Am2 pd.9 2011/12
Zad.1
Zbadać czy w otoczeniu punktu (0,0) istnieje jednoznacznie określona funkcja
y =� f (x)
rozwikłująca równanie x2 +� y2 -� ln(1+� x2 +� y2 ) =� 0 .
Zad.2
W otoczeniu jakich punktów istnieje jednoznacznie określona funkcja rozwikłująca
y =� f (x)
y
równanie ln x2 +� y2 -� arctg =� 0 .
x
Zad.3 (punkt a)zrobiony na ćwiczeniach)
2
a) Wyznaczyć w punkcie wartość pierwszej i drugiej pochodnej funkcji y =� f (x)
e
2
ć� ��
określonej równaniem xy -� ln y -�1=� 0 jeżeli f =� e . Naszkicować na tej podstawie wykres
�� ��
e
Ł� ł�
tej funkcji w otoczeniu tego punktu.
ln y +�1
b) Sprawdzić, otrzymane w punkcie a) wyniki szkicując wykres funkcji x =� g( y) =� w
y
otoczeniu punktu e.
zad.4
Obliczyć ó� ó�ó� jeżeli f (e) =�1 y =� f (x) jest uwikłana równaniem x2 y -� e2 y =� 0 .
f (e), f (e) i funkcja
Napisać równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie .
x0 =� e
zad.5
Wyznaczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji y =� f (x) rozwikłującej równanie
y y
a) y =� 2xarctg , b) ln x2 +� y2 -� arctg =� 0 .
x x
Otrzymane wyrażenia sprowadzić do najprostszej postaci.
Zad.6
Wyznaczyć ekstremum funkcji uwikłanej y =� y(x) określonej równaniem
a) y2 -� 2yx2 +� 4x -� 3 =� 0
b) 2x2 +� y2 +� 2xy +� y -� 4 =� 0
2
c) (�x2 +� y2)� -� 2a2(�x2 -� y2)�=� 0 (lemniskata Bernoullego)
zad.7 f =� f (x, y, z)
ś�f ś�f ś�f
Przekształcić wyrażenie +� +� wprowadzając nowe zmienne u1 =� x , u2 =� y -� x ,
ś�x ś�y ś�z
u3 =� z -� x .
Zad.8 F =� F(x, y)
Przekształcić wyrażenie wprowadzając nowe zmienne u, w
ś�F ś�F y
a) x +� y u =� x , w =�
;
ś�x ś�y x
ś�2F 1 ś�2F
b) -� ; u =� x +� ay, w =� x -� ay gdzie a oznacza stałą dodatnią.
ś�x2 a2 ś�y2
Zad.9
ś�F ś�F
Przekształcić wyrażenie x -� y wprowadzając współrzędnych biegunowe.
ś�x ś�y