Przykład do zadania 5.9:
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi xy = 1, y = x, y = 2x, (x, y 0).

" pole obszaru D to |D| = dxdy
D
" szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:
x-1 = 2x
x-1 = x
1 x = 2x
x2 = , x 0
x2 = 1, x 0 , ,
2
"
x = 0
2
x = 1
x =
2
" rysunek
1.5
y
y=x-1
1
y=2x
0.5
y=x
0
0 x
1/21/2 1
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
"
2
" D = D1 *" D2, gdzie D1 = (x, y) : 0 x , x y 2x ,
2
"
2
D2 = (x, y) : x 1, x y x-1
2
"
2
2x
2 1 x-1

" Stąd |D| = dxdy = dxdy + dxdy = dx dy + dx dy =
"
x x
D D1 D2 0 2
2
"
�ł "
2
�ł
2 1 "
2 1
2
"
x2 x2 1 2 1 1
�ł
�ł
= (2x - x)dx + (x-1 - x)dx = + ln |x| - = - ln - + = ln 2 > 0
�ł
"

2 2 4 2 2 4
2
"
0
0 2 2
2
1
Przykłady do zadania 5.10:
Obliczyć objętości brył ograniczonych podanymi powierzchniami:
1
"
(a) bryła V ograniczona przez z = , z = 0, x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 9
x2 + y2
" Uwaga: dwa ostatnie równania określają tu powierzchnie boczne walców, a nie okręgi
" rysunek
z
1.5
r=1
1
z=1/(x2+y2)1/2
0.5
-2
0
y
2
0 r=3
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
4
y
3
2
1
1 3
0
x
-1
-2
D
-3
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1
"
" V = (x, y, z) : (x, y) " D, 0 z ,
x2 + y2
gdzie D = {(x, y) : 1 x2 + y2 9}


1
"
" Objętość bryły V to |V | = - 0 dxdy
x2 + y2
D
" Zastosujemy współrzędne biegunowe.
Obszarowi D odpowiada wtedy obszar " = {(�, �) : 0 � 2Ą, 1 � 3}
�ł �ł �ł �ł
2Ą 2Ą
3 3
dxdy 1
�ł �ł
" "
" |V | = = � d�d� = d� d� = d�łł � d�łł =
x2 + y2 �2
D " 0 1 0 1
= 2Ą � 2 = 4Ą > 0
2
(b) bryła V ograniczona przez z = ey-x, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0
" rysunek
z
3
2.5
z=ey-x
2
1.5
1
1
0.5
0 1
y
x+y=1
1
x
-0.5
0
-0.5
0.5
-0.5
0
1
0.5
1
1.5
1.5
1.5
y
1 1
y=1-x
0.5
D
0
0 x
1
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5
" V = {(x, y, z) : (x, y) " D, 0 z ey-x},
gdzie D = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1 - x}
�ł
1 1-x 1 y=1-x�ł


�ł
" Objętość bryły V to |V | = ey-x - 0 dxdy = dx ey-xdy = ey-x łł dx =


y=0
D 0 0 0
�ł
x=1
1

e1-2x e-1 e 1 e
�ł
= e1-2x - e-x dx = - + e-x = - + e-1 + - 1 = + - 1 > 0


2 2 2 2e 2
x=0
0
3
Przykłady do zadania 5.11:
Obliczyć pola podanych płatów:
"
(a) płat Ł to fragment wykresu funkcji f(x, y) = x2 + y2 dla (x, y) " D, gdzie D = {(x, y) :
x2 + y2 2x}
" Uwaga: Ł to fragment bocznej powierzchni stożka wycięty walcem (x - 1)2 + y2 2x
" rysunek
3.5
z
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
y
-0.5 x
-3
-3
-2
-2
-1
-1
0 0
1
1
2
1.5
y
1
0.5
0 2
0
x
(1,0)
-0.5
D
-1
-1.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

"
" Ł (x, y, z) : (x, y) " D, z = f(x, y) = x2 + y2 ,
gdzie D = {(x, y) : (x - 1)2 + y2 1}

2 2



"f "f

" pole płata Ł to |Ł| = 1 + (x, y) + (x, y) dxdy
"x "y
D
"f 2x y
"f
" "
" = , =  ciągłe na D
"x 2 x2 + y2 "y x2 + y2
2 2 2 2
"f "f x y
" "
" 1 + (x, y) + (x, y) = 1 + + = 2
"x "y x2 + y2 x2 + y2

" " " "
" |Ł| = 2 dxdy = 2 |D| = 2 � Ą � 12 = Ą 2 > 0,
D
bo D to koło o promieniu 1.
4
"
(b) płat Ł to fragment wykresu funkcji f(x, y) = 16 - x2 - y2 pomiędzy płaszczyznami z = 1 i
z = 2
"
" 1 16 - x2 - y2 2 �!�! 15 x2 + y2 12,
zatem Ł to fragment powierzchni sfery dla (x, y) " D, gdzie D = {(x, y) : 12 x2 + y2
15},

"
Ł (x, y, z) : (x, y) " D, z = f(x, y) = 16 - x2 - y2
" rysunek
4.5
z
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
4
x
2
4
2
0
y
0
-2
-2
-4
-4
5
y
4
3
2
1
121/2 151/2
0
x
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

2 2



"f "f

" pole płata Ł to |Ł| = 1 + (x, y) + (x, y) dxdy
"x "y
D
"f -2x -y
"f
" "
" = , =  ciągłe na D
"x 2 16 - x2 - y2 "y 16 - x2 - y2
2 2 2 2
"f "f -x -y 16
" "
" 1+ (x, y)+ (x, y) = 1+ + =
"x "y 16 - x2 - y2 16 - x2 - y2 16 - x2 - y2

4
"
" |Ł| = dxdy
16 - x2 - y2
D
" Zastosujemy współrzędne biegunowe.
" "
Obszarowi D odpowiada wtedy obszar " = {(�, �) : 0 � 2Ą, 12 � 15}
"
2Ą
15
4 4 4
" " "
" |Ł| = dxdy = � d�d� = d� � d� =
16 - x2 - y2 16 - �2 16 - �2
"
D " 0
12
�ł
"15
"

2Ą
"
15 -2
�ł
"
= d� � (-2�)d� = 2Ą � -2 � 2 16 - �2 = -8Ą(1 - 2) = 8Ą > 0

"
"
16 - �2
0
12
12
5
Przykłady do zadania 5.12:
Obliczyć masy podanych obszarów D o wskazanych gęstościach powierzchniowych �(x, y):
(a) D - obszar ograniczony krzywymi x = 0, y = 0, x + y = 2; �(x, y) = xy
" Uwaga: dla (x, y) " D funkcja �(x, y) 0

" M = �(x, y) dxdy = xy dxdy
D D
" D = {(x, y) : 0 x 2, 0 y 2 - x}
2.5
y
" rysunek
2
2
1.5
x+y=2
1
0.5
0
x
0 2
-0.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
�ł
2 2-x 2 y=2-x 2


y2 (2 - x)2

�ł
" M = xy dxdy = dx xy dy = x dx = x � dx =

2 2
y=0
D 0 0 0 0
�ł
2
2

1 2x3 x4 16 2

�ł
= (4x - 4x2 + x3)dx = x2 - + = 4 - + 2 = > 0.

2 3 8 3 3
0
0
6
1
(b) D - obszar ograniczony krzywymi x2 + y2 = 4, y = 1, (y 1); �(x, y) =
(x2 + y2)2
" Uwaga: funkcja �(x, y) 0

1
" M = �(x, y) dxdy = dxdy
(x2 + y2)2
D D
" D = {(x, y) : y 1, x2 + y2 4}
2.5
y
" rysunek
2 x2+y2=4
1.5
1
y=1
0.5
0
x
2
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" Zastosujemy współrzędne biegunowe.
Ą 5Ą 1
Obszarowi D odpowiada wtedy obszar " = {(�, �) : � , � 2}, gdyż
6 6 sin �
Ą 5Ą
y = 1 = 2 sin �, � " [0, 2Ą] �!�! � = (" ;
6 6
1
1 y �!�! 1 � sin � �!�! �
sin �
5Ą
6 2
1 1
" M = dxdy = � d�d� = d� �-3 d� =
(x2 + y2)2 �4
Ą
1
D "
6
sin �
5Ą 5Ą 5Ą
�ł
�=2
6 6 6

1 1 1 1 1
�ł
= - �-2 d� = - + sin2 � d� = - + 1 - cos(2�) d� =


2 8 2 4 2
1
Ą �= Ą Ą
sin �
6 6 6
�ł
5Ą

6
1 1 1 1 5Ą 1 5Ą Ą 1 Ą
�ł
= � - sin(2�) = - sin - + sin =


4 2 2 4 12 2 3 12 2 3
Ą
6
" "
Ą 1 3 Ą 3
= + � � 2 = + > 0
12 8 2 12 8
7