AM2 pd.1 2011/2012
Zad.1
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych szeregów, dla szeregów zbieżnych wyznaczyć ich
sumy
Ą� Ą� Ą�
1 +�
n
a) b)
�� ��ln n n 1 , c) ��(-�1) .
n(n +� 1)
n=�1 n=�1 n=�1
(aby pokazać odpowiedz
zmień kolor wyróżnienia tekstu na brak)
Ą� Ą�
+�1
a) zbieżny
��n(n1+� 1) =� 1, b) rozbieżny��ln n n =� Ą� , c) rozbieżny ciąg (�Sn )� nie ma granicy.
n=�1 n=�1
Zad.2
Wykazać rozbieżność szeregów posługując się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
Ą� Ą� Ą�
1 n
(-�1)n n
a) b)
�� ��2 .��ln n .
n
n
n=�1 n=�1 n=�2
n
b) granica lim2(-�1) n
nie istnieje.
Zad.3
Obliczyć sumę szeregu
Ą�
(-�2)n 13
a)
��3 +�5n+�1 . odp. 140
n=�1
Ą�
-�nx
b)
��e odp. szereg zbieżny gdy e-�x <�1 tzn. dla x >� 0 , ma sumę ex1-�1 .
n=�1
Zad.4
Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów
Ą� Ą� Ą� Ą� n Ą�
n +� 1 -� n 1 p� e1 1 1
��
n
a) , b) , c) , e) lnć�1 +� .
�� ��
�� �� ��2 sin 3n , d) �� ��
n n n n
n +� n Ł� ł�
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
a) zbieżny, b) rozbieżny, c) zbieżny, d) szereg rozbieżny, e) szereg zbieżny.
Zad.5
Z kryterium ilorazowego lub pierwiastkowego zbadać zbieżność szeregów
n2 Ą�
Ą�
n10 Ą� (n!)2 Ą� 1 2
a) , b) , c)
�� ��
��10 �� 2 ��ć�1 -� n2 �� , d) ��(nn)! .
n 2n
Ł� ł�
2n
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
Odp: zbieżny, b) zbieżny, c) rozbieżny, d) zbieżny
Zad.6
Z kryterium całkowego zbadać zbieżność szeregów
Ą� Ą�
n
a) , b)
��en ��n +� 1
n2
n=�1 n=�1
a) zbieżny, b) rozbieżny
zadanie trudniejsze (bo bez odpowiedzi) do przedstawienia przez wybranych studentów na
ćwiczeniach (p. Bełdyga, Lipski, Renkevych, Królewicz)
Ą� Ą� Ą�
1 1 1
zad.7 zbadać zbieżność szeregów a) n sin .
��21 , b) ��n cos n c) ��
lnn
n
n=�1 n=�1 n=�1
AM2 pd.1 2011/2012
ćwiczenia 1 (zadania zrobione na ćwiczeniach)
Zad.1
Korzystając z definicji zbadać zbieżność podanych szeregów, dla szeregów zbieżnych wyznaczyć ich
sumy
Ą� Ą� Ą� Ą�
1 1 1
=� Ą�
�� ��n +� 1 +� 6 =� ��(n +� 2)(n +� 3) =� ��n +� 2 -� n 1 3 =� 1
2
5n +� 3
n +� n +�1
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
Zad.2
Wykazać rozbieżność szeregów posługując się warunkiem koniecznym zbieżności szeregu
Ą� Ą� n
1
��nsin n , ��e p� 3n
n
+�
n=�1 n=�1
Zad.3
Obliczyć sumę szeregu, (korzystać z własności szeregów zbieżnych i szeregu geometrycznego)
Ą� Ą� 3n+�1
23n+�1
��3 =� 16 , ��23 -�1 =� 127
2n+�1 2n+�1
3 24
n=�1 n=�1
wyznaczyć wartości x dla których szereg jest zbieżny i obliczyć sumę szeregu
cosx p� 2p�
��
cosx -� 2cos2 x +� 4cos3 x -� 8cos4 x +�K� =� x ��ć� +� kp� , +� kp�
�� ��
1+� 2cosx 3 3
Ł� ł�
Zad.4
Z kryterium porównawczego zbadać zbieżność szeregów
Ą� Ą�
1
3
ntg rozbieżny
��nn +�1 rozbieżny, ��
2
-� n n
2 1
Zad.5
Z kryterium ilorazowego(d Alamberta) lub pierwiastkowego (Cauchy ego) zbadać zbieżność
szeregów
Ą�
(n!)2
zbieżny
��
(2n)!
n=�1