Am2 2011/12 pd.6,7
Zad.1 Korzystając z definicji rozstrzygnąć, czy w punkcie (0,0) funkcja ma ekstremum lokalne
a) ; b) ; c) ; d) ; e)
f (x, y) =� sin x +� y f (x, y) =� x3 y f (x, y) =� x4 y2 f (x, y) =� x4 -� y2
f (x, y) =� 5-� x4 -� 2y6
zad.2 Wyznaczyć ekstrema funkcji określonej wzorem
a) f (x, y) =� y x -� y2 -� x +� 6y ;
b) z =� x3 +�8y3 -� 6xy +�1
;
c) f (x, y) =� x4 +� y4 -� 2x2 +� 4xy -� 2y2 ;
d) f (x, y) =� x2 +� y2 +� xy -� 4ln x -�10ln y ;
2
e) ,
f (x, y) =� ex -� y (5 -� 2x +� y)
y2 z2 2
f) f (x, y, z) =� x +� +� +� ; w obszarze x >� 0, y >� 0, z >� 0 ; P.Wolińska
4x y z
x3 y2
g) f (x, y, z) =� -� 3x +� z +� , P.Więcek
y z
Zad.3 Wyznaczyć ekstrema lokalne funcji
a) f (x, y) =� x3 y2 -� x2 y +� xy
b) f (x, y) =� x3 y2(�12 -� x -� y)� P.Iżycki
c) f (x, y) =�(�x2 +� y2 -� 3)� x2 +� y2
Zad.4 Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji na podanym zbiorze
a) f (x, y) =� x2 +� 2y2 -� x w zbiorze A =�{�(x, y)��R2 : x2 +� y2 Ł�1, y ł� 0}�;
b) f (x, y) =� x2 +� 2x +� y2 -� 6y w zbiorze A =�{�(x, y)�� R2 : x +� y Ł� 4}�;
c) f (x, y) =� x2 y(4 -� x -� y) w trójkącie o wierzchołkach A(0,0),B(6,0),C(0,6) .
d) f (x, y) =� e-�2x (x2 -� 3y2 ) w trójkącie o wierzchołkach A(0,0),B(2,0),C(2,2) .
e) f (x, y) =� x4 -� 2x2 y +� y2 w zbiorze A =�{�(x, y)��R2 : x2 +� y2 Ł� 4}�;
Zad.5
Spośród prostopadłościanów o objętości 1 wybrać prostopadłościan o najmniejszym polu powierzchni.
odpowiedzi
Zad.1
a) nie; b) nie; c) w (0,0) minimum niewłaściwe, d) nie; e) maksimum właściwe
zad.2
a) fmax =� f (4,4) =�12
b) zmin =� z(1,1 2) =� 0;
c) minimum w punktach P1( 2,-� 2) P2 (-� 2, 2) równe -8;
d) minimum f (1,2) =� 7 -�10ln 2;
e) punkt stacjonarny (1,-�2) , brak ekstremum
f) minimum f (1 ,1,1) =� 4 ;
2
1 1 1 1 1 1
ć� ��, ć� ��
A =� , , B =� -� , ,-�
g) punkty stacjonarne �� �� �� ��
2 4 4 2 4 4
Ł� ł� Ł� ł�
1 1 1 1
ć� ��
f , , =� -�
minimum lokalne właściwe �� ��
2 4 4 2
Ł� ł�
6
Am2 2011/12 pd.6,7
1 1 1 1
ć� ��
maksimum lokalne właściwe f -� , ,-� =�
�� ��
2 4 4 2
Ł� ł�
Zad.3
a) punkty stacjonarne A(0,0), B(1,0),C(-�1,-�1) , w żadnym punkcie nie ma ekstremum ( wyznacznik
stopnia drugiego jest ujemny)
b) punkty stacjonarne , ,
A(6,4) B(x,0) x��R C(0, y) y��R
w A maksimum lokalne właściwe
f (6,4) =� 6325
w dla x <� 0 oraz x >�12 maksimum lokalne niewłaściwe równe 0,
B(x,0)
w dla 0 <� x <�12 minimum lokalne niewłaściwe równe 0,
B(x,0)
brak ekstremum w punktach oraz w punktach C(0, y) y��R
(12,0)
c) maksimum lokalne właściwe f (0,0) =� 0 , minimum lokalne niewłaściwe równe  2 w punktach
okręgu x2 +� y2 =�1
Zad.4
a) najmniejszą i największą wartość funkcji na półkolu należy wybrać spośród wartości funkcji f w
ć� ��
1 -�1 3
ć�
�� ��
punktach (-�1,0), (0,1), ,0��, ,
�� ��
�� ��
2 2 2
Ł� ł�
Ł� ł�
ć� ��
1 1
ć� 1
��-� 1 3 ��
min f (x, y) =� f ,0�� =� -� max f (x, y) =� f , =� 2
�� ��
�� ��
(x, y)��A (x, y)��A
2 4 2 2 4
Ł� ł�
Ł� ł�
b) najmniejszą i największą wartość funkcji na zadanym zbiorze należy wybrać spośród wartości
funkcji f w punktach (-�4,0), (0,4), (4,0), (0,-�4), (3,-�1), (-�1,3)
min f (x, y) =� f (-�1,3) =� -�10 max f (x, y) =� f (0,-�4) =� 40
(x, y)��A (x, y)��A
c) punkty, które należy uwzględnić obliczając wartość najmniejszą i największą to
(0,0), (0,6), (6,0), (2,1)
min f (x, y) =� f (4,2) =� -�64 max f (x, y) =� f (2,1) =� 4
(x, y)��A (x, y)��A
2 1
d) min f (x, y) =� f 1,1) =� -� max f (x, y) =� f (1,0) =�
(x, y)��A
e2 (x, y)��A e2
należy uwzględnić punkty A(0,0),B(2,0),C(2,2) oraz (1,1), (1,0)
289
e) najmniejsza wartość 0, największa .
16
zad.5 tym prostopadłościanem jest sześcian o boku 1
7