Am2 pd.11
zad.1
x3
Obliczyć z definicji pochodnÄ… kierunkowÄ… funkcji f (x, y) =ð w punkcie P0 (-ð1,2) w kierunku wersora
y
dwusiecznej pierwszej ćwiartki.
Wyznaczyć kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P0 (-ð1,2) .
Zad.2
z
y
Obliczyć pochodnÄ… kierunkowÄ… funkcji f (ðx, y, z)ð=ð w punkcie P(1,e,2) w kierunku wektora
x2
v =ð (ð2,-ð1,2)ð.
Wyznaczyć kierunek najszybszego spadku funkcji f w punkcie P(1,e,2) .
zad.3 Obliczyć całki podwójne po wskazanych prostokątach
x2
a)
òðòð1 +ð y2 dxdy D =ð[-ð1,2]´ð[0,1]
D
x
b) xy ln dxdy D =ð[1,e]´ð[1,2]
òðòð
y
D
zad.4 Zmienić kolejność całkowania, naszkicować obszar całkowania
1+ð 1-ð y2
2 2-ðx 0 0 1
a) f (x, y)dy b) f (x, y)dx c) f (x, y)dx
òðdx òð òðdy òð òðdy òð
-ð6 -ð2 0 y
x2 y2 -ð4
-ð1
4
(3-ðx) / 2
1 x2 3 1 x 2 1-ð 4x-ðx2 -ð3
d) f (x, y)dy +ð f (x, y)dy e) f (x, y)dy +ð f (x, y)dy
òðdxòð òðdx òð òðdxòð òðdx òð
0 0 1 0 0 0 1 0
zad.5 Naszkicować obszar całkowania, zmienić kolejność całkowania
0 ex 1 1-ðx e ex
a) f (x, y)dy , b) f (x, y)dy , c) f (x, y)dy .
òðdx òð òðdx òð òðdx òð
x 1
-ð1 ln x 1 ln x
-ð
e e
zad.5 Obliczyć całki
a) ydxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y =ð 2 -ð x2 , y =ð -ð1, y =ð1, x =ð1-ð 1-ð y2 .
òðòð
D
Wskazówka: =1, opisz obszar względem osi Oy.
b) min(x, x +ð y)dxdy P =ð[1,2]´ð[-ð1,3].
òðòð
P
zad.6
1
Obliczyć Å›redniÄ… caÅ‚kowÄ… funkcji f (x, y) =ð 1-ð (x2 +ð y2 ) w obszarze ograniczonym podanymi liniami
4
y =ð -ð1, y =ð1, x =ð 0, x =ð1. Podać interpretacjÄ™ geometrycznÄ… otrzymanej Å›redniej caÅ‚kowej.
Zad.7
1 1-ðx
2
Obliczyć całkę
òðdx òð(x +ð y2 )dy . Narysować bryÅ‚Ä™, której objÄ™tość jest równa tej caÅ‚ce.
0 0
zad.8
z
Obliczyć caÅ‚kÄ™ dxdydz gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami z =ð y2 -ð1 ,
òðòðòð
x2 +ð 4
V
z =ð 0 , x =ð 0 , x =ð 2 . Naszkicować obszar caÅ‚kowania V.
Zad.9
Am2 pd.11
Obliczyć całkę ydxdydz gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami
òðòðòð
V
z =ð 0, z =ð y, y =ð1-ð x2 . Naszkicować obszar caÅ‚kowania V.
Odp.
7 2
zad.1 , kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie P0 (-ð1,2) wskazuje gradient funkcji w
8
3 1
éð Å‚ð
tym punkcie gradf(-ð1,2) =ð ,
Ä™ð2 4Å›ð .
ëð ûð
Oczywiście można podać wektor równoległy i zgodnie skierowany z gradientem .
Å›ðf 2
Zad.2 (1,e,2) =ð -ð e(1+ð e)
Å›ðiv 3
kierunek najszybszego spadku funkcji f w punkcie P0(1,e,2) wskazuje kierunek
-ð gradf(1,e,2) =ð[ð2e2,2e,e2]ð.
3pð 3
Zad.3 a) , b) e2 +ð ln2(1 -ð e2 ) .
4 4
Zad.4
2 y+ð1
2-ð y
2 2-ðx 0 8
a) f (x, y)dy =ð f (x, y)dx +ð f (x, y)dx ;
òðdx òð òðdy òð òðdy òð
-ð6 -ð1 0
x2 -ð2 y+ð1 -ð2 y+ð1
-ð1
4
0 0 0 0
b) f (x, y)dx =ð f (x, y)dy ;
òðdy òð òðdx òð
-ð2 -ð4
y2 -ð4 -ð x+ð4
1+ð 1-ð y2
1 1 x 2 2x-ðx2
c) f (x, y)dx =ð f (x, y)dy +ð f (x, y)dy ;
òðdy òð òðdxòð òðdx òð
0 y 0 0 1 0
(3-ðx) / 2 3-ð2 y
1 x2 3 1
d) f (x, y)dy +ð f (x, y)dy =ð f (x, y)dx;
òðdxòð òðdx òð òðdy òð
0 0 1 0 0
y
2-ð 2 y-ð y2
1 x 2 1-ð 4x-ðx2 -ð3 1
e) f (x, y)dy +ð f (x, y)dy =ð f (x, y)dx .
òðdxòð òðdx òð òðdy òð
0 0 1 0 0 y
Zad.5
1
0 ex 0 1 0
e
a) f (x, y)dy =ð f (x, y)dx +ð f (x, y)dx ,
òðdxòð òðdy òð òðdy òð
x 1
-ð1 0 -ðey ln y
-ð
e e
1
1-ð
1 1-ðx 0 ey 1-ð y
e
b) f (x, y)dy =ð f (x, y)dx +ð dy f (x, y)dx,
òðdx òð òðdyòð òð òð
1 1 1
ln x -ð1 0
e e e
e ex 1 ey e e ee e
c) f (x, y)dy =ð f (x, y)dx +ð f (x, y)dx +ð f (x, y)dx .
òðdx òð òðdyòð òðdyòð òðdy òð
1 ln x 0 1 1 1 e ln y
1-ð 1-ð y2
1
2 11
Zad.5 a) (ð3 3 -ð 7)ð wsk. ydxdy =ð ydx , b) .
òðòð òðdy òð
15 2
D -ð1
-ð 2-ð y
Am2 pd.11
5
Zad.6
6
1
Zad.7 , caÅ‚ka jest równa objÄ™toÅ›ci bryÅ‚y ograniczonej powierzchniÄ… paraboloidy z =ð x2 +ð y2 i
6
pÅ‚aszczyznami x =ð 0, y =ð 0, z =ð 0, y =ð1-ð x .
pð 32
Zad.8 -ð Zad.9
15 105