AM2 pd.8 2011/12
Zad.1
x
2
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) =� e (x +� y2 ) w zbiorze
x2 +� y2 Ł� 2 .
Zad.2
Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) =� xy2 (2 +� x -� y) w prostokącie o
wierzchołkach A(-�1,0),B(1,0),C(1,3),D(-�1,3) .
Zad.3 zadanie zrobione na ćwiczeniach w gr.1,2 z egz r.2010/11
Na płaszczyz
nie x +� y -� 2z =� 0 wyznaczyć punkt P taki, by suma kwadratów odległości punktu P od
płaszczyzn i była jak najmniejsza.
p�1 : x +� 3z =� 6 p� : y +� 3z =� 2
2
Przypomnienie: Z algebry odległość punktu od płaszczyzny p� : ax +� by +� cz +� d =� 0
p0 =� (x0 , y0 , z0 )
ax0 +� by0 +� cz0 +� d
wyraża się wzorem d( p0 ,p� ) =� .
a2 +� b2 +� c2
Zad.4 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji
a) f (x, y) =� 3x2 +� 3y2 przy warunku x2 +� (y +� 2)2 =� 4
1
b) f (x, y) =� przy warunku x +� y =� 2
xy
1 1 1 1 1
c) f (x, y) =� +� przy warunku +� =�
x y 8
x2 y2
zad.5 Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji
a) f (x, y, z) =� x -� 2y +� 2z , gdy x2 +� y2 +� z2 =�1
b) f (x, y, z) =� xy3z3, gdy x +� 2y +� 3z =� 6 oraz x, y, z >� 0
1 1 1
c) f (x, y, z) =� x +� y +� z , przy warunku +� +� =� 1
x y z
d) f (x, y, z) =� xyz , jeżeli x +� y +� z =� 0 , x2 +� y2 +� z2 =�1
Zauważ, że warunki wyznaczają okrąg w R3 powstały z przecięcia sfery z płaszczyzną, czyli zbiór
domknięty i ograniczony w R3 .
AM2 pd.8 2011/12
Odp.
2
-�
2
zad.1 ,
inf f (x, y) =� f (-� 2,0) =� -� 2e max f (x, y) =� f (1,1) =� f (1,-�1) =� 2 e
( x, y)��K ( x,y)��K
1 9
ć�
zad.2 inf f (x, y) =� f ,3�� =� -� ,
�� �� max f (x, y) =� f (-�1,3) =�18
(x, y)��P
(x, y)��P
2 4
Ł� ł�
zad.3
P(3,-�1,1)
1 1
Zad.4 fmax (6,6) =� l� =� -�3 fmin (-�6,-�6) =� -� l� =� 3
, ;
3 3
a) minimum warunkowe f (0,0) =� 0 , maksimum warunkowe f (0,-�4) =� 48 ,
b) minimum warunkowe równe 1 w punkcie ,
P(1,1)
1 1
c) minimum warunkowe f (-�4,-�4) =� -� , maksimum warunkowe f (4,4) =� .
2 2
zad.5
1 2 2
ć� ��
a) minimum warunkowe w punkcie , ,-� równe -� 3 , maksimum
��-� ��
3 3 3
Ł� ł�
1 2 2
ć� ��
warunkowe ,-� , równe 3.
�� ��
3 3 3
Ł� ł�
6 9 6 24 ��310
ć� ��
b) maksimum warunkowe f , , =� . zad.2 P(3,-�1,1)
�� ��
7 7 7 77
Ł� ł�
c) w punkcie dla l� =� 9 minimum warunkowe równe 9
(3,3,3)
-�1 1
d) minima warunkowe równe w punktach, w których dwie dowolne współrzędne są równe ,
3 6 6
2 1
trzecia -� ; maksima warunkowe równe w punktach, w których dwie dowolne współrzędne są
6 3 6
1 2
równe -� , trzecia .
6 6