AM2 pd.3 2011/12
x +�1
Zad.1 W podanych punktach rozwinąć w szereg Taylora funkcję f (x) =� , wyznaczyć przedziały
x +� 2
zbieżności otrzymanych szeregów
a) w punkcie ; b) w punkcie ; c) w punkcie .
x0 =� 1 x0 =� 0 x0 =� -�3
x +�1 1
Odp. zad.1 f (x) =� =� 1-�
x +� 2 x +� 2
Ą� n+�1
2 x -�1 (x -�1)2 (x -�1)3 2
a)
+� -� +� +�K� =� +�
��(-�1) (x -�1)n szereg zbieżny w przedziale (�-� 2,4)�
3 9 27 81 3 3n+�1
n=�1
Ą� n+�1
1 x x2 x3 1
b)
+� -� +� +�K� =� +�
��(-�1) xn zbieżny w przedziale (�-� 2,2)�
2 4 8 16 2 2n+�1
n=�1
Ą�
c) 2 +� +� 3)n
��(x zbieżny w przedziale (�-� 4,-�2)�
n=�1
zad.2
a) Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f (x) =� sin x .
b) Korzystając z punktu a) rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję g(x) =� sin x2 . Obliczyć na tej
podstawie wartość piątej oraz szóstej pochodnej funkcji g w punkcie 0.
1
sin x2
c) Obliczyć całkę dx z błędem mniejszym niż 0,001.
��
x
0
Odp. Zad.2
Ą�
x4n+�2
n
b) sin x2 =�
��(-�1) (2n +�1)! =� x2 -� x6 +� x10 -� x14 +�K� x �� R , gV (0) =� 0 gVI (0) =� -�120, c) 0,473.
6 5! 7!
n=�0
zad.3 Korzystając z twierdzenia o całkowaniu szeregu potęgowego pokazać, że
Ą�
x2n-�1 x
��2n -�1 =� 1 ln 1+� x dla x ��(-�1,1) .
2 1-�
n=�1
x x
1+� x 1 1
Wsk. ln =� ln(1+� x) -� ln(1-� x) =� dt +� dt .
��1+� t ��1-� t
1-� x
0 0
Uwaga, gdy x ��(-�1,1) , to 1-� x ��(0,2) .
zad.4 Przygotowują Panowie Boros, Czerwiński gr.3,4; Iżycki, Jasiński gr.1,2.
Korzystając z szeregu dwumiennego
Ą�
p p p p
ć� �� ć� �� ć� ��
p
(1+� x) =� 1+� �� ��x +� �� ��x2 +� �� ��x3 +�K� =� �� ��xn dla x ��(-�1,1)
��ć�n ��
��1 �� ��2 �� ��3 �� �� ��
Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł� Ł� ł�
n=�1
1
rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję g(x) =� , a następnie funkcję f (x) =� arcsin x.
1-� x2
zad.5 Przygotowują Panowie Boros, Czerwiński gr.3,4, Iżycki, Jasiński gr.1,2.
Ą� n+�1
Obliczyć sumę szeregu x2n , podać przedział zbieżności.
��34
n
n
n=�0
Ą� n+�1
Wsk. Obliczyć sumę szeregu tn .
��34
n
n
n=�0
Zad.6 Obliczyć sumy szeregów liczbowych wykorzystując własności szeregów potęgowych.
Ą� Ą� Ą�
+�
a)
��n4 2 ; b) ��n(n +�1) ; c) ��5 4n+�1
n n
2n (n +�1)
n=�0 n=�1 n=�0
28
odp. zad.6 a) , b) 8, c) 5ln5.
9
AM2 pd.3 2011/12