Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
I Równanie jednorodne
Niech
oraz
.
Równanie różniczkowe
o funkcji niewiadomej
nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.
Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie
.
Wtedy
,
czyli
i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
.
Przykład
Rozwiązać równanie
.
Zapisując równanie w postaci równoważnej
otrzymujemy równanie jednorodne, gdzie
. Zatem jeśli
, czyli
, co zachodzi gdy
stosujemy podstawienie
.
Wtedy
i równanie przyjmuje postać
.
Stąd
,
, gdzie
lub równoważnie
, gdzie
.
Stąd
jest rozwiązaniem dla każdego
.
Jednak przyjmując
w powyższym wzorze otrzymujemy krzywą
(tzn.
), dla której
i krzywa ta spełnia równanie różniczkowe bo
.
Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych
II Równanie
, gdzie
,
oraz f jest ciągła.
Stosujemy podstawienie
.
Wtedy
i korzystając z równania otrzymujemy
czyli
zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.
Przykład
Rozwiązać równanie
.
Stosujemy podstawienie
Wtedy
i równanie przyjmuje postać
Stąd
.
Ponieważ
zatem
jest rozwiązaniem równania.
Ponadto, jeśli
.
Zatem
jest też rozwiązaniem równania.
III Równanie
, gdzie
R oraz f - ciągła.
1
Jeśli
, to podstawiamy
, gdzie h, k - pewne stałe.
Stałe h, k dobieramy tak, aby po podstawieniu za x, y nowych zmiennych
znikały wyrazy wolne w liczniku i mianowniku ułamka będącego argumentem funkcji f.
Ponieważ
zatem h, k muszą spełniać układ równań
Oczywiście dzięki założeniu 1
istnieją takie stałe h, k.
Ponieważ
więc
Stąd równanie przyjmuje postać
i dzieląc licznik i mianownik ułamka przez
otrzymujemy
- RJ (typu I).
2
Jeśli
, to
i równanie przyjmuje postać
Wtedy podstawiamy
.
Różniczkując powyższą równość otrzymujemy
i ostatecznie
- równanie o zmiennych rozdzielonych.
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
.
Ponieważ wyznacznik
Zatem podstawiając
otrzymujemy równanie
,
które przekształcone przyjmuje postać
.
Teraz stosując kolejne podstawienie
mamy
,
skąd
i równanie przyjmuje postać
.
Przekształcając otrzymujemy
i po całkowaniu
dla
czyli
dla
.
Zatem
dla
jest rozwiązaniem równania. Ponadto, jeśli
, to
lub
. W przypadku gdy
mamy
i równanie
nie jest spełnione (bo
). Natomiast w przypadku, gdy
mamy
, stąd
i wstawiając te wartości do równania otrzymujemy
czyli
jest całką równania.
Stąd
dla
R
czyli
dla
R
jest całką ogólną równania.
Wracając do starych zmiennych otrzymujemy
i ostatecznie
, gdzie
R.
6