Równania ró niczkowe zwyczajne I

DEFINICJA (równania ró niczkowego zwyczajnego)

Równanie postaci

( )

( n)

1 F( t , y( t ), y (′ t ),. ., y ( t )) = 0 ,

gdzie F oznacza znan funkcj , y jest funkcj szukan , nazywa si RÓWNANIEM

RÓ NICZKOWYM ZWYCZAJNYM. Liczb n ∈ nazywa si RZ DEM

RÓWNANIA (1).

DEFINICJA (rozwi zania równania)

Funkcj y okre lon , n – krotnie ró niczkowaln na pewnym przedziale otwartym i spełniaj c zale no (1) nazywa si ROZWI ZANIEM RÓWNANIA (1) DEFINICJA (C.O.)

Funkcj ϕ zmiennych

n

t ∈ , c ∈

nazywa si ROZWI ZANIEM (CAŁK )

OGÓLNYM RÓWNANIA (1), gdy dla ka dego c funkcja y( t ) = (

ϕ t ,c ) jest rozwi zaniem

równania (1) i ka de rozwi zanie równania (1) jest postaci y( t ) = (

ϕ t ,c ) dla pewnego c.

DEFINICJA (problemu Cauchy’ego)

Równanie ró niczkowe (1) z WARUNKAMI POCZ TKOWYMI

y( t ) = y

0

0

y (′ t ) = y

0

1

( n− )1

y

( t ) = y

0

n 1

−

nazywa si ZAGADNIENIEM POCZ TKOWYM (ZAGADNIENIEM CAUCHY’EGO)

DEFINICJA (rozwi zania zagadnienia Cauchy’ego C.S.)

Funkcj y nazywa si rozwi zaniem zagadnienia pocz tkowego (rozwi zaniem (całk ) szczególnym)

( n)

F( t , y( t ), y (′ t ),. ., y ( t )) = 0

y( t ) = y

0

0

y (′ t ) = y

0

1

( n− )1

y

( t ) = y

0

n 1

−

gdy jest rozwi zaniem równania (1) na pewnym przedziale zawieraj cym t i spełniaj cym 0

warunki pocz tkowe

DEFINICJA (równania o zmiennych rozdzielonych) Równanie ró niczkowe, które mo na zapisa w postaci

(3) p( y( t)) y′( t) = q( t) ,

gdzie p jest okre lona, ci gła i ró na od zera na J ⊂ , q jest okre lona i ci gła na I ⊂ , nazywa si RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH

UWAGA

Zagadnienie pocz tkowe

p ( y( t )) y′( t ) = q( t )

y ( t = y , t ∈ I , y ∈ J

0 )

0

0

0

ma dokładnie jedno rozwi zanie.

UWAGA

Równanie

(4) y′ = f ( at + by + c) , a,b,c∈ , b ≠ 0

sprowadza si do równania o zmiennych rozdzielonych przez podstawienie

u( t ) = at + by ( t ) + c

DEFINICJA

Równanie ró niczkowe, które mo na zapisa w postaci

(

y

5) y′ = f

, t ≠ 0

t

nazywa si RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM JEDNORODNYM

UWAGA

Równanie (5) sprowadza si do równania o zmiennych rozdzielonych przez podstawienie

u( t ) y ( t )

=

t

DEFINICJA

Równanie

(6) P ( t, y)+ Q( t, y) y′ = 0 ,

gdzie P, Q s kl. 1

C w pewnym obszarze jednospójnym

2

D ⊂

, Q ( t, y) ≠ 0 , ( t , y)∈ D , jest RÓWNANIEM RÓ NICZKOWYM ZUPEŁNYM, gdy istnieje funkcja F kl. 2

C

w obszarze D taka, e

F

∂ ( t,y) = P( t,y)

t

∂

F

∂ ( t,y) = Q( t,y)

y

∂

TWIERDZENIE

WKW na to, aby równanie (6) było zupełne jest zachodzenie równo ci

∂ P

∂ ( ) ∂ Q

∂

t , y =

( t, y) , ( t, y)∈ D

∂ y

∂

∂ t

∂

UWAGA

Funkcja F ( t , y) = c, c ∈ , ( t , y)∈ D okre la wszystkie rozwi zania równania zupełnego (6) DEFINICJA

Mówimy, e funkcja

µ : D ⊃ ( t, y) → µ( t, y)∈

jest czynnikiem całkuj cym równania (6), gdy równanie µ ( t, y) P ( t, y) + µ( t, y) Q ( t, y) y′ = 0 ,

jest równaniem ró niczkowym zupełnym w obszarze D.

UWAGA

(i) Je eli wyra enie

α ( )

1

∂ P

∂

∂ Q

∂

t :=

−

Q ( t , y)

( t, y)

( t, y)

∂ y

∂

∂ t

∂

jest funkcj tylko zmiennej t , to czynnik całkuj cy równanie (6) jest postaci ( )

( t) dt

t

e α

µ

=

(ii) Je eli wyra enie

β( )

1

∂ Q

∂

∂ P

∂

y :=

−

P ( t , y)

( t, y)

( t, y)

∂ t

∂

∂ y

∂

jest funkcj tylko zmiennej y , to czynnik całkuj cy równanie (6) jest postaci ( )

( y) dy

y

e β

µ

=