Laboratorium identyfikacji procesów technologicznych
|
Wykonali :
|
Kierunek :
|
Numer æwiczenia :
|
Temat : Liniowe modele dynamiczne i sposoby ich opisu.
|
Data wykonania :
|
Data oddania :
|
Ocena :
|
|
Celem wiczenia byo zapoznanie si z podstawowymi wiadomociami dotyczcymi liniowych modeli dynamicznych, wprowadzenie do programu SIMULINK danego ukadu nieliniowego, przeprowadzenie linearyzacji obiektu oraz zastosowa poznane sposoby opisu modelu w opisie modelu otrzymanego w procesie linearyzacji.
1. Wstp teoretyczny.
Kade zjawisko (obiekt) jest charakteryzowane przez pewn liczb wielkoci. Wielkoci te nazywamy zmiennymi lub wspórzdnymi stanu. Zwykle mamy do czynienia z sytuacj, w której na przebieg zjawiska (na obiekt) wpywaj rónorodne czynniki. Moemy je oczywicie podzieli na oddziaywania zalene od nas oraz niezalene od naszej woli. Nasze wiadome oddziaywania nazywamy sterowaniami, a niezalene od naszej woli - zakóceniami. Okrelenie powyszych wielkoci nie determinuje, e mamy do czynienia akurat z modelem dynamicznym. Majc na przykad obiekt dynamiczny (rys.1.), czyli wielkoci wejciowa x oraz wyjciowa y zwizane ze sob równaniem róniczkowym - ukady cige, lub rónicowym - ukady dyskretne :
moemy, na podstawie dokonanego dowiadczenia (pomiarów) wyznaczy funkcj opisujc zaleno pomidzy sygnaem wejciowym x, a odpowiadajc mu ustalon wartoci sygnau wyjciowego y, a wic charakterystyk rozwaanego obiektu (rys.2.). Stanowi ona statyczny model danego obiektu z pominiciem wystpujcej w nim dynamiki, która opisuje proces stopniowego przechodzenia midzy dwoma stanami ustalonymi. Na charakterystyce tej dobieramy optymalny punkt (p.p), kierujc si wymogami okrelonymi przebiegiem procesu technologicznym. Rzeczywiste obiekty mog by jednak w tym punkcie niestabilne lub te mog one by poddawane wpywowi rónego rodzaju zakóce. Taka sytuacja powoduje konieczno zastosowania regulatora w celu stabilizacji obiektu oraz osabienia wpywu zmiennych w czasie zakóce. Zadanie syntezy regulatora mona rozwizywa jednak tylko na podstawie modeli dynamicznych danego obiektu, stanowicymi ukad równa róniczkowych lub rónicowych opisujcych dynamik obiektu. Z równa tych wynika ju zarówno obecno stanów ustalonych jak i nieustalonych. Wynika wic std, e symulacji modeli dokonuje si poprzez rozwizanie ukadu równa róniczkowych lub rónicowych. Mimo wystpowania nieliniowoci w znacznej wikszoci rzeczywistych obiektów sterowania, wiele nieliniowych ukadów pracuje w zakresie niewielkich odchyle zmiennych od okrelonego punktu pracy. Zamiast analizowa odpowiadajcy temu obiektowi niewygodny model nieliniowy wystarczy posuy si jego liniowym przyblieniem w punkcie pracy, czyli dokona jego linearyzacji w pewnym otoczeniu punktu pracy (rys.3.).
Tak wic, modele liniowe s stosunkowo atwe do analizy oraz nie sprawiaj kopotów w symulacji, dlatego te stanowic czsto lokalne przyblienia modeli nieliniowych odgrywaj ogromn rol w konstrukcji modeli dynamicznych i ukadów sterowania. Modele dynamiczne mona sklasyfikowa biorc pod uwag róne kryteria. Jednym z najwaniejszych jest sposób pomiaru czasu w ukadzie. I tak otrzymujemy modele cige przy obserwacji ukadu we wszystkich chwilach czasu danego przedziau oraz modele dyskretne, jeli interesuj nas tylko wybrane chwile. Istnieje take kilka sposobów opisu tyche modeli (oprócz równa róniczkowych). Kierujc si wyej wymienionym podziaem modeli, ich struktur opisuj nastpujce zalenoci :
1.1. liniowe modele cige (LTI)
- przestrze stanów :
x(t) = Ax(t) + Bu(t) - równanie stanu;
y(t) = Cx(t) + Du(t) - równanie wyjcia;
gdzie : - u(t) - wektor sterowania px1; - A(t) - macierz ukadu nxn;
- y(t) - wektor odpowiedzi qx1; - B(t) - macierz sterowania nxp;
- x(t) - wektor stanu nx1; - C(t) - macierz odpowiedzi qxn;
- D(t) - macierz transmisyjna qxp;
- równanie róniczkowe :
przy czym (n " m);
- transmitancja operatorowa :
- przestrze zero-biegunowa :
z - zera; b - bieguny transmitancji.
- charakterystyki czasowe :
- charakterystyka skokowa 
- charakterystyka impulsowa 
- charakterystyki czstotliwociowe (Nyquist, Bode).
1.2. liniowe modele dyskretne (DLTI)
- przestrze stanów :
x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) - równanie stanu;
y(k) = Cx(k) + Du(k) - równanie wyjcia;
gdzie : - u(k) - wektor sterowania px1; - A(k) - macierz ukadu kxk;
- y(k) - wektor odpowiedzi qx1; - B(k) - macierz sterowania kxp;
- x(k) - wektor stanu kx1; - C(k) - macierz odpowiedzi qxk;
- D(k) - macierz transmisyjna qxp;
- równanie róniczkowe :
przy czym (n " m);
- transmitancja dyskretna :
- przestrze zero-biegunowa :
z - zera; b - bieguny transmitancji.
- charakterystyki czasowe :
- charakterystyka skokowa 
- charakterystyka impulsowa 
- charakterystyki czstotliwociowe (Nyquist, Bode).
2. Przebieg wiczenia.
2.1. Schemat blokowy badanego obiektu.
2.2. Linearyzacja modelu.
2.2.1. Linearyzacja ciga.
Linearyzacji cigej modelu dokonujemy w programie Matlab, stosujc funkcj :
[A,B,C,D] = linmod(`obiekt');
W wyniku zastosowania tej funkcji otrzymujemy macierze wspóczynników A,B,C,D stosowane do opisu obiektu w przestrzeni stanów :
; 
; 
; 
;
2.2.2. Linearyzacja dyskretna.
Linearyzacji dyskretnej modelu dokonujemy w programie Matlab, stosujc funkcj :
[Ad,Bd,Cd,Dd] = dlinmod(`obiekt',Ts);
przyjmujc czas próbkowania Ts=0,1
W wyniku zastosowania tej funkcji otrzymujemy macierze wspóczynników Ad,Bd,Cd,Dd stosowane do opisu obiektu w przestrzeni stanów :
; 
; 
; 
;
2.3. Wyznaczenie transmitancji modelu.
2.3.1. Transmitancja modelu cigego.
Na podstawie otrzymanych w punkcie 2.2.1. macierzy A,B,C,D moemy wyznaczy transmitancj operatorow G(s) stosujc funkcj Matlaba :
[num,den] = ss2tf(A,B,C,D);
W ten sposób otrzymalimy jedynie wspóczynniki (an i bn) transmitancji w formie dwóch wektorów :
num = [ 0 0 2 ]; den = [ 1 2 3 ];
Chcc uzyska transmitancj w postaci ilorazu dwóch wielomianów, stosujemy funkcj :
printsys(num, den)
Std otrzymujemy transmitancj :
2.3.2. Transmitancja modelu dyskretnego.
Na podstawie otrzymanych w punkcie 2.2.2. macierzy A,B,C,D moemy wyznaczy transmitancj operatorow G(s) stosujc funkcj Matlaba :
[numd,dend] = ss2tf(Ad,Bd,Cd,Dd);
W ten sposób otrzymalimy jedynie wspóczynniki (an i bn) transmitancji w formie dwóch wektorów :
numd = [ 0 0,009342 0,008739 ]; dend = [ 1 -1,792 0,8187 ];
Chcc uzyska transmitancj w postaci ilorazu dwóch wielomianów, stosujemy funkcj :
printsys(numd, dend,'z')
Std otrzymujemy transmitancj :
rodowisko Matlab udostpnia take moliwo wyznaczenia transmitancji dyskretnej (DTR) bezporednio ze znanej transmitancji cigej danego obiektu. Moliwo t stanowi funkcja :
[numd,dend] = c2dm(num, den, Ts, `zoh');
2.4. Wyznaczenie równania róniczkowego oraz równania rónicowego.
2.4.1. Równanie róniczkowe modelu cigego.
Na podstawie danych otrzymanych w poprzednich punktach oraz wiadomoci z punktu 1.1. moemy napisa równanie róniczkowe :
2.4.2. Równanie rónicowe modelu dyskretnego.
Na podstawie danych otrzymanych w poprzednich punktach oraz wiadomoci z punktu 1.2. moemy napisa równanie rónicowe :
2.5. Wyznaczenie zer i biegunów transmitancji.
2.5.1. Zera i bieguny transmitancji cigej.
Rozkad biegunów na paszczynie s otrzymujemy korzystajc z funkcji :
pzmap(num, den)
2.5.2. Zera i bieguny transmitancji dyskretnej.
Rozkad biegunów na paszczynie z w tym przypadku otrzymujemy korzystajc z funkcji :
pzmap(numd, dend)
przy czym (x) oznacza bieguny, natomiast (o) oznacza zera.
2.6. Wyznaczenie odpowiedzi czasowej skokowej i impulsowej.
2.6.1. Odpowied skokowa i impulsowa ukadu cigego.
Przebiegi te uzyskamy korzystajc z funkcji :
step(A,B,C,D) - odpowied skokowa,
impulse(A,B,C,D) - odpowied impulsowa,
2.6.2. Odpowied skokowa i impulsowa ukadu dyskretnego.
Przebiegi te uzyskamy korzystajc z funkcji :
dstep(Ad,Bd,Cd,Dd) - odpowied skokowa,
dimpulse(Ad,Bd,Cd,Dd) - odpowied impulsowa,
2.7. Wyznaczenie charakterystyk czstotliwociowych Nyquista.
2.7.1. Charakterystyka ukadu cigego.
Charakterystyk t wyznaczamy funkcj :
nyquist(num,den)
2.7.2. Charakterystyka ukadu dyskretnego.
Dla ukadu dyskretnego stosujemy funkcj :
dnyquist(numd,dend,Ts)
2.8. Wyznaczenie charakterystyk czstotliwociowych Bodego.
2.8.1. Charakterystyka ukadu cigego.
Tego rodzaju charakterystyk w przypadku ukadu cigego wyznaczamy stosujc funkcj :
bode(num, den)
2.8.2. Charakterystyka ukadu dyskretnego.
3. Uwagi i wnioski.
Pierwszym punktem naszego wiczenia byo przedstawienie danego obiektu nieliniowego w postaci schematu blokowego korzystajc z bloków bibliotecznych dostpnych w programie SIMULINK. Na schemacie zamieszczonym w punkcie 2.1. moemy zauway jednak, e blok generatora sygnaów oraz urzdzenia dokonujcego graficznej rejestracji sygnau wyjciowego zastpiono blokami Inport oraz Outport. S to bloki zapewniajce poczenie modelu z algorytmami SIMULINKA. Wynika to ze zdefiniowania rozpatrywanego modelu jako S-funkcji. Spenienie tego warunku wymaga funkcja Matlaba linmod, za pomoc której dokonalimy linearyzacji modelu cigego w nastpnym punkcie (dlinmod - linearyzacja modeli dyskretnych). Zastosowanie tego rodzaju funkcji pozwala nam uzyska zlinearyzowany model S-funkcji wokó punktu pracy okrelonego wartociami wektora stanu i wektora wymusze. W naszym wiczeniu wektory te byy wektorami pustymi, co oznacza, e przyjlimy punkt pracy odpowiadajcy zerowym wartociom tych wektorów (pocztek ukadu wspórzdnych charakterystyki statycznej). Naley zaznaczy, e przy wywoaniu funkcji dlinmod musimy okreli warto czasu próbkowania Ts, przy której dokonano linearyzacji. Std, funkcja ta moe zosta uyta do zmiany czasu próbkowania caego ukadu albo do przeksztacenia liniowego ukadu dyskretnego na cigy lub na odwrót. W dalszych punktach wiczenia wyznaczone zostay inne znane postacie opisu otrzymanego modelu cigego jak i modelu dyskretnego (opisane w punkcie 1.), korzystajc podobnie jak wczeniej z odpowiednich funkcji rodowiska Matlab. Na ich podstawie moemy stwierdzi, e model ten stanowi jeden z czsto spotykanych w automatyce elementów, jakim jest element oscylacyjny, a take okreli podstawow cech ukadów automatyki, czyli stabilno. O stabilnoci badanego ukadu moemy si przekona analizujc na przykad posta zero -biegunow transmitancji, a dokadniej pooenie jej biegunów na paszczynie zespolonej (`s' dla ukadu cigego i `z' dla ukadu dyskretnego). Dwa istniejce bieguny (sprzone) transmitancji G(s) - element oscylacyjny (inercja II rzdu), le w lewej pópaszczynie zespolonego ukadu wspórzdnych, czyi posiadaj ujemne czci rzeczywiste (odpowiednio dla ukadu dyskretnego bieguny transmitancji G(z) znajduj si na paszczynie zespolonej `z' wewntrz okrgu o jednostkowym promieniu i rodku w pocztku ukadu wspórzdnych). Taka liczba i pooenie biegunów (pierwiastków równania charakterystycznego) pozwala nam stwierdzi, e procesy przejciowe (dochodzenie do stanu ustalonego) w przypadku tego rodzaju ukadu ma charakter drga tumionych. Potwierdzenie tego moemy znale na charakterystyce przedstawiajcej odpowied skokow naszego ukadu. Charakterystyka ta zawiera skadow oscylacyjn, które jest tumiona tym sabiej im mniejsze jest - wspóczynnik tumienia wzgldnego. W naszym przypadku przyjmuje on warto okoo 0,58. Wida wic, e badany ukad musi posiada w swej strukturze elementy, w których zachodzi przemiana jednego rodzaju energii w drugi, przy czym w procesie tym wystpuje rozpraszanie energii wydzielajcej si w postaci strat.
Przeprowadzone wiczenie ukazuje ponadto jak bardzo pomocnym jest, przy tego rodzaju zagadnieniach, wspomaganie si tego typu narzdziami jakie stanowi rodowisko Matlab. Pozwala ono na ograniczenie dugich i mudnych oblicze praktycznie do minimum, a jednoczenie pozwala na pozyskanie danych informacji w rónych jej postaciach.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
AUTOMATYKA, Liniowe modele obiektĂłw i sposoby ich opisĂłw1, POLITECHNIKA OPOLSKA
modele rĂłwnaĆ i sposoby ich rozwiÄ zywania
modele rĂłwnaĆ i sposoby ich rozwiÄ zywania
Style komunikowania siÄ i sposoby ich okreĆlania
Typologia bledow i sposoby ich oznaczania, inibsrinib, dydaktyka
PRZEJAWY+I+FORMY+AGRESJI++W+SZKOLE++ORAZ+SPOSOBY+ICH+PRZEZWYCI c4 98 c5 bbANIA(1), pedagogika
Rodzaje marynat i sposĂłb ich produkcji, Studia - materiaĆy, semestr 6, Technologia rybna
Konflikty i sposoby ich rozwiÄ zywania
podziaĆ materiaĆĂłw i sposoby ich wyceny IDVBGQVPA2NOPTZBTNQRWJUJGTOK5YE6ZXEUO5Q
PROBLEMY W ORGANIZACJI I SPOSOBY ICH ROZWIÄZYWANIA, RĂłĆŒne
PRZEMIANY CHEMICZNE ZANIECZYSZCZEĆ W TROPOSFERZE I METODY ICH OPISU W MODELACH(1)
w sprawie szczegĂłĆowego zakresu i kierunkĂłw dziaĆaĆ Agencji Restrukturyzacji i Modernizacji Rolnictw
wyklad liniowe modele decyzyjne
Modele dynamiczne id 305054 Nieznany
Potrzeby rozwojowe i sposoby ich zaspokajania w terapii dzieci gĆÄboko upoĆledzonych umysĆowo(1)
Mieszkowska Konflikty baĆkaĆskie koĆca XX wieku Sposoby ich rozwiÄ zywania przez spoĆecznoĆÄ miÄdzyn
082b rozp rm zm rozp rm w sprawie ustalania okolicz i przyczyn wypad przy pracy oraz sposobu ich dok
wiÄcej podobnych podstron