MODELOWANIE I SYMULACJA

Wyprowadzanie równań różniczkowych ruchu prostych układów mechanicznych

Zadanie 1.

Wyprowadzić równanie różniczkowe opisujące ruch oscylatora harmonicznego wiedząc, że energia
kinetyczna i potencjalna określone są wzorami

2

2

1

1

,

2

2

E

mv

U

kx





gdzie m i k oznaczają odpowiednio masę oscylatora i współczynnik sprężystości.
Rozwiązać otrzymane równanie dla dowolnych warunków początkowych.

Zadanie 2.

Wyprowadzić równanie różniczkowe opisujące ruch wahadła matematycznego wiedząc, że energia
kinetyczna i potencjalna określone są wzorami

2

2

1

,

cos( )

2

E

ml

U

mgl





 



gdzie m oznacza masę, l – długość wahadła, g – przyspieszenie ziemskie.
Rozwiązać otrzymane równanie dla dowolnych warunków początkowych.

Zadanie 3.

Wyprowadzić równania różniczkowe opisujące ruch wahadła matematycznego zawieszonego na
elastycznej lince wiedząc, że energia kinetyczna i potencjalna określone są wzorami









2

2

2

2

2

1

2

1

2

x

y

E

m v

v

U

k

x

y

l

mgy













gdzie m oznacza masę, l – długość wahadła, g – przyspieszenie ziemskie, k – współczynnik
sprężystości.

Zadanie 4.

Wyprowadzić równania różniczkowe opisujące ruch wahadła matematycznego podwieszonego na
oscylatorze wiedząc, że energia kinetyczna i potencjalna określone są wzorami





2

2

2

2

1 1

2

1

1 2

2

2

2

1

2

2

1

1

2

cos(

)

2

2

1

cos(

)

2

E

m v

m v

v v l

x

l v

U

kx

m gl

x













gdzie m

1

oznacza masę oscylatora, m

2

– masę wahadła, l – długość wahadła, g – przyspieszenie

ziemskie, k – współczynnik sprężystości sprężyny.

Wyznaczyć rozwiązanie układu równania za pomocą komendy dsolve z opcją numeric
przyjmując następujące dane: m

1

= 1, m

2

= 0.1, g = 9.81, l = 0.1, k = 100 i warunki początkowe:

1

1

2

2

(0)

0.5 , (0)

0,

(0)

,

(0)

0.

3

x

l v

x

v













Dokonać animacji ruchu wahadła korzystając z komend

> X:=t->'rhs(roz(t)[2])';Y:=t->'rhs(roz(t)[4])';
> a1:=animate(pointplot,[[X(t),0],symbol=box,symbolsize=30],
t=0..5,frames=200,color=blue,color=red):
> a2:=animate(pointplot,[[X(t)+l*sin(Y(t)),-l*cos(Y(t))],
symbol=circle,symbolsize=30],t=0..5,frames=200,color=blue,
color=red):
> a3:=animate(plot,[[[X(t),0],
[X(t)+l*sin(Y(t)),-l*cos(Y(t))]]],t=0..5,axes=none,
scaling=constrained,thickness=2,frames=200):
> display(a1,a2,a3);