WSTĘP TEORETYCZNY

1. Obliczanie pojemności

Poniższy rysunek przedstawia kondensator płaski, w którym przewodniki tworzą układ złożony z dwóch równoległych okładek o powierzchni A, umieszczonych w odległości d. Jeśli chwilowo okładki połączymy z zaciskami baterii, to na jednej okładce automatycznie pojawi się ładunek +q, a na drugiej ładunek -q. Jeżeli d jest małe w porównaniu z wymiarami okładki, to natężenie pola elektrycznego E między okładkami będzie jednorodne, co oznacza, że linie sił będą równoległe i równomiernie rozmieszczone.

Rys. Kondensator płaski z przewodnikami o powierzchni A. Przerywane linie przedstawiają powierzchnię Gaussa, których wysokość jest h, a część dolna i górna powierzchni ma kształt i wymiary okładek kondensatora

Obliczamy pojemność opisanego urządzenia posługując się prawem Gaussa. Powyższy rysunek przedstawia powierzchnię Gaussa o wysokości h, zamkniętą płaskimi powierzchniami A, o kształcie i wielkości okładek kondensatora. Strumień wektora E jest równy zeru dla pionowej części powierzchni Gaussa, która leży wewnątrz górnej okładki kondensatora, ponieważ wewnątrz przewodnika mającego ładunek statyczny nie istnieje pole elektryczne. Strumień wektora E przez boczne ścianki powierzchni Gaussa jest równy zeru, ponieważ dzięki zaniedbaniu rozproszenia linii sił wektor E leży w płaszczyźnie ścianki.

Pozostaje jedynie ta strona powierzchni Gaussa, która leży między okładkami. tu wektor E jest stały, a strumień Φ_E wynosi po prostu EA. Prawo Gaussa daje więc

Pracę potrzebną do przeniesienia ładunku próbnego q₀ z jednej strony okładki na drugą można wyrazić albo jako q₀V, albo jako iloczyn siły q₀F i odległości d, czyli q₀Ed. Wyrażenia te muszą być równe, czyli

V=Ed

Formalnie równanie jest specjalnym przypadkiem ogólnej zależności:

gdzie V jest różnicą potencjałów okładek. Całka może być wzięta po dowolnej drodze zaczynającej się na jednej i kończącej na drugiej okładce, ponieważ każda okładka stanowi powierzchnię ekwipotencjalną i praca wykonywana przez siłę elektrostatyczną nie zalezy od drogi. Jakkolwiek najprosztszą drogą między okładkami jest linia prosta, prostopadła do dwu okładek, równanie jest słuszne bez względu na wybór drogi całkowania.

Jeśli do zależności C=q/V podstawimy powyższe równania, to otrzymamy:

Równanie to stosuje się tylko do kondensatorów płaskich; dla kondensatorów o innej geometrii obowiązują inne wzory. To równanie pokazuje dla konkretnego przypadku że C rzeczywiście zależy od geometrii przewodników. Zarówno A jak i d są czynnikami goemetrycznymi.

2. Kondensator płaski z dilelktrykiem.

Powyższe równanie obowiązuje tylko dla kondensatora płaskiego, którego okładki znajdują się w próżni. Michael Faraday w 1837 r. po raz pierwszy badał, jaki wpływ wywrze zapełnianie przestrzeni między okładkami dielektrykiem. Faraday zbudował dwa identyczne kondensatory; w jednym z nich umieścił dielektryk, a w drugim pozostawił powietrze pod normalnym ciśnieniem, gdy oba kondensatory były naładowane do tej samej różnicy potencjałów. Faraday stwierdził doświadczalnie, że ładunek na kondensatorze zawierającym dielektryk był większy, niż na kondensatorze bez dielektryka.

Ponieważ w obecności dielektryka q jest większe przy tym samym V, więc z zależności C=q/V wynika, że pojemność kondensatora wzrasta, jeżeli między okładkami umieszcza się dielektryk. Stosunek pojemności kondensatora z dielektrykiem do pojemności bez dielektryka nazywamy stałą dielektryczną χ danego dielektryka.

Zamiast podtrzymywać tę samą różnicę potencjałów na obu kondensatorach, możemy umieścić na nich jednakowe ładunki. Doświadczenie wykazuje, że różnica potencjałów V_d na prawym kondensatorze jest mniejsza niż na lewym o czynnik 1/χ, czyli

Doszliśmy znowu na podstawie zależności C=q/V, do stwierdzenia, że dielektryk powoduje wzrost pojemności o czynnik χ.

Dla kondensatora płaskiego możemy jako wynik doświadczalny zapisać

Równanie jest specjalnym przypadkiem tej zależności, otrzymanym przez podstawienie χ=1, odpowiadającym obecności próżni między okładkami. Doświadczenie pokazuje, że pojemność wszystkich typów kondensatorów wzrasta o czynnik χ, jeżeli przestrzeń między okładkami jest wypełniona dielektrykiem. W ten sposób pojemność dowolnego kondensatora można zapisać w postaci

gdzie L zależy od geometrii kondensatora i ma wymiar długości. Dla kondensatora płaskiego L jest równe A/d; dla kondensatora cylindrycznego wynosi 2πl/ln(b/a).

2

---