Am2 pd.12 2011/12
Zad.1
Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę
y
a) arctg dxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym nierównościami , ,
x2 +� y2 ł�1 x2 +� y2 Ł� 9
����
x
D
3
, ;
y ł� x y Ł� 3x
3
2 2
b)
����cos x2 +� y2 dxdy D jest wycinkiem kołowym 1 p� Ł� x2 +� y2 Ł� 4p� , -� x Ł� y Ł� x ;
4
D
c) xdxdy gdzie obszar D ograniczają okręgi x2 +� y2 =� 4y, x2 +� y2 =� 4 3x .
����
D
Zad.2
Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczyć całkę
a) xydxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x2 =� 3y x2 =� 5y y2 =� x ,
, ,
����
D
y2 =� 2x ;
1
b) dxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x +� y =� 1, x +� y =� 2 ,
����
(x +� y)4
D
3x -� y =� 0, 4x -� y =� 0 ;
zad.3
Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych oblicz pole obszaru ograniczonego liniami
a2 x
a) xy =� , xy =� 2a2 , y =� , y =� 2x
2 2
x2 y2
b) +� =�1 (elipsa)
4 9
wsk. wprowadz
takie współrzędne aby obrazem elipsy był okrag.
Odpowiedzi
2
p� p�
p� ć�1 -� ��
Zad.1 a) ; b) �� �� c) 4 3 -�18
2 2
6
Ł� ł�
3
3
zad.2 a) 4; b) . zad.3a) ln 2 a2 ; b) 6p�
160
2
Zadania z ćwiczeń
1.Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych oblicz całkę podwójną
1
xydxdy
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi xy =�1, xy =� 2 y =� x2 y =� 3x2 odp. ln 3 .
����
2
D
2.Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę
1
����1dxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym nierównościami x ł� 0 , x2 +� ( y -� 3)2 Ł� 9 , y ł� 3 x .
D
9
odp. 3 +� 3p� .
4
3. Obliczyć całkę potrójną y cos(x +� z)dxdydz
po obszarze V, naszkicować ten obszar.
������
V
Am2 pd.12 2011/12
p� p�
��(x,
V =� y, z)�� R3 : 0 Ł� x Ł� ,0 Ł� y Ł� x,0 Ł� z Ł� -� x��
�� ż�
2 2
�� ��
p� p� p� p�
-�x
x p�
2 2 2 2
ć� ��
-�x
1
2 ��dx�� 1 =� 1 x(1-� sin x)dx =� 1 p� 2 -� 1
y cos(x +� z)dxdydz=� ydy x��sin(x +� z)
������ ��dx�� ��cos(x +� z)dz =� 2 �� 0 ��
�� ��
2 2 16 2
V 0 0 0 0 0
Ł� ł�