AM 2011/12 pd.14,15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZ
DU PIERWSZEGO O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH LUB
SPROWADZALNE DO RÓWNAC
O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
ZAD.1
Rozwiązać równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych lub sprowadzalne do równań o
zmiennych rozdzielonych
a) ó� , naszkicować rodzinę krzywych całkowych
y =� -�y2
y2 -� y
b) ó� ,
y =�
x
2x -� y y
ć� ��
ó� ó�
c) y =� , równanie typu y =� f
�� ��
x -� y x
Ł� ł�
1 -� x -� y
ó�
d) y =� ., równanie typu ó�
y =� f (ax +� by +� c)
x +� y
e) ó� zrobione na ćwiczeniach
y =� -�2xy2
ZAD.2
Znalez
ć krzywą, dla której współczynnik kierunkowy stycznej w każdym punkcie równa się sumie
współrzędnych kartezjańskich punktu styczności. W szczególności wyznaczyć krzywą spełniającą
powyższy warunek i przechodzącą przez początek układu Oxy.
ZAD.3
Rozwiązać równanie różniczkowe i wyznaczyć jego rozwiązanie szczególne spełniające warunek
początkowy podany obok
ó�
a) y =� xe-� y y(-�2) =� 0 ;
y
1 +� e 2x
ó�
b) y =� , y(1) =� 0
;
y
e 1 +� x2
zad.1 skrót RD oznacza rozwiązanie dodatkowe
1
a) RO: y =� , C ��R, x ą� C y =� 0, x��R
, RD:
x -� C
1 1
b) RO: y =� , C ą� 0 , x ą� , x ą� 0 ; RD: dla x ą� 0 , dla x ą� 0 .
y =� 0 y =�1
1 -� Cx C
c) 2x2 -� 2xy +� y2 =� C , C >� 0,
C
d) y =� -�x ą� 2x -� C , C �� R , x >� ,
2
1
e) y =� , C �� R przy czym x��R dla C >� 0, x2 ą� -�C dla C Ł� 0 , RD: y =� 0, x��R
x2 +� C
zad.2 y =� Cex -� x -�1
x2
zad.3 a) y =� ln(� -�1)�, x <� -� 2 , b) y =� 2ln x
2
AM 2011/12 pd.14,15
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE PIERWSZEGO RZ
DU
zad.1 Stosując metodę uzmienniania stałej rozwiązać równanie liniowe
1 -� 2x
ó� zrobione na ćwiczeniach
a) y +� y =�1
x2
4x 3
ó�
b) y +� y =�
x2 +�1 x2 +�1
1 1
ó�
c) y +� y =� z warunkiem początkowym
y(1) =� 0
x2 x3
d) ó�
y -� yctgx =� sin x
Zad.2 Stosując metodę przewidywania (rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego)
rozwiązać równania liniowe o stałych współczynnikach
a) ó� , b) ó� , c) ó� .
y +� y =� e2x sin 3x y +� y =� x +� 6ex y -� 4y =� 2x2ex
zad.3 Rozwiązać równanie różniczkowe z warunkiem początkowym
Czy można stosować metodę przewidywania RSRN?
x
ó� , b) ó� , .
a) y +� y =� y(0) =� -�1 y -� 3x2 y =� x5 +� x2 y(0) =�1
(1 +� x)2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZ
DU DRUGIEGO O STAA
YCH WSPÓA
CZYNNIKACH
zad.4 Wyznaczyć całkę ogólną równania (równania o stałych współczynnikach z prawą strona do
metody przewidywania)
x
ó�ó� ó�
a) ó�ó� ó� , b) 4y -� 8y +� 5y =� 8cos
4y -� 8y +� 5y =� 0
2
x
ó�ó� ó� ó�ó� ó�
c) 4y -� 8y +� 5y =� 8ex sin , d) y -� 2y -� 8y =� e4x .
2
zad.5 Wyznaczyć całkę szczególną równania spełniającą zadane warunki początkowe
ó�ó� ó� , ó�
a) y -� 7y +� 6y =� 6x +� 5 y(0) =� 0 y (0) =� 0
ó�ó� ó� ó�
b) y -� 6y +�13y =�10e2x y(0) =� 4 , y (0) =� 8
ó�ó� ó� ó�
c) y -� 6y +� 9y =� e3x spełniającą zadane warunki początkowe y(0) =�1, y (0) =� 2 .
odpowiedzi
zad.1
1
1 -�1
C x(x2 +� 3) 1
2 x
x
a) y =� Cx e +� x2 , b) y =� +� , c) y =� -�2e +� +�1 , d) y =� C sin x +� xsin x
x
(x +�1)2 (x +�1)2
x ą� kp� .
1 2
zad.2 a) y =� Ce-�x +� e2x (sin 3x -� cos3x) , b) y =� Ce-�x +� x -�1+� 3ex , c) y =� Ce4x +� x3e4x
6 3
3
1 5 1
zad.3 RSsWP: a) y =� -� 2e-�x , b) y =� ex -� (x3 +� 2) .
1 +� x 3 3
x x x x x x
ć�C ��ex ć�C ��ex
y =� cos +� C2 sin y =� cos +� C2 sin +� cos -� sin
4a) �� �� , 4b) �� ��
1 1
2 2 2 2 2 2
Ł� ł� Ł� ł�
x x x
ć�C ��ex
y =� cos +� C2 sin -� 2xex cos
4c) �� �� 4d) y =� C1e-�2x +� C2e4x +� e4x (6x -�1)/36
1
2 2 2
Ł� ł�
5 a) RORN y =� x +� 2 +� C1ex +� C2e2x RSsWP y =� x +� 2 -� 3ex +� 2e2x
5 b) RORN y =� e3x (C1 cos2x +� C2 sin 2x) +� 2e2x RSsWP y =� e3x (2cos2x -� 2sin 2x) +� 2e2x
1 1
5 c) RORN y =� e3x (C1 +� C2x) +� x2e3x RSsWP y =� e3x (2 -� 2x +� x2 )
2 2