Dynamika
Dynamika w przeciwieństwie do kinematyki zajmuje się
związkiem ruchu z jego przyczyną, tzn. z siłą.
PODSTAWOWE WIELKOŚCI
" Siła jest sposobem opisu oddziaływania ciał.
- Siła ma zdolność nadawania ciału (ciałom) przyspieszenia, czyli
rozpędzania ciała.
- Skutkiem działania siły może być też deformacja ciała.
- Siła jest wielkością wektorową: F .
1
Masa (bezwładna) jest miarą bezwładności ciała. Bezwładność, to
pewna cecha ciała, która objawia się podczas rozpędzania lub
zatrzymywania, czyli gdy wskutek działania siły ciało doznaje
przyspieszenia lub opóz
nienia.
Im większa masa tym większej siły (proporcjonalnie do masy)
należy użyć aby uzyskać dane przyspieszenie:
F = ma
masy można porównywać:
a0
m = m0
a
Jednostką masy jest kilogram: 1 kg
wzorzec jest wykonany ze stopu platyny z irydem i przechowywany w
Międzynarodowym Biurze Miar w SŁvres koło Paryża.
" Pęd jest wielkością stosowaną do opisu ciał w ruchu.
Im większy pęd tym  trudniej zatrzymać ciało (tzn. trzeba użyć
większej siły w określonym czasie).
Na wielkość pędu wpływa masa ciała oraz prędkość z jaką się
ciało porusza.
Ścisła definicja pędu:
p = m v
m
Jednostką pędu jest kg
s
2
ZASADY (PRAWA) DYNAMIKI NEWTONA
I. Jeżeli na ciało (o stałej masie) nie działa żadna siła lub
wypadkowa działających sił wynosi zero to ciało porusza się
ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w
spoczynku.
"F = Fwyp = 0 a = dv = 0 �! v = const
dt
II. Jeśli na ciało o stałej masie m działa siła F to nadaje
1686  Isaac Newton:  Philosophiae
ona ciału przyspieszenie a, przy czym związek między
Naturalis Principia Mathematica
(Matematyczne podstawy filozofii przyrody)
tymi wielkościami jest następujący:
F = ma
III. Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało
pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na
drugie (siła akcji równa jest sile reakcji).
b)
a)
FBA FAB
Freakcji Fakcji FAB = -FBA
B A
UWAGA:
* Definicja układu inercjalnego: jest to taki układ, w którym spełnione są
zasady dynamiki Newtona.
Punkt materialny: uogólnienie II zasady dynamiki Newtona
i zasada zachowania pędu.
Ogólniejsze prawo (analogiczne do drugiej zasady dynamiki Newtona) mówi, że tempo
zmian pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało:
d p "p
F = dla F = const. F = �! "p = F"t
dt "t
d(mv) d m d v
F = = v + m
czyli:
dt dt dt
WNIOSKI:
d v
1)
F = m = ma dla m = const II zas. dynamiki Newtona
dt
2)
"F = Fwyp = 0 �! dp= 0 �! p = const. zasada zachowania pędu
dt
3
Układ ciał  środek masy i zasady dynamiki Newtona
środek masy
N
+ r2
r m m
1 1 2
ri mi
"
Rsm =
i=1
+ m2
=
R m
sm 1
N
mi
"
i=1
N
M =
"mi
oznaczmy:
i=1
N N
P =pcał
dri N
mi v mi p
" " i " i
dR p
dt
sm i =1 i =1 i =1 ca ł
Vsm = = = = =
�!
N N N N P = M Vsm
dt
mi mi mi mi
" " " "
i =1 i =1 i =1 i =1 całkowity pęd = pęd sm
Układ ciał  zasady dynamiki Newtona i srodek masy
N
M =
"mi
i=1
P =pcał
P = M Vsm
suma sił wewnetrznych : F12 + F21 + F13 + F31 + F23 + F32 = 0
dP dVsm
= Fzew = M = M a
sm Fzew = M asm
�!
dt dt
siła zewnętrzna powoduje przyspieszenie sm
d pcał
= 0 �! = 0 �! pcał = const.
zasada zachowania pędu dla układu ciał
"Fzew
d t
4
Przykład zasady zachowania pędu
- wystrzał z armatki
prawo zachowania pędu:
ńł
�ł0 = mpvpx + Mava
�ł
�ł
ół0 = mpvpy + (Ma + M Ziemi)vZiemi
mpvpx mpvp cosą
ńł
a
�łv = - M = - Ma
�ł
a
�ł
�łv = - mpvpy H" 0 ponieważ MZiemi >> mp
Ziemi
�ł
(Ma + M )
ół Ziemi
ZASADY DYNAMIKI NEWTONA
DLA RUCHU OBROTOWEGO
Pomimo, że siła wypadkowa = 0 to ciało może być wprawione w ruch - obrót
d p
= 0 a = 0
Fwyp = 0
d t
L = r � p M = r � F
L = r p sin� = r pĄ" M = rF sin� = r FĄ"
Wielkościami, używaną do opisu ruchu obrotowego są:
moment pędu L (analogiczny do pędu) i moment siły M (analogiczny do siły)
5
II zas. dynamiki Newtona: Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego:
dp dL
M =
F =
dt
dt
Zmiana pędu w czasie jest równa sile (F), a zmiana momentu pędu w czasie momentowi
siły (M). Uwaga: moment siły i moment pędu zdefiniowane są względem tego samego
punktu.
Zasada zachowania momentu pędu dla ruchu obrotowego:
L = const .
M = 0
Jeśli wypadkowy moment sił działających na ciało jest równy zeru, to moment pędu
tego ciała jest zachowany (względem okreslonego punktu).
Przykład zasady zachowania momentu pędu
Ciało o masie m porusza się w płaszczyz
nie poziomej po okręgu o promieniu r1 (a). Prędkość
liniowa ciała wynosi v1 . Ile razy zmieni się prędkość liniowa ciała, jeśli pociągając za sznurek
jak na rys (b) zmniejszymy promień okręgu do długości r2 (b) . Zakładamy, że nie działa siła
grawitacji.
r1 Ą" v1 a)
L = m r1xv1 L = m r1v1
L= m r1xv1 L = m r1v1 b) siła F działa wzdłuż sznurka i zawsze prostopadle
do prędkości ciała r F , czyli:
||
1
d L
M = r1xF = 0 �! = 0 �! L = const.
dt
L = m r1v1 = m r2v2
r1
v2 = v1
r2
6
ZASADY ZACHOWANIA:
P
DU I MOMENTU P
DU
Punkt materialny:
d p
Fwyp = 0 �! = 0 �! p = const.
Zasada zachowania pędu :
d t
d L
Mwyp = 0 �! = 0 �! L = const.
Zasada zachowania momentu pędu :
d t
Układ punktów materialnych:
d pcał
= 0 �! = 0 �! pcał = const.
Zasada zachowania pędu :
"Fzew
d t
d Lcał
= 0 �! = 0 �! Lcał = const.
Zasada zachowania momentu pędu :
"Mzew
d t
PRZYKA
ADY SIA
RZECZYWISTYCH
Siły kontaktowe
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi siły kontaktowe.
y
ródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami, jest to siła elektromagnetyczna.
F
ńł - Fk = m1a
�ł
= m2a
ółFk
F - m2a = m1a
F
ńła =
�ł
m1 + m2
�ł
�ł
�łFk = m2 F
�ł
m1 + m2
ół
Siła kontaktowa Fk to siła z jaką klocek o masie m1 działa na klocek o masie m2
nadając mu przyspieszenie.
7
Siła grawitacji
Każde dwa ciała o masach m1 i m2 przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji wprost
proporcjonalną do iloczynu mas, a odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości
między nimi (tj. między ich środkami mas).
m1m2
m1m2 m1m2 r
F = G
lub wektorowo
Fg = -G r = -G
Ć
r2
r2 r2 r
G = 6.6754�10-11Nm2kg-2
Masy m1 i m2 występującą we powyższym wzorze
nazywamy masami grawitacyjnymi.
Masa grawitacyjna jest z
ródłem oddziaływania
grawitacyjnego.
Masa występująca w II zasadzie dynamiki
Newtona ( F=ma) to masa bezwładna.
Siła grawitacji  masa grawitacyjna i bezwładna
Czy masa bezwładna i masa grawitacyjna ciała są sobie równe ???
Obliczamy przyspieszenia jakie uzyskuje masa m (bezwładna) spadająca swobodnie w
pobliżu powierzchni Ziemi.
m'M
Z
Q = G
Na masę m (grawitacyjną) działa siła ciężkości:
2
RZ
Q = ma
II zasada dynamiki Newtona mówi, że:
M m'
Z
Obliczamy przyspieszenie:
a = G
2
RZ m
Doświadczalnie stwierdzono, że wszystkie ciała spadają (w próżni) w pobliżu Ziemi z tym
samym przyspieszeniem a = g.
m'
m' M
Z
=1
g = G
= const dobierzmy G tak aby: wtedy:
2
RZ
m m
Masa grawitacyjna i bezwładna są sobie równe !!!
8
Tarcie
Siła tarcia to siła, która działa stycznie do powierzchni zetknięcia ciał i przeciwdziała
przesunięciu jednego ciała po drugim.
" Siłę tarcia działającą między nieruchomymi powierzchniami nazywamy tarciem statycznym Ts
Prawa dotyczące tarcia:
- Ts (max) (maksymale tarcie statyczne) jest w przybliżeniu niezależna od wielkości pola
powierzchni makroskopowego styku ciał (uwaga powierzchnia styku rzeczywistego może być
nawet 10000 razy mniejsza),
- Ts (max) jest proporcjonalna do siły z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.
Ts(max)
Stosunek maksymalnej siły Ts(max) do siły nacisku FN nazywamy
fs =
współczynnikiem tarcia statycznego fs
FN
" Gdy ciało porusza się, to mamy do czynienia z siłą tarcia
kinetycznego Tk
Prawo:
Tk nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni.
Tk
fk = Stosunek siły Tk do siły nacisku FN nazywamy
FN współczynnikiem tarcia kinetycznego fk
Tarcie  przykład 1
Rodzaj powierzchni fs fk
Stal po stali 0.15 0.03- 0.09
Drewno po drewnie 0.54 0.34
Drewno po kamieniu 0.7 0.3
Stal po lodzie (np. łyżwy) 0.027 0.014
9
Tarcie  przykład 2
Ciało o masie m spoczywa na równi pochyłej, której kąt nachylenia � stopniowo zwiększamy.
Przy jakim granicznym kącie nachylenia ciało zacznie się zsuwać jeżeli współczynnik
tarcia statycznego klocka o równię wynosi fs?
F = Qsin�
ńł
�ł
ółN = Qcos�
Tmax = fs Q cos�
Tmax < F �! fs Q cos� < Q sin�
fs < tg� ciało zsuwa się
SIA
Y POZORNE
rozpatrzmy składową x:
x'(t) = x(t) - x0 (t)
2 2 2
d x' d x d x0
= -
2 2 2
dt dt dt
ax ' = ax - a0, x
Fbez = -ma0
Ogólnie:
a'= a - a0
ma'= ma + (-ma0)
ma'= Frzecz + Fbez
Iloczyn masy i przyspieszenia unoszenia (ze
znakiem minus) nazywamy siłą bezwładności Fbez.
10
Ruch prostoliniowy - dwaj obserwatorzy opisują ruch klocka znajdującego
się w samochodzie
jeden z obserwatorów stoi na Ziemi,
a drugi znajduje się w samochodzie,
vklocka = 0 �! F = 0 (O )
�!
�!
�!
samochód jedzie ze stałą prędkością (rys. 1)
vklocka = v = const. �! F = 0 (O)
�!
�!
�!
(obserwatorzy O i O znajdują się w inercjalnych układach odniesienia)
F = -mklockaa (O )
samochód hamuje ze stałym opóz
nieniem a (rys. 2),
(między klockiem, a podłogą samochodu nie ma tarcia)
vklocka = v = const. �! F = 0 (O)
�!
�!
�!
(obserwator O znajduje się w układzie nieinercjalnym a obserwator O jest w układzie inercjalnym)
Ruch prostoliniowy - wyrywanie obrusu
T d" f mg
11
Siła odśrodkowa  stan nieważkości
jeden z obserwatorów (O) stoi na Ziemi,
a drugi znajduje się w sputniku (O )
v2
Fodś = m r = m�2r
Ć
r
Siła odśrodkowa - kamień na sznurku
vmin = rg
12
Biedronka porusza się wzdłuż
Siła Coriolisa promienia tarczy ze stałą prędkością vr
(względem tarczy !!)
acor = -2v ��
Siły bezwładności działające w układzie obracającym się:
v2
Fcor = -macor = 2mv ��
Fodś = m r = m�2r
Ć
r
Siła Coriolisa na Ziemi
Mieszkamy na Ziemi  wirującej planecie
KATRINA 2005
RITA 2005
Ruch obrotowy Ziemi powoduje zmianę kierunku poruszających się po jej powierzchni ciał.
" silniejsze podmywanie prawych brzegów rzek na półkuli północnej i lewych na
półkuli południowej
" odchylenie kierunków wiatrów stałych
" układ prądów morskich
" odchylenie toru ciał spadających
13
Siła Coriolisa- wahadło Foucaulta
Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł
w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca
ustawione wokoło klocki.
Wahadło Foucaulta - Kościół św. Piotra i Pawła w Krakowie: 46,5m , 25 kg
14