AM2 pd.5 2011/12
Zad.1 Naszkicować wykresy funkcji
a) , b) , c) ,
f (x, y) =� x2 +� y2 f (x, y) =� 1+� x2 +� y2 f (x, y) =� x2 +� ( y -�1)2
d) f (x, y) =� 4 -� (x2 +� y2 ) , e) f (x, y) =�1-� 2x -� x2 +� 4y -� y2 .
2xy
Zad.2 Wykazać, że nie istnieje granica lim .
x��0
x2 +� y2
y��0
xy
Zad.3 Obliczyć granicę lim .
(x, y)��(0,0)
xy +�1 -�1
xy
Zad.4 Wykazać, że lim =� 0 .
( x,y)��(0,0)
x2 +� y2
Zad.5 Wyznaczyć warstwice funkcji f (x, y) =� 2x -� y , a następnie najmniejszą i największą wartość
tej funkcji na zbiorze A, gdzie A =� {(x, y)�� R2 : -�1 Ł� x Ł� 4, -� 3 Ł� y Ł� 2} .
Zad.6 Wyznaczyć warstwice funkcji f (x, y) =� ye-�x , a następnie najmniejszą i największą wartość tej
funkcji na zbiorze T, gdzie T =�{�(x, y)��R2 : x Ł�1Ł� y ł�1Ł� y Ł� 2x +� 2}�,
Zad.7 Dla funkcji f (x, y) =� x4 -� 2x2 y +� y2 wyznaczyć warstwice, a następnie najmniejszą i
największą wartość na zbiorze K =�{�(x, y)��R2 : x2 +� y2 Ł� 4}�.
Zad.8
Zbadać ciągłość funkcji
ln(1 +� xy)
��
dla 1 +� xy >� 0 Ł� y ą� 0
��
a) f (x, y) =� y
��
��x dla x�� R, y =� 0
��
��
xy4
�� dla (x, y) ą� (0,0)
b) f (x, y) =� .
��
x2 +� y4
��
0 dla (x, y) =� (0,0)
��
ODP.
5
Zad.1 d) dolna półsfera o środku (1,2,1) i promieniu
2 2 2
Sfera o środku (x0 , y0 , z0 )
i promieniu R ma równanie (�x -� x0 )� +� (�y -� y0 )� +� (�z -� z0 )� =� R2
(Zbiór punktów, których odległość od punktu (x0 , y0 , z0 ) jest równa R.)
Zatem
2 2
górna półsfera z =� z0 +� R2 -� (�x -� x0 )� -� (�y -� y0 )�
2 2
dolna półsfera z =� z0 -� R2 -� (�x -� x0 )� -� (�y -� y0 )�
f (x, y) =�1-� 2x -� x2 +� 4y -� y2 =�1-� 5 -� (x -�1)2 -� (y -� 2)2
Zad.3 2
na
Zad.5 f : R2 �� R Jeżeli c�� R , to f (x, y) =� c gdy y =� 2x -� c .
min f (x, y) =� f (-�1,2) =� -�4 , max f (x, y) =� f (4,-�3) =� 11
( x,y)��A ( x,y)��A
Zad.6
na
f : R2 �� R . Jeżeli c�� R , to f (x, y) =� c gdy y =� cex .
min f (x, y) =� f (1,1) =� e-�1 , max f (x, y) =� f (0, 2) =� 2
(x, y)��T (x, y)��T
zad.7
AM2 pd.5 2011/12
na
,
f (x, y) =� (x2 -� y)2 ł� 0 f : R2 �� ��0,Ą�) .
Jeżeli , to .
gdy
c ł� 0 f (x, y) =� c y =� x2 ą� c
1
,
min f (x, y) =� 0 max f (x, y) =� 18
( x,y)��K ( x,y)��K
16
Zad.8
a) funkcja ciągła we wszystkich punktach dziedziny.
Zauważ, że dla otrzymujemy
x0 ą� 0
ln(1+� xy) ln(1+� xy)
lim f (x, y) =� lim =� lim �� x =�1�� x0 =� x0 =� f (x0 ,0)
(x, y)��(x0 ,0) (x, y)��(x0 ,0) (x, y)��(x0 ,0)
y xy
H
ln(1 +� t) 1
Wykorzystano lim =� lim =�1
0
t��0 �� ł� t��0
t 1 +� t
ę� ś�
0
�� ��
b) funkcja ciągła
W punktach (x, y) ą� (0,0)
funkcja jest ciągła (uzasadnij dlaczego?). Pokażemy, że jest ciągła również
xy4
w punkcie (0,0), ponieważ lim =� 0 =� f (0,0) .
x��0
x2 +� y4
y��0
xy4
Z definicji Cauchy ego, pokażemy że lim =� 0
x��0
x2 +� y4
y��0
Korzystamy z nierówności (odpowiednik (a -� b)2 =� a2 +� b2 -� 2ab ł� 0 )
2
(�x -� y2)� =� x2 +� y4 -� 2 x y2 ł� 0 ,
skąd dostajemy oszacownie
x y2 1
Ł� .
2
x2 +� y4
Niech e� będzie dowolną dodatnią liczbą. Wez
my punkty należące do sąsiedztwa punktu (0,0) o
promieniu d� =� 2e� , czyli
0 <� x2 +� y2 <� d� =� 2e�
a zatem zachodzą nierówności y <� 2e� czyli y2 <� 2e� .
Stąd dla (x, y) ą� (0,0)
x y4 1 1
xy4
f (x, y) -� 0 =� -� 0 =� Ł� y2 <� 2e� =� e� .
2 2
x2 +� y4 x2 +� y4