Różniczkowe równanie ruchu Eulera Aby wyznaczyć równanie obieramy powierzchnie kontrolną S obejmującą V płynu na taką powierzchnie działaja siły zewnętrzne masowe i powierzchniowe z których wyznaczamy równanie. Siły powierzchniowe to siły wywierane z zewnątrz przez płyn otaczający powierzchnie kontrolną S. Siły ściskające: N = −∫∫ pnds n - normalna zewnętrzna siły o zwrocie”+”
S
Siły masowe są to siły równomiernie rozłożone w płynie jednorodnym M = ∫∫∫ ρ GdV G – jednostkowa siła masowa V
Prąd elementarny masowy dm wynosi ρ VdV
Prąd całkowity układu wynosi ∫∫∫ρ VdV
V
Z II zasady dynamiki Netona, która mówi, że pochodna pędu układu względem czasu równa jest wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na układ Fzew=M+N
d
F
ρ VdV
zew =
∫∫∫
dt V
d ∫∫∫ ρ VdV = ∫∫∫ ρ GdV + (−∫∫ pnds ) dt V
V
S
∫∫∫ dV
ρ
dV = ∫∫∫ ρ GdV − ∫∫ pnds dt
V
V
S
Z tw. Gaussa zmieniamy całkę powierzchniową na objętościową
∂ p
∂ p
∂
∫∫∫ n
ρ dS =∫∫∫
p
div( pn) dV =∫∫∫( i
+ j
+ k
) dV = ∫∫∫ gradpdV
∂ x
∂ y
∂ z
V
V
V
V
∫∫∫ dV
ρ
dV −∫∫∫ρ GdV + ∫∫∫ gradpdV = 0
dt
V
V
V
∫∫∫ dV
(ρ
− G
ρ + gradp) dv = 0
dt
V
dV
ρ
− G
ρ + gradp = 0
dt
dV
1
x = G −
gradp
dt
x
ρ
dVy
1
= G − gradp Równanie Eulera w kierunku osi x,y,z dt
y
ρ
dV
1
z = G −
gradp
dt
z
ρ
V
∂
V
∂
V
∂
V
∂
x
x
x
x
G −
gradp =
+
V +
V +
V
x
x
y
z
ρ
t
∂
x
∂
y
∂
z
∂
1
V
∂
V
∂
V
∂
V
∂
y
y
y
y
G −
gradp =
+
V +
V +
V
y
x
y
z
ρ
t
∂
x
∂
y
∂
z
∂
1
V
∂
V
∂
V
∂
V
∂
x
z
z
z
G −
gradp =
+
V +
V +
V
z
x
y
z
ρ
t
∂
x
∂
y
∂
z
∂
Równanie Eulera dla płynu doskonałegow przepływie nieustalonym