Zadania domowe - cześć 4
CAKI, SZEREGI TAYLORA I SZEREGI LAURENTA.
1. Obliczyć |z|zdz, gdzie ł jest górnym pólokregiem |z| = 1 zorientowanym dodatnio.
Å»
Å‚
2. Obliczyć Rez dz, gdzie ł jest odcinkiem laczacym punkt 0 z punktem 1 + i.
Å‚
y2
3. Obliczyć zdz, gdzie ł jest lukiem elipsy x2 + = 1 od punktu (1, 0) do punktu (0, 2).
Å»
Å‚ 4
4. Obliczyć
z
dz,
z
Å»
Å‚
gdzie ł jest brzegiem górnej polowy pierścienia 1 < |z| < 2 zorientowanym dodatnio.
1
5. Niech f(z) = . Czy f ma funkcje pierwotna w obszarze G = {|z - 1| > 0?
z-1
6. Korzystajac ze wzoru calkowego Cauchy obliczyć
cos z
dz.
z
C(4,5)
7. Korzystajac z twierdzenia i ze wzoru Cauchy obliczyć
1
dz.
z2 + 1
C(0,2)
8. Niech gladki kontur ł bedzie brzegiem obszaru o polu A. Udowodnić, że
a) ydz = A b) zdz = iA.
Å»
Å‚ Å‚
9. Wyznaczyć szereg Taylora funkcji f(z) = sinh z o środku w punkcie z0 = 0. Ile wynosi promień
zbieżności otrzymanego szeregu?
10. Znalez
ć rozwiniecie w szereg Taylora o środku w punkcie z0 = 0 galezi glównej funkcji f(z) =
(1 + z)µ dla |z| < 1, µ " R.
11. Znalez
ć rozwiniecie w szereg Taylora o środku w punkcie z0 = 0 galezi glównej funkcji f(z) =
1
"
dla |z| < 1.
1+z
12. Wyznaczyć szereg Taylora galezi glównej funkcji f(z) = arcsin z w punkcie z0 = 0. Znalez
ć
promień kola zbieżności.
13. Znalez
ć szereg Taylora
"funkcji f(z) = cos2 z o Å›rodku w punkcie z0 = 0. Nastepnie wykazać,
że funkcja g(z) = z3 cos2( z) jest calkowita. Wykazać, że z0 = 0 jest trzykrotnym zerem funkcji
g(z).
14. Znalez
ć cześć glówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu P (0, 0, 1) (z0 = 0) galezi
glównej funkcji
f(z) = z-10 arcsin(z).
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie z0. Korzystajac z powyższych rozwinieć oraz z twier-
dzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepujaca calke
z-10 arcsin(z)dz, 0 < r < 1.
C(0,r)
15. Obliczyć
ez
dz.
(z2 - 4)2
C(0,1)
16. Obliczyć
ez sin z
+ + z cos z dz.
1
(z
(z2 + ) - i)3
C(i,2)
4
17. Korzystajac z twierdzenia o residuach obliczyć
2Ä„
dÕ
.
5 + 4 sin Õ
0
18. Niech
1 - e2iz
f(z) = .
z2
Calkujac funkcje f po odpowiednio dobranym konturze obliczyć
"
sin2 x
dx.
x2
0
19. Wykazać, że
" "
1 4Ä„ cos x Ä„
"
a) dx = , b) dx = e-a, (a > 0),
(x2 + x + 1)2 3 3 x2 + a2 a
-" -"
"
ln x Ä„2
c) dx = - " .
1 + x4
8 2
0
ODPOWIEDZI:
1 3 4
1. iĄ 2. (1 + i) 3. + iĄ 4. 5. nie 6. 2Ąi 7. 0
2 2 3
8. Skorzystać z tego, że zdz = 0, a stad xdz = -i ydz.
Å‚ Å‚ Å‚
"
z2k+1
9. sinh z = , R = ".
k=0
(2k+1)!
µ µ " µ
10. (1 + z)µ = 1 + z + . . . zn + . . . = zn dla |z| < 1,
1 n n=0 n
µ(µ-1)...(µ-n+1)
µ µ
przy czym = , oraz := 1.
n n! 0
" (-1)n(2n-1)!!
1
"
11. Można skorzystać z rozwiazania zadania 10; = 1 + zn.
n=1
(2n)!!
1+z
" (2n-1)!!
z2n+1
12. arcsin z = z + dla z " D(0, 1) (tzn. r = 1). Można skorzstać z tego, że
n=1
(2n)!! 2n+1
"
1
"
arcsin z = -i ln(iz + 1 - z2) dla z = Ä…1 oraz (arcsin z) = dla z = Ä…1.

1-z2
" 22n+1(-1)n+1
13. cos2 z = 1 + z2n+2.
n=0
(2n+2)!
" (2n-1)!!z2n-9
14. Skorzystać z zadania 12; cześć regularna ma postać , cześc glówna ma postać
n=5
(2n)!!2n+1
1 3!! 1 5!! 1 7!! 1
+ +1!! 1 + + + ,
z9 2!! 4!! 6!! 8!! 9z
3z7 5z5 7z3
7!!
z-10 arcsin(z)dz = · 2Ä„i 0 < r < 1.
C(0,r) 8!!9
i i
2
e e- 2
1
15. 0 16. Skorzystać z twierdzenia o residuach; 2Ąi + + (- sin i) .
i -i 2
2 1
17. Ä„ 18. Ä„
3 2