Równania ró niczkowe zwyczajne I
DEFINICJA (równania ró niczkowego zwyczajnego)
Równanie postaci
( )
( n)
1 F( t , y( t ), y (′ t ),. ., y ( t )) = 0 ,
gdzie F oznacza znan funkcj , y jest funkcj szukan , nazywa si RÓWNANIEM
RÓ NICZKOWYM ZWYCZAJNYM. Liczb n ∈ nazywa si RZ DEM
RÓWNANIA (1).
DEFINICJA (rozwi zania równania)
Funkcj y okre lon , n – krotnie ró niczkowaln na pewnym przedziale otwartym i spełniaj c zale no (1) nazywa si ROZWI ZANIEM RÓWNANIA (1) DEFINICJA (C.O.)
Funkcj ϕ zmiennych
n
t ∈ , c ∈
nazywa si ROZWI ZANIEM (CAŁK )
OGÓLNYM RÓWNANIA (1), gdy dla ka dego c funkcja y( t ) = (
ϕ t ,c ) jest rozwi zaniem
równania (1) i ka de rozwi zanie równania (1) jest postaci y( t ) = (
ϕ t ,c ) dla pewnego c.
DEFINICJA (problemu Cauchy’ego)
Równanie ró niczkowe (1) z WARUNKAMI POCZ TKOWYMI
y( t ) = y
0
0
y (′ t ) = y
0
1
( n− )1
y
( t ) = y
0
n 1
−
nazywa si ZAGADNIENIEM POCZ TKOWYM (ZAGADNIENIEM CAUCHY’EGO)
DEFINICJA (rozwi zania zagadnienia Cauchy’ego C.S.)
Funkcj y nazywa si rozwi zaniem zagadnienia pocz tkowego (rozwi zaniem (całk ) szczególnym)
( n)
F( t , y( t ), y (′ t ),. ., y ( t )) = 0
y( t ) = y
0
0
y (′ t ) = y
0
1
( n− )1
y
( t ) = y
0
n 1
−
gdy jest rozwi zaniem równania (1) na pewnym przedziale zawieraj cym t i spełniaj cym 0
warunki pocz tkowe
DEFINICJA (równania o zmiennych rozdzielonych) Równanie ró niczkowe, które mo na zapisa w postaci
(3) p( y( t)) y′( t) = q( t) ,
gdzie p jest okre lona, ci gła i ró na od zera na J ⊂ , q jest okre lona i ci gła na I ⊂ , nazywa si RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
UWAGA
Zagadnienie pocz tkowe
p ( y( t )) y′( t ) = q( t )
y ( t = y , t ∈ I , y ∈ J
0 )
0
0
0
ma dokładnie jedno rozwi zanie.
UWAGA
Równanie
(4) y′ = f ( at + by + c) , a,b,c∈ , b ≠ 0
sprowadza si do równania o zmiennych rozdzielonych przez podstawienie
u( t ) = at + by ( t ) + c
DEFINICJA
Równanie ró niczkowe, które mo na zapisa w postaci
(
y
5) y′ = f
, t ≠ 0
t
nazywa si RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM JEDNORODNYM
UWAGA
Równanie (5) sprowadza si do równania o zmiennych rozdzielonych przez podstawienie
u( t ) y ( t )
=
t
DEFINICJA
Równanie
(6) P ( t, y)+ Q( t, y) y′ = 0 ,
gdzie P, Q s kl. 1
C w pewnym obszarze jednospójnym
2
D ⊂
, Q ( t, y) ≠ 0 , ( t , y)∈ D , jest RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM ZUPEŁNYM, gdy istnieje funkcja F kl. 2
C
w obszarze D taka, e
F
∂ ( t,y) = P( t,y)
t
∂
F
∂ ( t,y) = Q( t,y)
y
∂
WKW na to, aby równanie (6) było zupełne jest zachodzenie równo ci
∂ P
∂ ( ) ∂ Q
∂
t , y =
( t, y) , ( t, y)∈ D
∂ y
∂
∂ t
∂
UWAGA
Funkcja F ( t , y) = c, c ∈ , ( t , y)∈ D okre la wszystkie rozwi zania równania zupełnego (6) DEFINICJA
Mówimy, e funkcja
µ : D ⊃ ( t, y) → µ( t, y)∈
jest czynnikiem całkuj cym równania (6), gdy równanie µ ( t, y) P ( t, y) + µ( t, y) Q ( t, y) y′ = 0 ,
jest równaniem ró niczkowym zupełnym w obszarze D.
UWAGA
(i) Je eli wyra enie
α ( )
1
∂ P
∂
∂ Q
∂
t :=
−
Q ( t , y)
( t, y)
( t, y)
∂ y
∂
∂ t
∂
jest funkcj tylko zmiennej t , to czynnik całkuj cy równanie (6) jest postaci ( )
( t) dt
t
e α
µ
=
(ii) Je eli wyra enie
β( )
1
∂ Q
∂
∂ P
∂
y :=
−
P ( t , y)
( t, y)
( t, y)
∂ t
∂
∂ y
∂
jest funkcj tylko zmiennej y , to czynnik całkuj cy równanie (6) jest postaci ( )
( y) dy
y
e β
µ
=