AM2 pd.4 2011/12
Zadania z ćwiczeń i zadania domowe
Zad.1
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję w przedziale (�-�p� ,p� )�
.
f (x) =� x
Ą� n+�1
2 1
Odp.
x =� 2sin x -� sin 2x +� sin 3x -� sin 4x +�K� =� 2
��(-�1) sin nx x��(�-� p�,p� )�
3 2 n
n=�1
Naszkicować wykres funkcji będącej sumą otrzymanego szeregu trygonometrycznego.
Ą� n+�1
2 1
Odp.
S(x) =� 2sin x -� sin 2x +� sin 3x -� sin 4x +�K� =� 2
��(-�1) sin nx x �� R
3 2 n
n=�1
Zgodnie z twierdzeniem
S(x +� 2p� ) =� S(x) x �� R
.
S(x) =� f (x) =� x w punktach ciągłości funkcji f czyli w przedziale (�-�p� ,p� )�
1
ć�
S(-�p� ) =� S(p� ) =� lim f (x) +� lim f (x)��
�� ��
+� -�
Ł� x��-�p� x��p� ł�
2
x dla x ��(-�p� ,p� )
��
S(x) =�
��
��0 dla x =� ą�p�
zad.2
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) =� x2 w przedziale ��-�1,1ń� .
Ą� n
1 4 1 4 4
Odp. x2 =� -� cosp�x +� cos2p�x +� cos3p�x +�K� =�
��(-�1) cosnp�x x ����-�1,1ń�
2 2 2 2
3 p� p� 9p� p� n2
n=�1
Ą� n
1 4 1 4 4
S(x) =� -� cosp�x +� cos2p�x +� cos3p�x +�K� =�
��(-�1) cosnp�x
2 2 2 2
3 p� p� 9p� p� n2
n=�1
S(x +� 2) =� S(x) x �� R
zad. 3
Ą�
Korzystając z zad.2 obliczyć sumę szeregu liczbowego .
��n1
2
n=�1
Ą� 2
odp.wsk. cosnp� =� (-�1)n ;
��n1 =� p�6
2
n=�1
zad.4
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) =� sin x w przedziale ��-�p�,p� ń� .
Odp. funkcja f jest parzysta
0 dla n nieparzystych
��
4
��
-� 4
bn =� 0, a0 =� , an =�
��
dla n parzystych
p�
��p� -�1)�
(�n2
��
Ą�
2 4 1 1 1 2 4
ć�
sin x =� -� cos2x +� cos4x +� cos6x +�K��� =� -�
�� ��
��4n1-�1cos2nx , x �� R .
2
p� p� 3 15 35 p� p�
Ł� ł�
n=�1
1
Wsk. Przyda się wzór sin xsin y =� [�sin(x -� y) +� sin(x +� y)]�.
2
zad.5 Przygotowują p.Krajewski,Nowicki gr.1,2; P. Dąbrowski,p.Knapińska gr.3,4
p� x
Rozwinąć funkcję f (x) =� -� dla x ��(0,p� )
4 2
a) w szereg cosinusów . Naszkicować wykres funkcji równej sumie otrzymanego szeregu.
b) w szereg sinusów . Naszkicować wykres funkcji równej sumie otrzymanego szeregu.
Wsk. W szereg sinusów rozwijają się funkcje nieparzyste. Wystarczy zatem rozważyć w
przedziale (-�p� ,p� ) funkcję g, taką że g jest funkcją nieparzystą i na przedziale (0,p� ) równą
zadanej funkcji f.