11Rownania rozniczkowe, 3.Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych, Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych


Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

I Równanie jednorodne

Niech 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Równanie różniczkowe

0x01 graphic

o funkcji niewiadomej 0x01 graphic
nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie

0x01 graphic
.

Wtedy 0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

0x01 graphic
.

Przykład

Rozwiązać równanie 0x01 graphic
.

Zapisując równanie w postaci równoważnej 0x01 graphic
otrzymujemy równanie jednorodne, gdzie 0x01 graphic
. Zatem jeśli 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
, co zachodzi gdy 0x01 graphic
stosujemy podstawienie

0x01 graphic
.

Wtedy 0x01 graphic
i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Stąd

0x01 graphic
,

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic

lub równoważnie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Stąd 0x01 graphic
jest rozwiązaniem dla każdego 0x01 graphic
.

Jednak przyjmując 0x01 graphic
w powyższym wzorze otrzymujemy krzywą 0x01 graphic
(tzn. 0x01 graphic
), dla której 0x01 graphic
i krzywa ta spełnia równanie różniczkowe bo 0x01 graphic
.

Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych 0x01 graphic

II Równanie 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz f jest ciągła.

Stosujemy podstawienie 0x01 graphic
.

Wtedy

0x01 graphic

i korzystając z równania otrzymujemy

0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Rozwiązać równanie 0x01 graphic
.

Stosujemy podstawienie

0x01 graphic

Wtedy 0x01 graphic
i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic
.

Ponieważ

0x01 graphic

zatem

0x01 graphic
jest rozwiązaniem równania.

Ponadto, jeśli 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic

jest też rozwiązaniem równania.

III Równanie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
R oraz f - ciągła.

10x01 graphic
Jeśli 0x01 graphic
, to podstawiamy

0x01 graphic
, gdzie h, k - pewne stałe.

Stałe h, k dobieramy tak, aby po podstawieniu za x, y nowych zmiennych 0x01 graphic
znikały wyrazy wolne w liczniku i mianowniku ułamka będącego argumentem funkcji f.

Ponieważ

0x01 graphic

zatem h, k muszą spełniać układ równań

0x01 graphic

Oczywiście dzięki założeniu 10x01 graphic
istnieją takie stałe h, k.

Ponieważ

0x01 graphic

więc

0x01 graphic

Stąd równanie przyjmuje postać

0x01 graphic

i dzieląc licznik i mianownik ułamka przez 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic
- RJ (typu I).

20x01 graphic
Jeśli 0x01 graphic
, to

0x01 graphic

i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic

Wtedy podstawiamy 0x01 graphic
.

Różniczkując powyższą równość otrzymujemy

0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic
- równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania 0x01 graphic
.

Ponieważ wyznacznik

0x01 graphic

Zatem podstawiając

0x01 graphic

otrzymujemy równanie

0x01 graphic
,

które przekształcone przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Teraz stosując kolejne podstawienie

0x01 graphic

mamy

0x01 graphic
,

skąd

0x01 graphic

i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Przekształcając otrzymujemy

0x01 graphic

0x01 graphic

i po całkowaniu

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

jest rozwiązaniem równania. Ponadto, jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
. W przypadku gdy 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
i równanie 0x01 graphic
nie jest spełnione (bo 0x01 graphic
). Natomiast w przypadku, gdy 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
, stąd 0x01 graphic
i wstawiając te wartości do równania otrzymujemy

0x01 graphic

czyli 0x01 graphic
jest całką równania.

Stąd

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
R

czyli

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
R

jest całką ogólną równania.

Wracając do starych zmiennych otrzymujemy

0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
R.

6



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11Rownania rozniczkowe, 4.Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego, Równanie różniczkowe liniow
11Rownania rozniczkowe, 7.Równanie Lagrange, Równanie Lagrange'a
Równania różniczkowe, RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RZĘDU DRUGIEGO SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIE
Sciaga Rownanie rozniczkowe liniowe pierwszego rzedu
Równanie różniczkowe pierwszego rzędu, Fizyka, Matematyka, Równania różniczkowe
5. rownania rozniczkowe rzedu pierwszego
Matematyka III (Ćw) Lista 03 Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Zada
13 1 Równania różniczkowe rzędu pierwszego
Równania różniczkowe rzędu pierwszego, @@@BUDOWNICTWO@@@, Matematyka
11 Równania różniczkowe rzędu pierwszego
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE RZĘDU I O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
ćw równania różniczkowe II rzedu

więcej podobnych podstron