D. Kosiorowski  wykład 7 2006
Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa,
warunkowa wartość oczekiwana
Przypuśćmy, że znamy łączny rozkład dwóch zmiennych
losowych określonych na tej samej przestrzeni probalistycznej,
tzn. znany jest rozkład wektora losowego staramy się
nadać sens wyrażeniu dla różnych .
1 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
W przypadku, gdy wektor ma rozkład dyskretny i
, można obliczyć zwykłe prawdopodobieństwo
warunkowe:
2 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
/ np. towarzystwo ubezpieczeniowe bada liczbę zgłaszanych w
ciągu roku szkód z polisy Auto Casco w zależności od wieku (w
latach) właściciela pojazdu ( w zależności od płci, liczby
zgłoszonych szkód w roku poprzednim) /
W takim przypadku określony jest rozkład warunkowy zmiennej
losowej dla każdego punktu skokowego zmiennej losowej .
3 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
Przykład A:
Niech ma rozkład dany tabelką:
X\Y 0 1 2
1/4 1/4 0 1/2
0
0 1/4 1/4 1/2
1
1/4 1/2 1/4
Możemy wyznaczyć rozkład pod warunkiem , czy
możemy wyznaczyć rozkład pod warunkiem ?
;
4 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
W przypadku, gdy wektor losowy ma rozkład ciągły z
gęstością , nie można zastosować takiej metody,
ponieważ z własności całki dla każdego .
5 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
Definicja: Gęstością rozkładu warunkowego pod
warunkiem nazywamy funkcję określoną dla
wzorem
gdzie jest gęstością rozkładu
brzegowego , a dowolną ustaloną gęstością.
6 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
Prawdopodobienstwo, że zmienna losowa przyjmie wartość
ze zbioru pod warunkiem, że zmienna przymie wartość
obliczamy korzystając z gęstości warunkowej:
7 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
Przykład B:
Dana jest funkcja gęstości dwuwymiarowego wektora :
,
a) Obliczyć gęstość warunkową pod warunkiem
b) Policzyć
Gęstość brzegowa przy warunku tzn.
obliczamy jako:
stąd
8 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
Warunkowa wartość oczekiwana
pierwsze starcie
Znajomość rozkładu warunkowego zmiennej losowej dla
danej wartości zmiennej losowej umożliwia policzenie
wartości oczekiwanej takiego rozkładu (o ile ta istnieje). Taką
charakterystykę liczbowa rozkładu nazywamy warunkową
wartością oczekiwaną pod warunkiem i oznaczamy
.
9 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
W przypadku rozkładu dyskretnego obliczamy ją:
a gdy rozkład jest ciągły, to
10 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
Przykład C:
Rozkład wektora losowego przedstawia tabela:
Y\X -1 0 1
-1 1/8 1/4 1/8 1/2
1 1/8 1/8 1/4 1/2
2/8 3/8 3/8
11 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
12 | strona
D. Kosiorowski  wykład 7 2006
13 | strona