Przykłady do zadania 5.1:
Obliczyć dane całki podwójne po wskazanych prostokątach

Ä„ Ä„ Ä„
(a) sin(x + y) dxdy, R = - , × 0,
4 4 4
R
Ä„ Ä„
4 4
" sin(x + y) dxdy = dx sin(x + y)dy =
Ä„
R - 0
4
Ä„ Ä„
y= Ä„
4 4
4
Ä„
" = (- cos(x + y) dx = (- cos(x + ) + cos x)dx =

4

Ä„ y=0 Ä„
- -
4 4
x= Ä„
4
"
Ä„ Ä„ Ä„
" = (- sin(x + ) + sin x = - sin + sin + sin 0 - sin -Ä„ = 2 - 1

4 2 4 4

Ä„
x=-
4

(b) (x2 + y2x) dxdy, R = [-1, 1] × [2, 4]
R
4 1
" (x2 + y2x) dxdy = dy (x2 + y2x)dx =
R 2 -1
x=1
4 4

x3 x2 2

" = + y2 · dy = + 0 dy =

3 2 3
x=-1
2 2
2 4
" = · 2 =
3 3
Przykłady do zadania 5.2:
Podane całki podwójne zamienić na sumy iloczynów całek pojedynczych

(a) ex+y dxdy, R = [0, 1] × [0, 1]
R

" ex+y dxdy = exey dxdy =
R R
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚2
1 1 1
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
" = exdxÅ‚Å‚ · eydyÅ‚Å‚ = exdxÅ‚Å‚ =
0 0 0
ëÅ‚
x=1öÅ‚2

íÅ‚
" = ex Å‚Å‚ = (e - 1)2


x=0

(b) xy(x + y) dxdy, R = [-1, 1] × [-1, 1]
R

" xy(x + y) dxdy = x2y dxdy + xy2 dxdy =
R R R
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 1 1 1 1
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
" = x2dxÅ‚Å‚ · ydyÅ‚Å‚ + xdxÅ‚Å‚ · y2dyÅ‚Å‚ = 2 x2dxÅ‚Å‚ · ydyÅ‚Å‚ = 0,
-1 -1 -1 -1 -1 -1
bo druga całka w iloczynie równa jest 0 jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale
symetrycznym względem 0.
1
Przykłady do zadania 5.3:

Całke podwójną f(x, y) dxdy (gdzie f(x, y) jest ciągła na D) zamienić na całki iterowane, jeżeli
D
obszar D ograniczony jest krzywymi o równaniach:
"
2.5
(a) y = x2, y = x
y
2
" rysunek
1.5
1 1
y=x1/2
0.5
y=x2
0
0 1 x
-0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
" szukamy punktów wspólnych podanych krzywych:
"
x2 = x
x4 = x2, x 0
,
x2(x2 - 1) = 0, x 0
x = 0 (" x = 1
dla x = 0 mamy y = 02 = 0, dla x = 1 mamy y = 12 = 1
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo
"
D = {(x, y) : 0 x 1, x2 y x}
"
x
1
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
D 0
x2
2.5
" rysunek
y
2
1.5
1 1
x=y2
0.5
x=y1/2
0
0 1 x
-0.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo
"
D = {(x, y) : 0 y 1, y2 x y}
"
y
1
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D 0
y2
2
(b) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4
" krzywa to okrąg o środku (1, -2) i promieniu 2
" wyznaczenie dolnej i górnej funkcji:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 4

y + 2 = Ä… 4 - (x - 1)2

y = -2 Ä… 4 - (x - 1)2, -1 x 3

d(x) = -2 - 4 - (x - 1)2, g(x) = -2 + 4 - (x - 1)2, -1 x 3
0.5
y
" rysunek
y=-2+(4-(x-1)2)1/2
0
-1 0 3 x
-0.5
-1
-1.5
-2
(1,-2)
-2.5
-3
-3.5
-4
y=-2-(4-(x-1)2)1/2
-4.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to obszar normalny względem osi 0x, bo

D = (x, y) : -1 x 3, -2 - 4 - (x - 1)2 y -2 + 4 - (x - 1)2
"
4-(x-1)2
3 -2+
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy
"
D -1
-2- 4-(x-1)2
" wyznaczenie lewej i prawej funkcji:
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 4

x - 1 = Ä… 4 - (y + 2)2

x = 1 Ä… 4 - (y + 2)2, -4 y 0

l(y) = 1 - 4 - (y + 2)2, p(y) = 1 + 4 - (y + 2)2, -4 y 0
0.5
" rysunek
y
0
x
-0.5
-1.5
(1,-2)
-2.5
x=1-(4-(y+2)2)1/2
-3.5
x=1+(4-(y+2)2)1/2
-4
-4.5
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
" D to także obszar normalny względem osi 0y, bo

D = (x, y) : -4 y 0, 1 - 4 - (y + 2)2 x 1 + 4 - (y + 2)2
"
0 1+ 4-(y+2)2

" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
"
D -4
1- 4-(y+2)2
3
" "
(c) y = -1, y = 1, x = 2 - 1 - y2, x = -1 + 1 - y2
" dwie ostatnie krzywe to półokręgi:
"
x = 2 - 1 y2
"-
x - 2 = - 1 - y2
(x - 2)2 = 1 - y2
(x - 2)2 + y2 = 1, x 2
lewy półokrąg o środku (2, 0) i promieniu 1
"
x = -1 + 1 - y2
"
x + 1 = 1 - y2
(x + 1)2 = 1 - y2
(x + 1)2 + y2 = 1, x 1
prawy półokrąg o środku (-1, 0) i promieniu 1
2
y
" rysunek
1.5
1
1
0.5
x=2-(1-y2)1/2
x=-1+(1-y2)1/2
0
x
(-1,0) (2,0)
-0.5
-1
-1
-1.5
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
" D to obszar normalny względem osi 0y, bo

" "
D = (x, y) : -1 y 1, -1 + 1 - y2 x 2 - 1 - y2
"
1-y2
1 2-
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
"
D -1
-1+ 1-y2
4
" D nie jest obszarem normalnym względem osi 0x, ale jest sumą takich obszarów o roz-
łącznych wnętrzach
D = D1 *" D2 *" D3 *" D4 *" D5

gdzie D1 = (x, y) : -1 x 0, -1 y - 1 - (x + 1)2

D2 = (x, y) : -1 x 0, 1 - (x + 1)2 y 1
D3 = [0, 1] × [-1, 1]

D4 = (x, y) : 1 x 2, -1 y - 1 - (x - 2)2

D5 = (x, y) : 1 x 2, 1 - (x - 2)2 y 1
2
" rysunek y
1.5
y=1
1
0.5
y=(1-(x-2)2)1/2
y=(1-(x+2)2)1/2
0
2
-1 0 1 x
-0.5
y=-(1-(x+2)2)1/2
y=-(1-(x-2)2)1/2
-1
y=-1
-1.5
-2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
"
0 - 1-(x+1)2 0 1

" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy+
"
D -1 -1 -1
1-(x+1)2
"
1 1 2 - 1-(x-2)2 2 1

+ dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
"
0 -1 1 -1 1
1-(x-2)2
5
(d) x = y2, y = x - 2
" D to obszar między parabolą x = y2 a prostą x = y + 2
2.5
y
" rysunek
2
1.5
x=y2
0.5
x=y+2
x
-0.5
-1
-1.5
-2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
" szukamy punktów wspólnych tych krzywych:
y2 = y + 2
y2 - y - 2 = 0
" = 9
1-3 1+3
y1 = = -1, y2 = = 2
2 2
" D to obszar normalny względem osi 0y, bo
D = {(x, y) : -1 y 2, y2 x y + 2 }
2 y+2

" StÄ…d f(x, y) dxdy = dy f(x, y)dx
D -1
y2
" D jest też obszarem normalnym względem osi 0x, wygodniej przedstawić go jako sumę
takich obszarów o rozłącznych wnętrzach
D = D1 *" D2
" "
gdzie D1 = {(x, y) : 0 x 1, - x y x }
"
D2 = {(x, y) : 1 x 4, x - 2 y x }
2.5
y
" rysunek
1.5
y=x1/2
0.5
y=x-2
4
0 1
x
-0.5
y=-x1/2
-1.5
-2.5
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
" "
x x
1 4
" StÄ…d f(x, y) dxdy = dx f(x, y)dy + dx f(x, y)dy
"
D 0 1 x-2
- x
6