =� 0
(Składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zeru.)
2
ó�
3. Ee�e� =� s� I
(Założenie o sferyczności składnika losowego)
2
3a. Ee�t2 =� s� I
(Wariancja składnika losowego jest stała, tzn. występuje jednorodność wariancji składnika
losowego)
3b. Ee� e�t =� 0 "�s ą� t
s
(Składnik losowy jest nieskorelowany, nie występuje autokorelacja składnika losowego)
4. X jest macierzą n x (k+1) o elementach ustalonych w powtarzalnych próbach
5. r( x) =� k +� 1 Ł� n
Między zmiennymi objaśniającymi nie ma zależności liniowej.
r
I
Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów
Z tw. Gaussa-Markowa:
Przy powyższych założeniach klasyczna metoda najmniejszych
kwadratów (KMNK) daje najlepsze (o najniższej wariancji)
estymatory wśród liniowych i nieobciążonych.
BLUE  Best Linear Unbiased Estimators - najlepsze
nieobciążone estymatory liniowe
� =� (XT X )-�1 XT y
r
I
Test Fishera-Snedecora
Test F Fishera  Snedecora umożliwia całościową ocenę przydatności
modelu
Hipoteza H0 : a1 , a2 , ... , ai =� 0 (wszystkie parametry przy zmiennych
objaśniających są równe zero)
wobec hipotezy H1 ,że przynajmniej jeden parametr jest różny od zera
R2
k
Wartość statystyki F obliczona dla modelu: F =�
1 -� R2
n -� k -� 1
ma rozkład F o poziomie istotności ą oraz s1 =� k, s2 =� n -� k -� 1
P{ F <� Fkr (a�, s1, s2) } =� 1 -� a�
P{ F ł� Fkr (a�, s1, s2) } =� a�
r
I
Test Fishera-Snedecora - cd
F <� Fkr (a� , s1, s2) �% taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw
do odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że wszystkie współczynniki stojące
przy zmiennych objaśniających są nieistotnie różne od zera, a więc wszystkie zmienne
objaśniające mają nieistotny statystycznie wpływ na zmienną y (podsumowując 
wszystkie zmienne xi są nieistotne, żadna z nich nie ma istotnego wpływu na zmienną
objaśnianą y, model jest nieprzydatny z tego punktu widzenia).
F ł� Fkr (a� , s1, s2) �% taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do
odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza to, że
przynajmniej jeden współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a tym samym
przynajmniej jedna zmienna objaśniająca ma istotny statystycznie wpływ na zmienną
y (podsumowując, test oparty na statystyce F daje pozytywną, z punktu widzenia
jakości dopasowania modelu, odpowiedz
 oszacowany model zawiera istotne zmienne
objaśniające).
gdzie Fkr (a�, s1, s2)  wartość krytyczna statystyki F o poziomie istotności ą oraz
s1 =� k, s2 =� n -� k -� 1
r
I
Test t-Studenta
Test t-Studenta: umożliwia wyselekcjonować i odrzucić nieistotne
zmienne objaśniające
H0 : ai =� 0 wobec H1 : ai ą� 0
�i
zmienna losowa ti =� ma rozkład t-Studenta o poziomie istotności ą oraz
Sai
liczbie stopni swobody r (jest to obliczona wartość statystyki t-Studenta dla
danej zmiennej objaśniającej xi )
Liczba stopni swobody : r =� t -� (k +� 1)dla modelu z wyrazem wolnym lub
r =� t -� k bez wyrazu wolnego
P{ ti Ł� tkr (a�,r) } =� 1 -� a�
P{ ti >� tkr (a�,r) } =� a�
r
I
Test t-Studenta  cd.
ti Ł� tkr (a�,r) �% taki wynik testu wskazuje, że brak podstaw do
odrzucenia hipotezy H0, praktycznie oznacza to, że współczynnik ai jest
nieistotnie różny od zera, a zmienna xi ma nieistotny statystycznie wpływ
na zmienną y (krótko - zmienna xi jest nieistotna).
ti >� tkr(a�,r) �% taki wynik testu wskazuje, że istnieją podstawy do
odrzucenia hipotezy H0, tym samym należy przyjąć hipotezę H1 . Oznacza
to, że współczynnik ai jest istotnie różny od zera, a zmienna xi ma istotny
statystycznie wpływ na zmienną y (krótko - zmienna xi jest istotna).
gdzie tkr (a� ,r)  wartość krytyczna statystyki t-Studenta o poziomie
istotności ą oraz liczbie stopni swobody r
Wykorzystując ten test należy zastosować sekwencyjną metodę odrzucania
nieistotnych zmiennych objaśniających  zaczynając od zmiennych
najmniej istotnych (o najniższej, co do modułu, wartości statystyki t-
Studenta).
r
I
Test t-Studenta w GRETL
Dla każdego parametru podawane są:
ż� wartość statystyki t-Studenta
ż� p-value - empiryczny poziom istotności (dwustronne prawdopodobieństwo
związane z rozkładem t-Studenta
ż� symboliczne oznaczenie stopnia istotności (gwiazdki)
Uwaga:
Liczba gwiazdek charakteryzuje istotność zmiennych:
*** - zmienna istotna statystycznie przy poziomie istotności 0,01;
** - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,05;
* - zmienna istotna przy poziomie istotności 0,1.
r
I
Test F a test t-Studenta
Uwaga:
Test F nie rozstrzyga czy wszystkie zmienne objaśniające są
istotne, odpowiedz
na takie pytanie daje test oparty na statystyce
t-Studenta.
r
I
Badanie założeń dotyczących składnika losowego
Założenie o sferyczności składnika losowego:
2
ó�
Ee�e� =� s� I oznacza, że: macierz kowariancji jest macierzą
diagonalną z jednakowymi wartościami na przekątnej równymi �2
i zerami poza diagonalną (�- wektor)
można rozbić na dwa założenia:
2
Ee�t2 =� s� I
występuje jednorodność wariancji składnika
losowego
Niespełnienie tego założenia oznacza, że występuje
heteroskedastyczność składnika losowego.
Ee�se�t =� 0 "�s ą� t składnik losowy jest niezależny
Niespełnienie tego założenia oznacza, że występuje autokorelacja
składnika losowego.
r
I
Test Durbina-Watsona
Test Durbina-Watsona weryfikuje brak / występowanie autokorelacji
pierwszego rzędu
Hipoteza H0 : r�1 =� 0 oznacza brak autokorelacji pierwszego rzędu,
H1 : r�1 >� 0
wobec hipotezy .
r�1
gdzie - współczynnik autokorelacji pierwszego rzędu
Statystyka Durbina-Watsona d :
n
(et -� et-�1)2
��
t=�2
d =�
n
et2
��
t=�2
przybliżenie: d � 2 -� 2r�1 =� 2(1 -� r�1)
r
I
Test Durbina-Watsona - cd
d Ł� dL(a� ,n,k) �% taki wynik testu wskazuje, że
są podstawy do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: występuje
autokorelacja wariancji składnika losowego)
dL(a�,n,k) <� d <� dU (a� ,n,k) �% taki wynik testu nie rozstrzyga
kwestii autokorelacji składnika losowego
d ł� dU (a�,n,k) �% taki wynik testu wskazuje, że
brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (wniosek: nie występuje
autokorelacja wariancji składnika losowego)
dL(a� ,n,k)- dolna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu
istotności ą , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k
dU (a�,n,k) - górna wartość krytyczna statystyki Durbina-Watsona dla poziomu
istotności ą , liczebności próby n i liczby zmiennych objaśniających k
r
I
Test Durbina-Watsona dla ujemnej korelacji
Test dla ujemnej korelacji:
Hipoteza H0 : r�1 =� 0 oznacza brak autokorelacji pierwszego rzędu,
wobec hipotezy H1 : r�1 <� 0 .
wykorzystuje statystykę d = 4 - d .
Dla ujemnej korelacji statystyka d przyjmuje wartości z przedziału
(2,4). Wtedy należy dokonać przekształcenia:
d = 4 - d .
r
I
Ocena dopasowania modelu
do danych empirycznych
ż� błąd standardowy reszt Se
oraz współczynnik zmienności resztowej Ve
ż� współczynnik determinacji R2 : nieskorygowany i skorygowany
oraz współczynnik zbieżności Ć2
ż� błędy standardowe parametrów Sai
r
I
Odchylenie standardowe składnika losowego
Błąd standardowy reszt:
e2
��
Se =�
n -� (k +� 1)
Współczynnik zmienności resztowej:
Se
Ve =�
y
r
I
Współczynnik R2
Współczynnik determinacji R kwadrat (Unadjusted R-squared)
SSR SSE ( w
-� y)2 e2
�� ��
R2 =� =� 1 -� =� =� 1 -�
SST SST
( y -� y)2 ( y -� y)2
�� ��
gdzie:
SST (total sum of squares)  całkowita (ogólna) wariancja zmiennej
objaśnianej y, suma kwadratów odchyleń wartości empirycznych od
średniej (zmienność całkowita)
SSR (regression sum of squares)  objaśniona wariancja zmiennej
objaśnianej y, suma kwadratów odchyleń wartości teoretycznych od
średniej (zmienność objaśniona)
SSE (error sum of squares)  nieobjaśniona wariancja zmiennej
objaśnianej y, suma kwadratów reszt, czyli suma kwadratów odchyleń
wartości teoretycznych od empirycznych (zmienność nieobjaśniona)
r
I
Współczynnik zbieżności
e2
��
2 2
Współczynnik zbieżności j�2 : j� =� 1 -� R2 j� =�
( y -� y)2
��
Skorygowany współczynnik determinacji (Adjusted R-squared)
umożliwia porównywalność różnych modeli ekonometrycznych
n -� 1
~
R2 =� 1 -� (1 -� R2)
n -� k -� 1
r
I
Jak zapisujemy ostateczny wynik estymacji
w
= 54,353 - 2,871 x1 + 1,784 x2 + 0,873 x3
(29,410) (0,446) (0,539) (0,310)
r
I
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania
Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT
__________________________________________________________________
Prognoza
na podstawie jednorównaniowego modelu ekonometrycznego
Jeżeli dla klasycznego modelu regresji liniowej o postaci:
y =� a0 +� a1 xi1 +� ... +� ak xi k +� e�i , i =� 1, ... , n
i
spełnione są wszystkie założenia schematu Gaussa-Markowa, wtedy
MNK-estymator jest BLUE, a prognoza na okres n+s wynosi:
w
=� a0 +� a1 xn+�s,1 +� ... +� ak xn+�s,k , s =� 1, ... ,T
n+�s
Irena Woroniecka EKONOMIA MENEDŻERSKA - dodatek do W2
Wydział Informatycznych Technik Zarządzania
Wyższa Szkoła Informatyki Stosowanej i Zarządzania WIT
__________________________________________________________________
Błędy prognozy
Błąd prognozy ex ante w okresie n+s - Vn+s :
2 2
2
Vn+�s =� Se [ 1 +� xn+�s (XT X )-�1 xT ] Vn+�s =� Vn+�s
n+�s
Błąd prognozy ex post w okresie n+s - �n+s :
d� =� yn+�s -� w
n+� s
n+� s
Vn+�s d�n+� s
* *
Względne błędy prognozy :
d� =� 100%
Vn+� s =� 100%
n+�s
w
n+�s
w
n+� s
y
ródła błędów prognoz
a. błędy estymacji (wartości estymatorów różnią się od rzeczywistych wartości
parametrów)
b. błędy struktury stochastycznej (jeśli założenia dotyczące składnika losowego nie są
spełnione, estymatory tracą pożądane własności)
c. błędy losowe (wynikające z niedeterministycznego charakteru zjawisk społeczno-
gospodarczych)
d. błędy pomiaru wynikające z niedokładności pomiaru statystycznego
e. błędy specyfikacji:
- błędy wynikające z nieuwzględnienia wśród zmiennych objaśniających niektórych
czynników mogących mieć wpływ na kształtowanie się zmiennej objaśnianej
- błędy wynikające z przyjętej postaci analitycznej, niedokładnie odzwierciedlającej
rzeczywistą zależność funkcyjną
f. błędy warunków endogenicznych (zmienia się siła oddziaływania między zmiennymi)
g. błędy warunków egzogenicznych (błędnie przyjęte wartości zmiennych egzogenicznych
w okresie prognozy)
r
I