Matematyka II
Egzamin poprawkowy z analizy matematycznej 19. 03. 2008 r.
1. Obliczyć całk�
e

3
2
ex dx + z x2 + y2 dy + yz3 dz ,
L
"
gdzie L jest krzyw� zamkni� a wyznaczon� przez przeci� si� stożka z = x2 + y2
a et� a ecie e
z płaszczyznami x = 0, x = 2, y = 0 i y = 1.
2. Obliczyć całk�
e

x2 dy '" dz + y2 dz '" dx + z2 dx '" dy ,
S
H
gdzie S jest cz� � powierzchni paraboloidy z = (x2 + y2) leż� a wewn� walca
eścia ac� atrz
R2
x2 + y2 = R2 zorientowan� zgodnie z osia 0z.
a �
1
Matematyka II
Egzamin pisemny poprawkowy z analizy matematycznej 10. 03. 2008 r.
1. Obliczyć całk�
e

dxdy
,
(2 + x2 + y2)2
D
gdzie D jest obszarem leż� mi� okr� x2 + y2 = 2x i x2 + y2 = 4x.
acym edzy egami
2. Obliczyć całk�
e

zx dy + xy dz - yz dx
,
(x - yz)2
L
gdzie L jest łaman� łacz� a punkty A1(1, 0, 0), A2(2, 1, 1), A3(2, 0, 1) i A4(3, 1, 0).
a � ac�
3. Obliczyć całk�
e

(1 - 2x) dy '" dz + 2y dz '" dx + 2z dx '" dy ,
S
gdzie S jest zewn� a stron� połowy sfery x2 + y2 + z2 = 2x, x 1.
etrzn� a
4. Niech X = {1, 2, ..., n}, gdzie n > 2 i niech Ł składa si� ze zbioru pustego i wszystkich
e
zbiorów B �" X, takich,że {1, n} �" B albo {1} , {n} �" B. Niech �(") = 0, �({1, n}) = 0
oraz �(B) b� liczb� elementów zbioru B, różnych od 1 i n.
edzie a
(a) Czy (X, Ł, �) jest przestrzenia z miar�
� a?
(b) Czy � jest miar� zupełn�
a a?
5. (a) Czy iloczyn dwóch funkcji prostych sumowalnych f, g jest funkcj� prost� sumowaln�
a a a?
m n

(b) Niech f = ai �A " P, g = bj �B " P , gdzie A1, A2, ..., Am " Ł s� parami
a
i j
i=1 j=1
rozł� i B1, B2, ..., Bn " Ł s� parami rozłaczne, P oznacza zbiór funkcji prostych
aczne a �

sumowalnych. Obliczyć f g d�.
X
2
Matematyka II
Egzamin pisemny poprawkowy z analizy matematycznej 03. 03. 2008 r.
1. Obliczyć całk�
e


x2 + y2 dxdydz ,
V
gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami x2+y2+z2 = R2 i x2+y2+z2 = 2Rz.
2. Obliczyć całk�
e

yz xz xy
dx + dy + dz ,
1 + x2y2z2 1 + x2y2z2 1 + x2y2z2
L
gdzie L jest łaman� ł� ac� punkty A(-1, -1, -1), B(1, -1, 1), C(-1, 1, -1) i D(1, 1, 1).
a acz� a
3. Obliczyć dwoma sposobami całk�
e

2x dy '" dz + (1 - 2y) dz '" dx + 2z dx '" dy,
S
gdzie S jest zewn� a stron� paraboloidy x2 +y2 = 1-2z leż� a w półprzestrzeni z 0.
etrzn� a ac�
4. Niech X b� zbiorem nieprzeliczalnym. Przez A oznaczmy zbiór wszystkich podzbiorów
edzie
zbioru X, a przez C zbiór wszystkich podzbiorów B zbioru X takich, że albo B jest
przeliczalny albo X \ B jest przeliczalny.
a) Dowieść, że C jest �-algebr� zbiorów.
a
b) Każda funkcja f : X - R C-mierzalna jest A-mierzalna.
c) Podać przykład funkcji A-mierzalnej, która nie jest C-mierzalna.
3
Matematyka II
Egzamin pisemny z analizy matematycznej 29. 01. 2008 r.
1. Obliczyć całk�
e


x2 + y2 + z2 dxdydz ,
V
gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchnia x2 + y2 + z2 + z = 0.
�
2. Obliczyć całk�
e
(e,e,e)

z y 2yz z x 2xz y x 2xy
- - dx + - - dy + + + dz .
y2 z2 x3 x2 z2 y3 x2 y2 z3
(1,1,1)
3. Obliczyć dwoma sposobami całk�
e

yz dy '" dz + xz dz '" dx + xy dx '" dy,
S
gdzie S jest boczn� powierzchnia ostrosłupa o wierzchołku w punkcie C(0, 0, 2), którego
a �
podstaw� jest trójk� o wierzchołkach 0(0, 0, 0), A(2, 0, 0) i B(0, 2, 0).
a at
4. Obliczyć całk�
e
1
(L) [f(x) + g(x)] dx ,
0
gdzie
ńł
1
�ł sin Ą x , dla x " [0, ) \ C
�ł
2
f(x) = cos Ą x , dla x " [1, 1] \ C ,
2
�ł
ół
0 dla x " C
gdzie C jest zbiorem Cantora, a [x] jest cz� � całkowit� z liczby x
eścia a

1
1
x
e-[ ], dla x " (0, 1]
x2
g(x) = .
0 dla x = 0
4