AM2 pd.6 2011/12
Zad.1 (obliczanie pochodnych cząstkowych)
x -� y
a) Wykazać, że funkcja f (x, y, z) =� x +� spełnia równanie
y -� z
ó� ó� ó�
fx (x, y, z) +� f (x, y, z) +� fz (x, y, z) =� 0 .
y
x
��
ó�ó� ó�ó�
b) Sprawdzić, że funkcja f (x, y) =� 2cos2 ć� y -� spełnia równanie 2 fxx (x, y) +� fxy (x, y, z) =� 0 .
�� ��
2
Ł� ł�
ś�2 f ś�2 f x
c) Sprawdzić, że zachodzi równość dla funkcji z .
=� f (x, y, z) =�
ś�zś�y ś�yś�z y
Zad.2
a) Wyznaczyć kąt między gradientami funkcji f (x, y) =� lnć� x +� x2 +� y2 �� A(1,0) B(0,1)
w punktach
�� ��
Ł� ł�
u �� v
(wsk. kąt wektorów obliczamy ze wzoru znanego z algebry cosj� =� ).
u v
b) Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni f (x, y) =� lnć� x +� x2 +� y2 ��
w punkcie
�� ��
Ł� ł�
.
B(0,1)
Zad.3
x
Obliczyć różniczkę zupełną pierwszego rzędu dla funkcji f (x, y) =� arcsin w punkcie .
(-�1,2)
y
Zad.4
y
Napisać wzór Taylora dla funkcji f (x, y) =� x w punkcie z 3-cią resztą.
(e,1)
Zad.5
a) Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia (1+� 0,96��1,02)1,02 zastępując przyrost odpowiednio
dobranej funkcji jej różniczką zupełną.
b) Obliczyć jak zmieni się w przybliżeniu długość przekątnej prostokąta o bokach a =� 3 cm, b =� 4 cm
jeżeli bok a zwiększymy o 3mm, a bok b zmniejszymy o 4mm.
Zad.6
Napisać wielomian Maclaurina stopnia drugiego dla funkcji
1 -� x +� y
f (x, y) =� arctg (tzn. wielomian Taylora stopnia drugiego w punkcie (0,0) ).
1 +� x +� y
Odpowiedzi, wskazówki
ć�
ś�2 f x 1 x ��
z �� ��
zad.1 c) =� +� z�� .
ś�zś�y y y
yz3 ��ln ł�
Ł�
Zad.2
p� 0 +�1 2
a) gradienty tworzą kąt . gradf(1,0) =� (�1,0)�, gradf(0,1) =� (�1,1)�, cosa� =� =� .
4 2
1 2
b) z =� x +� y -�1.
1 1 1
ć�
Zad.3 df ,-�1��(�dx, dy)�=� dx +� dy
�� ��
2
Ł� ł� 3 2 3
Zad.4
1 1
y 3
x =� x +� e( y -�1) +� (�0��(x -� e)2 +� 2(x -� e)(y -�1) +� e( y -�1)2)�+� d f (xc , yc )(x -� e, y -�1) =�
2 3!
1 1
3
(�e -� 2ey +� 2xy +� ey2)�+� d f (xc , yc )(x -� e, y -�1)
2 3!
Punkt (xc , yc ) , jest to punkt leżący na odcinku o końcach(�e,1)�, (x, y) .
AM2 pd.6 2011/12
y
Zad.5a) wprowadzić funkcję
f (x, y) =� (1+� xy)
198+� 4ln 2
(1+� 0,96��1,02)1,02 �
100
Uważać przy obliczaniu pochodnej cząstkowej względem zmiennej y
y y ln(1+�xy)
ó�
f (x, y) =�(�(1+� xy) )�ó� =�(�e )�ó� (podstawa i wykładnik są funkcjami zmiennej y)
y y
y
b) , obliczyć df (3, 4)(0,3;-�0,4)
f (a,b) =� a2 +� b2
Zad.6
p�
w2 (x, y) =� -� x +� xy
4