KRÓTKIE WPROWADZENIE DO SZEREGÓW CZASOWYCH
Szereg czasowy jest ciągiem danych liczbowych, w którym ka\da obserwacja związana jest
z konkretnym momentem czasowym.
Przykłady:
Miesięczne informacje nt. bezrobocia
Dzienna stopa procentowa dla depozytów 3 miesięcznych
Co godzinne obserwacje temperatury
Analiza pojedynczego ciągu obserwacji nosi nazwę jednowymiarowej analizy szeregów
czasowych, Analiza dwóch lub więcej zbiorów danych obejmujących ten sam okres nazywa się
wielowymiarową analizą szeregów czasowych (np. analiza zale\ności pomiędzy stopą bezrobocia,
poziomem cen i stopą inflacji, analiza oparta o dane miesięczne).
Celem analizy szeregów czasowych jest badanie dynamiki lub struktury czasowej danych.
MECHANICZNE METODY ANALIZY SZEREGÓW CZASOWYCH
Dekompozycja szeregu dynamicznego:
Badanie szeregów dynamicznych pozwala stwierdzić, czy występują w nich pewne prawidłowe
zmiany, które mo\emy podzielić na cztery grupy:
1. Trendy wyra\ające zwy\kową lub zni\kową trwałą tendencją rozwojowa. Zaobserwować
mo\na ją w pewnej dziedzinie działalności w ciągu stosunkowo długich okresów, tj. przynajmniej
dziesięciu lat.
2. Wahania, wśród których wyró\niamy wahania rytmiczne (okresowe, periodyczne,
cykliczne). W rozwoju zjawiska, w którym występują tego typu wahania, cykl obserwowanych
zmian, powtarzających sie w tych samych mniej więcej wielkościach co jakiś okres, w przybli\eniu
jest stały. Ze względu na długość cyklu wyró\niamy:
- krótkookresowe wszystkie fazy występują w ciągu dnia, doby, miesiąca czy kwartału.
- długookresowe, roczne czy kilkuletnie zwykle są to wahania sezonowe.
3. Wahania koniunkturalne, które charakteryzują sie powtarzającymi się fazami rozwoju i
kurczenia działalności gospodarczej w ciągu okresów dłu\szych ni\ rok.
4. Wahania przypadkowe (losowe), które występują z ró\na siła i w ró\nych kierunkach.
PRZYKAADY:
Miesięczna liczba pasa\erów (w tysiącach)
700 700
600 600
500 500
400 400
300 300
200 200
100 100
0 0
SZEREG_G
Lis-1949
Lis-1954
Lis-1959
Lip-1951
Lip-1956
Sty-1949
Sty-1954
Sty-1959
Maj-1952
Maj-1957
Mar-1953
Mar-1958
Wrz-1950
Wrz-1955
Wrz-1960
wygładzanie za pomocą średniej ruchomej
Miesięczna liczba pasa\erów (w tysiącach); 5 pt.śr. ruch.
600 600
500 500
400 400
300 300
200 200
100 100
0 0
SZEREG_G
Lis-1950
Lis-1955
Lip-1952
Lip-1957
Sty-1950
Sty-1955
Sty-1960
Maj-1953
Maj-1958
Mar-1949
Mar-1954
Mar-1959
Wrz-1951
Wrz-1956
Usuwanie terndu z szeregu
Miesięczna liczba pasa\erów (w tysiącach); x-87.65-2.66*t
200 200
150 150
100 100
50 50
0 0
-50 -50
-100 -100
-150 -150
SZEREG_G
Lis-1949
Lis-1954
Lis-1959
Lip-1951
Lip-1956
Sty-1949
Sty-1954
Sty-1959
Maj-1952
Maj-1957
Mar-1953
Mar-1958
Wrz-1950
Wrz-1955
Wrz-1960
Usuwanie trendu z szeregu
x-13.71-0.959*x(t-1)
150 150
100 100
50 50
0 0
-50 -50
-100 -100
-150 -150
SZEREG_G
Lu-1949
Lu-1954
Lu-1959
Sie-1951
Sie-1956
Pa
z
-1950
Pa
z
-1955
Pa
z
-1960
Gru-1949
Kwi-1953
Gru-1954
Kwi-1958
Gru-1959
Cze-1952
Cze-1957
Miesięczna liczba pasa\erów (w tysiącach) pierwsze ró\nice; D(-1)
150 150
100 100
50 50
0 0
-50 -50
-100 -100
-150 -150
SZEREG_G
Lu-1949
Lu-1954
Lu-1959
Sie-1951
Sie-1956
Pa
z
-1950
Pa
z
-1955
Pa
z
-1960
Gru-1949
Kwi-1953
Gru-1954
Kwi-1958
Gru-1959
Cze-1952
Cze-1957
Funkcja autokorelacji
SZEREG_G: Miesięczna liczba pasa\erów (w tysiącach)
(Błędy standardowe to oceny białego szumu)
Opózn Kor. S.E Q p
1 +,948 ,0825 132,1 0,000
2 +,876 ,0822 245,6 0,000
3 +,807 ,0819 342,7 0,000
4 +,753 ,0816 427,7 0,000
5 +,714 ,0813 504,8 0,000
6 +,682 ,0810 575,6 0,000
7 +,663 ,0807 643,0 0,000
8 +,656 ,0804 709,5 0,000
9 +,671 ,0801 779,6 0,000
10 +,703 ,0798 857,1 0,000
11 +,743 ,0795 944,4 0,000
12 +,760 ,0792 1036, 0,000
13 +,713 ,0789 1118, 0,000
14 +,646 ,0786 1186, 0,000
15 +,586 ,0783 1242, 0,000
P. ufności
0 0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
INNE PRZYKAADY
Kurs zamknięcia dla akcji 1
73 73
72 72
71 71
70 70
69 69
68 68
67 67
66 66
65 65
64 64
63 63
1-Lut-91 22-Mar-91 9-Maj-91 26-Cze-91 13-Sie-91 30-Wrz-91
27-Lut-91 16-Kwi-91 3-Cze-91 19-Lip-91 5-Wrz-91 23-Paz-91
AKCJA1
Kurs zamknięcia dla akcji 2
57 57
56 56
55 55
54 54
53 53
52 52
51 51
1-Lut-91 22-Mar-91 9-Maj-91 26-Cze-91 13-Sie-91 30-Wrz-91
27-Lut-91 16-Kwi-91 3-Cze-91 19-Lip-91 5-Wrz-91 23-Paz-91
AKCJA2:Kurs zamkni
Ä™
cia dla akcji 2
Wykres wybranych zmiennych (szeregów)
73 57
72
56
71
70
55
69
68 54
67
53
66
65
52
64
63 51
1-Lut-91 22-Mar-91 9-Maj-91 26-Cze-91 13-Sie-91 30-Wrz-91
27-Lut-91 16-Kwi-91 3-Cze-91 19-Lip-91 5-Wrz-91 23-Paz-91
AKCJA1 (L) AKCJA2 (R)
AKCJA1:Kurs zamkni
Ä™
cia dla akcji 1
AKCJA2:Kurs zamkni
Ä™
cia dla akcji 2
Całkowita sprzeda\ detaliczna w USA
30000 30000
28000 28000
26000 26000
24000 24000
22000 22000
20000 20000
18000 18000
16000 16000
14000 14000
12000 12000
10000 10000
Sty-1953 Sty-1955 Sty-1957 Sty-1959 Sty-1961 Sty-1963
Sty-1954 Sty-1956 Sty-1958 Sty-1960 Sty-1962 Sty-1964
SPRZEDA
Å›
Poda\ pieniadza M3 w Polsce (w mln zł)
6E5 6E5
5E5 5E5
4E5 4E5
3E5 3E5
2E5 2E5
1E5 1E5
0 0
1-Gru-96 1-Gru-98 1-Gru-00 2-Gru-08 4-Gru-08 6-Gru-08
1-Gru-97 1-Gru-99 1-Gru-08 3-Gru-08 5-Gru-08
PodazPienM3 DEPOZYTY
Warto
ść
Liczba mał\eństw w Polsce na 1000 mieszkańców
15 15
14 14
13 13
12 12
11 11
10 10
9 9
8 8
7 7
6 6
5 5
4 4
1946 1956 1966 1976 1986 1996 2006
1951 1961 1971 1981 1991 2001
OMALZ
Funkcja autokorelacji
Liczba mał\eństw na 1000 ludności
(Błędy standardowe to oceny białego szumu)
Opózn Kor. S.E Q p
1 +,934 ,1250 55,84 ,0000
2 +,837 ,1239 101,5 0,000
3 +,733 ,1229 137,1 0,000
4 +,655 ,1218 166,0 0,000
5 +,577 ,1207 188,9 0,000
6 +,494 ,1196 205,9 0,000
7 +,420 ,1185 218,5 0,000
8 +,354 ,1174 227,6 0,000
9 +,283 ,1163 233,5 0,000
10 +,216 ,1152 237,0 0,000
11 +,154 ,1141 238,8 0,000
12 +,091 ,1129 239,5 0,000
13 +,027 ,1118 239,5 0,000
14 -,034 ,1106 239,6 0,000
15 -,067 ,1094 240,0 0,000
P. ufności
0 0
-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0
DWA NURTY BADAC SZEREGÓW CZASOWYCH
- względem częstości (ang. frequency domain) ;
- względem czasu (ang. time domain)
1. W nurcie badań szeregów czasowych względem częstości szereg czasowy Xt wyra\ony jest
w postaci sumy niezale\nie przebiegajÄ…cych funkcji (krzywych) cosinus i sinus o losowych
amplitudach. Xt mo\na zapisać jako:
Xt = µ +
j
"[Y cos(2Ä„fjt) + Zj sin(2Ä„fjt)],
j
gdzie Y i Z są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi o zerowych wartościach oczekiwanych
i wariancjach Ã2(fj), a sumowanie odbywa siÄ™ po wszystkich czÄ™stoÅ›ciach. CzÄ™stoÅ›ci
f1,f2,... są od siebie oddalone o taki sam niewielki przedział "f . Celem analizy względem
częstości jest sprawdzenie jak wariancja szeregu czasowego Xt jest rozło\ona między
oscylacjami w ró\nych częstościach. Ta technika nazywa się analizą spektralną.
2. Metody analizy względem czasu oparte są na bezpośrednim modelowaniu opóznionych
związków między szeregiem czasowym a jego przebiegiem w przeszłości.
SZEREGI CZASOWE STACJONARNE I NIESTACJONARNE
Z teoretycznego punktu widzenia konkretny szereg czasowy x1,x2,...jest realizacjÄ… tzw.
{ }
procesu stochastycznego Xt , uporzÄ…dkowanej w czasie rodziny zmiennych losowych
X1,X2,....
Słowo stochastyczny pochodzi z języka grackiego i oznacza losowy, przypadkowy .
Ciągłe zmienne losowe oznacza się X(t), skokowe zmienne losowe oznacza się Xt .
{ }
Zmienne losowe Xt nie są w ogólnym przypadku niezale\ne. Warto podkreślić, \e w
przypadku analizy szeregów czasowych dysponujemy jedynie prób a o wielkości 1 w przypadku
ka\dej ze zmiennych.
STACJONARNOŚĆ
Proces stochastyczny mo\na opisać poprzez podanie łącznego rozkładu zmiennych Xt .
Metoda taka z racji swej trudności jest rzadko wykorzystywana. Najczęściej procesy opisuje się za
pomocą pierwszych i drugich momentów rozkładu zmiennych Xt . Są one następujące:
1) średnia m(t) = E(Xt)
2) wariancja Ã2(t) = D2(Xt)
3) autokowariancje Å‚(t1,t2) = cov(Xt1,Xt2),
Wa\na klasa procesów stochastycznych jest klasa stacjonarnych procesów
stochastycznych oraz związana z nią koncepcja stacjonarnych szeregów czasowych.
Szereg czasowy nazywa się ściśle stacjonarny, jeśli łączny rozkład dowolnego zbioru n
obserwacji X(t1),X(t2),...,X(tn) jest identyczny z łącznym rozkładem
X(t1 + k),X(t2 + k),...,X(tn + k) dla wszystkich n i k.
W przypadku procesów stacjonarnych funkcję autokowariancji ł(t1,t2) mo\na zapisać jako
ł(k), gdzie k = t2 -t1 rząd opóznienia. Mamy ł(k) = cov[X(t),X(t + k)] jest
autokowariancjÄ… dla opóznienia k. OczywiÅ›cie Å‚(0) jest równe wariancji Ã2.
Poniewa\ D2(Xt) = D2(Xt+k) = Ã2 = Å‚(0), współczynnik autokorelacji Á(k) dla opóznienia
k jest równy:
Å‚(k)
Á(k) = .
Å‚(0)
Funkcja Á(k) nazywa siÄ™ funkcjÄ… autokorelacji. Wykres Á(k) wzglÄ™dem k nazywa siÄ™
korelogramem.
Szereg czasowy nazywa się słabo stacjonarny, jeśli jego średnia jest stała, a funkcja
autokowariancji zale\y wyłącznie od opóznienia, czyli:
E[X(t)] = m oraz cov[X(t),X(t + k)] = Å‚(k).
Nie czyni się \adnych zało\eń odnośnie momentów wy\szego rzędu.
WYBRANE MODELE SZEREGÓW CZASOWYCH
1. PROCES CZYSTO LOSOWY (BIAAY SZUM)
{ }
Jest to skokowy proces Xt , składający się z ciągu wzajemnie niezale\nych zmiennych
losowych o identycznych rozkładach. Ma stałą średnią i wariancję, a jego funkcja acvf
(autokowariancji) jest równa:
Å‚(k) = cov(Xt,Xt+k) dla k `" 0.
Funkcja autokorelacji jest dana wzorem:
Å„Å‚
ôÅ‚1 k = 0
ôÅ‚
Á(k) =
òÅ‚0 k `" 0,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Proces czysto losowy nazywa się białym szumem.
2. BADZENIE PRZYPADKOWE
{ }
Proces czÄ™sto stosowany do opisu zachowania cen akcji. Przypuśćmy, \e µt jest szeregiem
{ }
czysto losowym o Å›redniej m i wariancji Ã2. Wtedy proces Xt nazywa siÄ™ bÅ‚Ä…dzeniem
przypadkowym, je\eli
Xt = Xt-1 + µt .
Przypuśćmy, \e X0 jest równy zero, wtedy proces błądzenia przypadkowego ewoluuje w
następujący sposób:
t
X1 = µ1, X2 = X1 + µ2 = µ1 + µ2,& , Xt =
i
"µ
i=1
Mamy E(Xt) = tm oraz D2(Xt) = tÃ2 . Åšrednia i wariancja zmieniajÄ… siÄ™ w czasie, zatem
proces ten jest niestacjonarny. Stacjonarne sÄ… jego pierwsze przyrosty przyrosty cen akcji
kształtują się zgodnie z procesem czysto losowym.
3. PROCES ÅšREDNIEJ RUCHOMEJ
{ } { }
Przypuśćmy, \e µt jest procesem czysto losowym o Å›redniej m i wariancji Ã2. Proces Xt ,
zdefiniowany wzorem:
Xt = ²0µt + ²1µt-1 + ... + ²mµt-m ,
nazywa się procesem średniej ruchomej (ang. moving average) rzędu m, oznaczamy go
m
2
MA(m). Skalujemy ²0 = 1, mamy E(Xt) = 0, D2(Xt) = (
i
"² )Ã2 ,
i=1
m-k
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚Ã2 ²i²i+k k = 0,1,...,m
ôÅ‚
"
ôÅ‚
Å‚(k) = cov(Xt,Xt-k) = ,
òÅ‚
i=0
ôÅ‚
ôÅ‚
0 k > m
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Proces jest słabo stacjonarny.
Wygodnie jest wprowadzić operator opóznień L.
Definiuje siÄ™ go : LjXi = Xt-j dla wszystkich j .
LXt = Xt-1, L2Xt = Xt-2 , L-1Xt = Xt+1
Przy wykorzystaniu operatora opóznień proces MA(m) ma postać
Xt = (1 + ²1L + ²2L2 + ... + ²mLm)µt = ²(L)µt
4. PROCES AUTOREGRESYJNY
{ }
Przypuśćmy, \e µt jest procesem czysto losowym o Å›redniej m i wariancji Ã2. Proces
{ }
Xt , zdefiniowany wzorem:
Xt = Ä…1Xt-1 + Ä…2Xt-2 + ... + Ä…rXt-r + µt ,
nazywa się procesem autoregresyjnym rzędu r , oznacza się go AR(r). Równanie przypomina
równanie regresji wielorakiej stąd nazwa.
Równanie regresji szeregu Xt względem jego własnych przeszłych wartości stąd słowo
autoregresja.
Wykorzystując operator opóznień proces AR mo\na zapisać
Xt = (Ä…1L + Ä…2L2 + ... + Ä…rLr)Xt + µt ,
czyli
(1 - Ä…1L - Ä…2L2 - ... - Ä…rLr)Xt = µt
Warunkiem poprawności powy\szego zapisu oraz skończonej wariancji Xt jest, aby
¸i < 1, gdzie ¸1,...,¸r sÄ… pierwiastkami równania Yr - Ä…1Yr-1 - Ä…2Yr-2 - ... - Ä…r = 0.
5. AUTOREGRESYJNY PROCES ÅšREDNIEJ RUCHOMEJ
Kombinacja modeli AR i MA. Nazywa się je autoregresyjnymi modelami średniej
ruchomej (ARMA). Model ARMA(p,q) definiuje się w następujący sposób:
Xt = Ä…1Xt-1 + ... + Ä…pXt-p + µt + ²1µt-1 + ... + ²qµt-q ,
{ }
gdzie µt jest procesem czysto losowym o zerowej Å›redniej i wariancji Ã2.
StosujÄ…c operator opóznieÅ„ L, model ARMA mo\na zapisać w postaci: Åš(L)Xt = ¸(L)µt ,
gdzie Åš(L) i ¸(L) sÄ… wielomianami stopnia, odpowiednio p i q, definiowanymi
Åš(L) = 1 - Ä…1L - Ä…2L2 - ... - Ä…rLp,
¸(L) = 1 + ²1L + ²2L2 + ... + ²mLq .
Warunkiem stacjonarności jest, aby pierwiastki równania Ś(L) = 0 le\ały poza okręgiem o
promieniu 1. Warunkiem odwracalnoÅ›ci skÅ‚adnika MA jest, aby pierwiastki ¸(L) = 0 le\aÅ‚y poza
okręgiem jednostkowym.
6. AUTOREGRESYJNY ZINTEGROWANY PROCES ÅšREDNIEJ RUCHOMEJ
Rozpatrywane w ekonomii szeregi czasowe w większości przypadków nie są stacjonarne.
Bardzo często wykorzystywaną procedurą przekształcenia szeregu niestacjonarnego w
stacjonarny jest obliczanie kolejnych przyrostów.
Definiujemy operator
" = 1 - L,
tak, \e "Xt = Xt - Xt-1, "2Xt = (Xt - Xt-1) - (Xt-1 - Xt-2) itd.
Przypuśćmy, \e "dXt jest szeregiem stacjonarnym, który mo\na przedstawić w postaci
modelu ARMA(p,q). Mówimy wtedy, \e Xt mo\na przedstawić w postaci autoregresyjnego
zintegrowanego modelu średniej ruchomej ARIMA(p,d,q).
PRZYKAADY
Prognoza; Model: ARIMA(1,1,1) Opóz. sezon.: 12
Dane: ludnosc
42000 42000
40000 40000
38000 38000
36000 36000
34000 34000
32000 32000
30000 30000
28000 28000
26000 26000
24000 24000
22000 22000
1946 1956 1966 1976 1986 1996 2006 2016
1951 1961 1971 1981 1991 2001 2011
Obserw. Prognozuj Ä… 90,0000%
Dane: Oludnosc1 (DEM_2007) Przekształcenia: D(1) Model:(1,1,1) Resztowy MS= 7877,5
Parametr Asympt. Asympt. p Dolna gr Górna gr
- BÅ‚Ä…d std - t( 58) - 95%p.ufn - 95%p.ufn
p(1) 0,97 0,03 28,26 0,00 0,90 1,04
q(1) 0,16 0,15 1,05 0,30 -0,14 0,46
OSZACOWANY MODEL ARIMA(1,1,1)
(1 - 0.97B)(1 - B)Xt = (1 - 0.16B)Zt
(0.03) (0.15)
gdzie
{Xt } - liczba ludności jest procesem autoregresyjnym rzędu 1
2
{Zt } - proces losowy o przeciÄ™tnej zero i wariancji ÃZ
B - operator przesunięcia, B : BXt = Xt-1
Prognoza; Model: ARIMA(1,1,1) Opóz. sezon.: 12
Dane: MAAśENSTWA
16 16
14 14
12 12
10 10
8 8
6 6
4 4
2 2
1946 1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001 2006 2011 2016
Obserw. Prognozuj Ä… 90,0000%
Dane: OMALZ (DEM_2007) Przekształcenia: D(1) Model:(1,1,1) Resztowy MS= ,22822
Parametr Asympt. Asympt. p Dolna gr Górna gr
- BÅ‚Ä…d std - t( 58) - 95%p.ufn - 95%p.ufn
p(1) -0,79 0,09 -8,65 0,00 -0,97 -0,60
q(1) -1,00 0,09 -10,77 0,00 -1,18 -0,81
OSZACOWANY MODEL ARIMA(1,1,1)
(1 + 0.79B)(1 - B)Xt = (1 + 1B )Zt
(0.09) (0.09)
gdzie
{Xt } - liczba mał\eństw jest procesem autoregresyjnym rzędu 1
2
{Zt } - proces losowy o przeciÄ™tnej zero i wariancji ÃZ
B - operator przesunięcia, B : BXt = Xt-1
Prognoza; ARIMA Model: (1,1,1) Opóz. sezon.: 12
Dane: PRZYROST NATURALNY
25 25
20 20
15 15
10 10
5 5
0 0
-5 -5
-10 -10
1946 1951 1956 1961 1966 1971 1976 1981 1986 1991 1996 2001 2006 2011 2016
Obserw. Prognozuj Ä… 90,0000%
Dane: OPRZYRN (DEM_2007) Przekształcenia: D(1) Model:(1,1,1) Resztowy MS= ,36480
Parametr Asympt. Asympt. p Dolna gr Górna gr
- BÅ‚Ä…d std - t( 58) - 95%p.ufn - 95%p.ufn
p(1) 0,89 0,08 11,70 0,00 0,74 1,04
q(1) 0,55 0,12 4,76 0,00 0,32 0,78
OSZACOWANY MODEL ARIMA(1,1,1)
(1 - 0.89B)(1 - B)Xt = (1 - 0.55B)Zt
(0.08) (0.12)
gdzie
{Xt } - przyrost naturalny jest procesem autoregresyjnym rzędu 1
2
{Zt } - proces losowy o przeciÄ™tnej zero i wariancji ÃZ
B - operator przesunięcia, B : BXt = Xt-1
KILKA SAÓW NT INDEKSÓW WYKORZYSTYWANYCH W EKONOMII
Przyrost (ró\nica) absolutny jednopodstawowy ró\nica pomiędzy poziomem zjawiska w
okresie badanym i poziomem zjawiska w okresie bazowym (podstawowym). Określa o ile wzrosło,
spadło pozostało bez zmian badane zjawisko w okresie badanym w porównaniu z okresem
podstawowym.
Pabs /0 = yt - y0,
gdzie:
yt poziom zjawiska w okresie t (t = 1,2,3,...)
yt poziom zjawiska w okresie przyjętym jako bazowy.
Przyrost (ró\nica) absolutna łańcuchowa jest ró\nicą pomiędzy poziomem zjawiska w
okresie badanym i poziomem zjawiska w okresie bezpośrednio poprzedzającym okres badany.
Informuje on, o ile wzrósł (zmalał), pozostał bez zmian poziom badanego zjawiska w okresie
badanym w porównaniu z okresem poprzednim (bezpośrednio poprzedzającym okres badany).
Pabs /t-1 = yt - yt-1,
gdzie yt-1 oznacza poziom zjawiska w okresie bezpośrednio poprzedzającym okres badany.
Przyrostem względnym o podstawie stałej określamy iloraz ró\nicy absolutnej o podstawie
stałej badanego zjawiska i jego poziomu w okresie podstawowym (bazowym). Nazywa się go te\
wskaznikiem tempa przyrostu. Informuje on, o ile procent lub punktów zmieniło się (wzrosło,
spadło, pozostało bez zmian) badane zjawisko w okresie badanym w porównaniu z okresem
podstawowym.
Pabs/0 yt - y0
Pwz /0 = = ,
y0 y0
lub
Pabs /0
yt - y0
Pwz /0 = Å" 100 = Å" 100
y0 y0
Przyrostem względnym o podstawie łańcuchowej nazywamy iloraz ró\nicy absolutnej o
podstawie ruchomej badanego zjawiska i jego poziomu w okresie bezpośrednio poprzedzającym
okres badany. Informuje on, o ile procent lub punktów zmieniło się (wzrosło, zmniejszyło się) lub
pozostało bez zmian badane zjawisko w okresie badanym w porównaniu z okresem bezpośrednio
poprzedzajÄ…cym okres badany.
Pabs/t-1 yt - yt-1
Pwz /t-1 = = ,
yt-1 yt-1
lub
Pabs /t-1
yt - yt-1
Pwz /t-1 = Å" 100 = Å" 100
yt-1 yt-1
Indywidualne indeksy dynamiki
Wskaznik, indeks dynamiki to miernik określający stosunek wielkości tego samego zjawiska
(zatrudnienia, wysokości kredytów, cen akcji) w dwóch ró\nych okresach. Indeksy mogą być
wyra\one w liczbach dziesiętnych lub w procentach.
Przyjmując za kryterium podziału podstawę porównań, rozró\niamy indeksy dynamiki o
podstawie stałej (jednopodstawowe) i zmiennej (łańcuchowe).
Jeśli indeks jest mniejszy od 1 lub 100%, to oznacza spadek zjawiska, jeśli jest większy od 1
lub 100%, świadczy to o wzroście poziomu zjawiska w badanym okresie. Natomiast jeśli indeks
równa się 1 lub 100%, oznacza to, \e zjawisko pozostało na nie zmienionym poziomie.
Indeks dynamiki o podstawie stałej wyra\a następująca relacja:
yt yt
it /0 = lub it /0 = Å" 100,
y0 y0
gdzie:
yt - poziom zjawiska w okresie badanym,
y0 - poziom zjawiska w okresie podstawowym.
Indeks ten informuje, jak zmieniło się (wzrosło, spadło) lub pozostało na nie zmienionym
poziomie badane zjawisko w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym.
Indeks dynamiki o podstawie łańcuchowej jest stosunkiem poziomu zjawiska w okresie
badanym i poziomu zjawiska w okresie bezpośrednio poprzedzającym okres badany. Określany
jest wzorem:
yt yt
it /t-1 = lub it /t-1 = Å" 100
yt-1 yt-1
gdzie
yt-1oznacza poziom zjawiska w okresie bezpośrednio poprzedzającym okres badany.
Określa on, jak zmieniło się (wzrosło, spadło) lub pozostało na niezmienionym poziomie
badane zjawisko w okresie badanym w porównaniu z okresem bezpośrednio poprzedzającym
okres badany.
Związki pomiędzy indeksami dynamiki a przyrostami względnymi
Relacje te wykorzystujemy do wyznaczenia jednego z mierników, posiadając informacje o drugim
mierniku.
Wykorzystując indeksy dynamiki, mo\na obliczyć przyrosty względne w sposób następujący:
1. Indeks dynamiki o podstawie stałej minus 1 lub 100 równa się przyrostowi względnemu o
podstawie stałej
ëÅ‚yt öÅ‚ yt - y0
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚y0 Å" 100÷Å‚ - 100 = yt Å" 100.
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
2. Indeks dynamiki o podstawie łańcuchowej minus 1 lub 100 równa się przyrostowi
względnemu o podstawie ruchomej (łańcuchowej)
ëÅ‚ yt öÅ‚ yt - yt-1
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚yt-1 Å" 100÷Å‚ - 100 = yt-1 Å" 100
÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Średniookresowy indeks łańcuchowy
Oceny średniego poziomu badanego zjawiska w przeliczeniu na jednostkę czasu w danym
szeregu czasowym dokonujemy za pomocą średniego indeksu łańcuchowego. Chcąc ustalić
średnie tempo przyrostu na podstawie danych szeregu czasowego posługujemy się średnią
geometrycznÄ….
Opierając się na ekstremalnych wielkościach absolutnych (pierwszy i ostatni z badanych
okresów)
yt
it /t-1 = n-1 Å" 100,
y1
gdzie:
yt - poziom zjawiska w ostatnim okresie badanym,
y1 -poziom zjawiska w pierwszym okresie badanym.
Średni indeks łańcuchowy jest pierwiastkiem n - 1 stopnia z ilorazu poziomu zjawiska w
ostatnim i pierwszym okresie badanym.
Dla jego obliczenia mo\na wyra\enie obustronnie logarytmować
1
logit /t-1 = (logyt - logy1).
n - 1
Znając wielkość średniego indeksu łańcuchowego dla badanego okresu mo\emy ustalić
przypuszczalne zmiany badanego zjawiska w latach nie objętych badaniem. Oszacowanie tego
typu nazywamy ekstrapolacją. Ekstrapolacja jest poprawna tylko przy zało\eniu, \e tempo zmian
badanego zjawiska pozostanie na takim samym poziomie jak w okresie badanym.
Przykład:
Zadłu\enie gospodarstw domowych w Polsce z tytułu kredytów na budownictwo mieszkaniowe
w latach 1991 1995 przedstawia poni\sza tablica:
Lata Wysokość kredytów
W mln zł
1991 115
1992 197
1993 346
1994 470
1995 562
Na podstawie informacji zawartych w tablicy obliczyć średniookresowy indeks łańcuchowy
RozwiÄ…zanie:
yt 5-1 562
it /t-1 = n-1 = ,
y1 115
1 1
logit /t-1 = (log562 - log115) = (2.749 - 2.06) = 0.172
4 4
it /t-1 = 1.4870 Å" 100 = 148.7%
Interpretacja:
W latach 1991 -1995 poziom kredytów wynosił w ka\dym następnym roku przeciętnie 148.7%
kredytu roku poprzedniego. Kredyty wzrastały przeciętnie o 48.7% rocznie w latach 1991
1995.
Średniookresowy indeks łańcuchowy obliczony na podstawie indeksów łańcuchowych
jest pierwiastkiem n tego stopnia z iloczynów indeksów łańcuchowych.
n
it /t-1 = i2/1 Å" i3/2 Å"& Å" it /t-1 ,
Aby policzyć powy\szy parametr nale\y dokonać obustronnego logarytmowania
1
logit /t-1 = (logi2/1 + logi3/2 + ... + logit /t-1),
n
1 n yt
logit /t-1 = log
"
t=2
n yt-1
Mając ciąg łańcuchowych wskazników dynamiki zadłu\enia gospodarstw domowych w Polsce z
tytułu kredytów na budownictwo mieszkaniowe w latach 1991 1995, obliczyć średniookresowy
indeks dynamiki
Lata Indeks dynamiki
Rok poprzedni = 100
1991 -
1992 171.3
1993 175.6
1994 135.8
1995 119.6
RozwiÄ…zanie:
4
n
it /t-1 = i2/1 Å" i3/2 Å" i4/3 Å" i5/4 = 171.3 Å" 175.6 Å" 135.8 Å" 119.6
it /t-1 = 148.7%
Interpretacja : jak poprzednio
Åšredniookresowe tempo zmian w czasie
Miernik ten uzyskujemy odejmując od średniookresowego indeksu łańcuchowego 1 lub 100,
jeśli indeks wyra\ony jest w %.
T = it /t-1 - 1 lub T = it /t-1 - 100.
Parametr powy\szy określa średniookresowy wzrost lub spadek badanego zjawiska,
przypadający na analizowaną jednostkę czasu. Jeśli wartość liczbowa średniookresowego
indeksu łańcuchowego jest mniejsza od 1 lub 100, oznacza to tendencję spadku absolutnego
poziomu zjawiska z okresu na okres o procent równy dopełnieniu do 100, jeśli parametr jest
większy od 100, oznacza to tendencję wzrostu absolutnego poziomu zjawiska z okresu na okres
średnio o procent równy wartości ponad 100.
Agregatowe indeksy wielkości absolutnych
Rozró\niamy trzy podstawowe agregatowe indeksy: wartości, ilości i cen.
Indeks wartości
Jest to iloraz sumy wartości w okresie badanym i sumy wartości w okresie przyjętym za
podstawę porównań. Ze względu na podstawę porównań wyró\niamy indeksy
jednopodstawowe i łańcuchowe.
Indeks wartości o podstawie stałej ma następującą postać:
n
qtipti
"
i=1
Iw /0 = Å" 100,
n
q0ip0i
"
i=1
gdzie:
qtipti - wartość poszczególnych elementów wchodzących w skład sumy w okresie badanym,
wyra\ona w cenach okresu badanego
qt0pt0 - wartość poszczególnych elementów wchodzących w skład sumy w okresie
podstawowym, wyra\ona w cenach okresu podstawowego.
Indeks wartości o podstawie łańcuchowej (ruchomej) ma następująca postać:
n
qtipti
"
i=1
Iw /t-1 = Å" 100
n
qt-1ipt-1i
"
i=1
gdzie qt-1pt-1 wartości poszczególnych elementów wchodzących w skład sumy w okresie
bezpośrednio poprzedzającym okres badany, wyra\ona w cenach okresu poprzedniego.
Indeks ten określa, jak zmieniła się wartość badanego zjawiska (wzrosła lub zmniejszyła lub
pozostała bez zmian w okresie badanym w porównaniu z okresem poprzednim.
Indeks wartości ma ograniczoną poznawczą.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
rach wykład 1 (16)Wykład 16 Gazometria i rkz16 07KPC Wykład (3) 16 10 2012Wykład 16 Podobieństwo Przepływów (cz 1)Wykład 4 16 06 12Wyklad 16Przedsiebiorczosc wyklad 16 październik 2013Analiza Wykład 6 (16 11 10) ogarnijtemat comWykład 16 Równania linioweAnaliza Finansowa Wykład 01 07 10 09Wykład 5 16,06,12wykład 16więcej podobnych podstron