Równanie Lagrange'a

Niech
- funkcje klasy
.

Równanie

nazywamy równaniem różniczkowym Lagrange'a.

Aby rozwiązać to równanie najpierw różniczkujemy je stronami względem zmiennej x, przy czym podstawiamy

zakładamy, że funkcja
ma funkcję odwrotną o pochodnej
i przekształcamy powyższe równanie

dla

Jest to równanie liniowe rzędu I zmiennej
.

Równanie to ma dodatkowo rozwiązanie osobliwe postaci

,

gdzie k jest pierwiastkiem równania
.

Przykład

Rozwiązać równanie
.

Jest to równanie Lagrange'a, gdzie

,

Różniczkujemy to równanie podstawiając
:

dla

Całka ogólna w postaci parametrycznej

Całka osobliwa

1

25