Przykłady do zadania 5.4:
W podanych całkach iterowanych zmienić kolejność całkowania:
1 1
(a) dx f(x, y)dy
x
0
" obszar całkowania to D = {(x, y) : 0 x 1, x y 1}
1.5
y
" rysunek
y=1
1 1
x=0
0.5
y=x
0
0 x
1
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
" Zatem D = {(x, y) : 0 y 1, 0 x y}
1 1 1 y
" StÄ…d dx f(x, y)dy = dy f(x, y)dx
x
0 0 0
ln y
e2
(b) dy f(x, y)dx
1 0
" obszar całkowania to D = {(x, y) : 1 y e2, 0 x ln y}
8
y y=e2
" rysunek
e2
7
6
5
x=0
4
3
x=ln(y)
y=ex
2
1 1
0
x
0 2
-1
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" x = ln y Ð!Ò! y = ex
" Zatem D = {(x, y) : 0 x 2, ex y e2}
ln y
e2 2 e2
" StÄ…d dy f(x, y)dx = dx f(x, y)dy
1 0 0 ex
1
 Ä„ sin x

(c) dx f(x, y)dy
0 0
" obszar całkowania to D = {(x, y) : 0 x Ą, 0 y sin x}
1.5
" rysunek
y
y=sin(x)
1
0.5
0
0 Ä„ x
y=0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
Ä„
" y = sin x, 0 x Ð!Ò! x = arc sin y, 0 y 1
2
Ä„
y = sin x, x Ä„ Ð!Ò! x = Ä„ - arc sin y, 0 y 1
2
1.5
" rysunek y
1
1
x=arcsin(x) x=Ä„-arcsin(x)
0.5
0
x
0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" Zatem D = {(x, y) : 0 y 1, arc sin y x Ä„ - arc sin y}
Ä„ sin x 1 Ä„-arc sin y

" StÄ…d dx f(x, y)dy = dy f(x, y)dx
0 0 0 arc sin y
2
Przykłady do zadania 5.5:
Obliczyć podane całki iterowane oraz narysować obszar całkowania:
2x
2
dy
(a) dx
(1 + x + y)2
x
0
2

x
" obszar całkowania to D = (x, y) : 0 x 2, y 2x
2
4.5
" rysunek
y
4
3.5
3
2.5
y=2x
2
1.5
1
0.5
y=x/2
0
0
2 x
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
ëÅ‚
y=2xöÅ‚ 2
2x
2 2

dy 1 1 1

íÅ‚ Å‚Å‚
" dx = - dx = - + dx =
3

(1 + x + y)2 1 + x + y 1 + 3x 1 + x
x
x y= 2
0 0 0
2
2
ëÅ‚
x=2



1 2 3 1 2
íÅ‚
= - ln |1 + 3x| + ln 1 + x = - ln 7 + ln 4



3 3 2 3 3
x=0
1
e x
(b) dx exydy
1 0

1
" obszar całkowania to D = (x, y) : 1 x e, 0 y
x
1.5
" rysunek
y
1
y=1/x
0.5
0
e
x
1 y=0
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
ëÅ‚ öÅ‚
x=e
e x e y= 1 e
x
1 1 1
íÅ‚
" dx exydy = exy Å‚Å‚ dx = e - dx = (e - 1) ln |x| = e - 1


x x x
y=0 x=1
1 0 1 1
3
Przykład do zadania 5.7:

"
Obliczyć wartość średnią funkcji f(x, y) = x na obszarze D = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1 - x2 .
" D to ćwiartka koła o promieniu 1
" rysunek
1.5
y
1
y=(1-x2)1/2
0.5
0
0
1 x
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
1 Ä„
" pole obszaru D to |D| = · Ä„ · 12 =
4 4
îÅ‚ Å‚Å‚
"
y = 1 - x2
ëÅ‚ öÅ‚
1-x2
1 1 y="1-x2 1
ïÅ‚ śł
"
dy = -2xdx
ïÅ‚ śł
íÅ‚ Å‚Å‚
" f(x, y) dxdy = dx xdy = xy dx = x 1 - x2dx = ïÅ‚ śł =

ðÅ‚ ûÅ‚
x 0 1
y=0
D 0 0 0 0
y 1 0
ëÅ‚
y=0
0

1 " 1 y3/2 1

íÅ‚
= - ydy = - · =

2 2 3/2 3
y=1
1

1 1 4 4
" fÅ›r = f(x, y) dxdy = · =
|D| 3 Ä„ 3Ä„
D
4
Przykłady do zadania 5.8:
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:

2
(a) e-(x +y2) dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywÄ… x2 + y2 = 2
D
"
" D = {(x, y) : x2 + y2 2} - koło o środku (0, 0) i promieniu 2
2
y
1.5
1
0.5
21/2
0
x
-0.5
-1
-1.5
-2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
"
" D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = {(Õ, Á) : 0 Õ 2Ä„, 0 Á 2}
ëÅ‚ öÅ‚
" "
ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 2 2Ä„ 2

2 2 2 2
ìÅ‚
íÅ‚
" e-(x +y2) dxdy = e-Á Á dÁdÕ = dÕ e-Á Á dÁ = dÕÅ‚Å‚ · e-Á Á dÁ÷Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚
D " 0 0 0 0
ëÅ‚
"2

1 2
íÅ‚
= 2Ä„ · - e-Á = Ä„(1 - e-2)


2
0

dxdy
(b) , gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y2 = 9 i x2 + y2 = 25
x2 + y2 - 1
D
" D = {(x, y) : 9 x2+y2 25} - pierścień kołowy o środku (0, 0) i promieniu wewnętrznym
3, zewnętrznym 5
6
y
4
2
3
5
0
x
-2
-4
-6
-6 -4 -2 0 2 4 6
" D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = {(Õ, Á) : 0 Õ 2Ä„, 3 Á 5}
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 2Ä„
5 5
dxdy 1 Á Á
íÅ‚ íÅ‚
" = Á dÁdÕ = dÕ dÁ = dÕÅ‚Å‚ · dÁÅ‚Å‚ =
x2 + y2 - 1 Á2 - 1 Á2 - 1 Á2 - 1
D " 0 3 0 3
ëÅ‚
5

1
íÅ‚
= 2Ä„ · ln |Á2 - 1| = Ä„(ln 24 - ln 8) = Ä„ ln 3


2
3
5

(c) y dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x, y = 0,
D
(x, y 0)
" D = {(x, y) : 1 x2 + y2 4, 0 y x} - wycinek pierścienia kołowego o środku (0, 0) i
promieniu wewnętrznym 1, zewnętrznym 2
3
y
2
y=x
1
1 2
0
y=0
x
-1
-2
-3
-3 -2 -1 0 1 2 3

Ä„
" D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = (Õ, Á) : 0 Õ , 1 Á 2
4
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
4 2 4 2
ìÅ‚
íÅ‚
" y dxdy = (Á sin Õ) Á dÁdÕ = dÕ Á2 sin Õ dÁ = sin Õ dÕ÷Å‚ · Á2 dÁÅ‚Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚
D " 0 1 0 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚
Õ= Ä„ Á=2öÅ‚ " "


4
Á3 2 8 1 7(2 - 2)

íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
= - cos Õ Å‚Å‚ · = - + 1 · - =


3 2 3 3 3
Õ=0 Á=1

(d) x dxdy, gdzie D to obszar ograniczony krzywymi x2 + (y - 1)2 = 1, y = x, (x y)
D
" D = {(x, y) : x2 + (y - 1)2 1, 0 y x} - fragment koła o środku (0, 1) i promieniu 1
leżący poniżej prostej y = x
3
y
2.5
2
1.5
1
1
y=x
0.5
0
x
-0.5
-1
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
" x2 + (y - 1)2 1 Ð!Ò! x2 + y2 2y Ð!Ò! Á2 2Á sin Õ Ð!Ò! Á 2 sin Õ

Ä„
Zatem D we współrzÄ™dnych biegunowych odpowiada " = (Õ, Á) : 0 Õ , 0 Á 2 sin Õ
4
Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
sin Õ
4 2 4 Á=2

Á3 sin Õ

íÅ‚ Å‚Å‚
" x dxdy = (Á cos Õ) Á dÁdÕ = dÕ Á2 cos Õ dÁ = cos Õ dÕ =

3
Á=0
D " 0 0 0
Ä„
ëÅ‚
Ä„ 4
"
4
4
2 2 2 2 1
íÅ‚
= 4 sin3 Õ cos Õ dÕ = sin4 Õ = =


3 3 3 2 6
0
0
6