Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Niech
,

, gdzie (a,b),(c,d) - są to skończone lub nieskończone przedziały,

,

Równanie różniczkowe

o funkcji niewiadomej
nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Równanie to można zapisać równoważnie:

.

Stwierdzenie

Niech F - funkcja pierwotna funkcji f w (a,b),

H - funkcja pierwotna funkcji h w (c,d).

Wtedy zbiór rozwiązań równania
jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania

,

gdzie
(C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F, H, y).

Dowód

1 Niech
spełnia równanie
. Zatem

oraz
.

Stąd

czyli

2 Niech
spełnia równanie
.

Ponieważ
oraz


,

zatem albo
w
albo H'<0 w

funkcja H jest więc silnie monotoniczna w przedziale (c,d)


i

Stąd, ponieważ założyliśmy, że

otrzymujemy

,

więc
.

Możemy skorzystać z twierdzenia o pochodnej złożenia:

czyli
spełnia równanie
.

Uwaga

Równanie
zapisujemy w tradycyjny sposób

.

Twierdzenie

Jeśli

to

1 wzór
przedstawia całkę ogólną równania
,

2 przez każdy punkt
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa

równania
.

Przykład

Rozwiązać równanie
.

Rozdzielamy zmienne
i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy równanie).

Stąd

, gdzie
,

i otrzymujemy rozwiązanie

, dla
.

Gdy
; równanie jest spełnione,

czyli
jest krzywą całkową równania.

Zatem rodzina

jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania.

Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

I Równanie jednorodne

Niech
oraz
.

Równanie różniczkowe

o funkcji niewiadomej
nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie

.

Wtedy
,

czyli

i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

.

Przykład

Rozwiązać równanie
.

Zapisując równanie w postaci równoważnej
otrzymujemy równanie jednorodne, gdzie
. Zatem jeśli
, czyli
, co zachodzi gdy
stosujemy podstawienie

.

Wtedy
i równanie przyjmuje postać

.

Stąd

,

, gdzie

lub równoważnie

, gdzie

.

Stąd
jest rozwiązaniem dla każdego
.

Jednak przyjmując
w powyższym wzorze otrzymujemy krzywą
(tzn.
), dla której
i krzywa ta spełnia równanie różniczkowe bo
.

Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych

II. Równanie
, gdzie
,
oraz f jest ciągła.

Stosujemy podstawienie
.

Wtedy

i korzystając z równania otrzymujemy

czyli

zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Rozwiązać równanie
.

Stosujemy podstawienie

Wtedy
i równanie przyjmuje postać

Stąd

.

Ponieważ

zatem

jest rozwiązaniem równania.

Ponadto, jeśli
.

Zatem

jest też rozwiązaniem równania.

III. Równanie

, gdzie
R oraz f - ciągła.

1
Jeśli
to podstawiamy

, gdzie h, k - pewne stałe.

Stałe h, k dobieramy tak, aby po podstawieniu za x, y nowych zmiennych
znikały wyrazy wolne w liczniku i mianowniku ułamka będącego argumentem funkcji f.

Ponieważ

zatem h, k muszą spełniać układ równań

Oczywiście dzięki założeniu 1
istnieją takie stałe h, k.

Ponieważ

więc

Stąd równanie przyjmuje postać

i dzieląc licznik i mianownik ułamka przez
otrzymujemy

- RJ (typu I).

2
Jeśli
, to

i równanie przyjmuje postać

Wtedy podstawiamy
.

Różniczkując powyższą równość otrzymujemy

i ostatecznie

- równanie o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania
.

Ponieważ wyznacznik

Zatem podstawiając

otrzymujemy równanie

,

które przekształcone przyjmuje postać

.

Teraz stosując kolejne podstawienie

mamy

,

skąd

i równanie przyjmuje postać

.

Przekształcając otrzymujemy

i po całkowaniu otrzymujemy

dla

czyli

dla
.

Zatem

dla

jest rozwiązaniem równania. Ponadto, jeśli
, to
lub
. W przypadku gdy
mamy
i równanie
nie jest spełnione (bo
). Natomiast w przypadku, gdy
mamy
, stąd
i wstawiając te wartości do równania otrzymujemy

czyli
jest całką równania.

Stąd

dla
R

czyli

dla
R

jest całką ogólną równania.

Wracając do starych zmiennych otrzymujemy

i ostatecznie

, gdzie
R.

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.

Definicja

Równanie

, gdzie

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. Równanie to nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ jeśli
, natomiast nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN, jeśli
.

Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:

RJ

1) funkcja
jest rozwiązaniem RJ

2) jeśli
, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

rozdzielając zmienne

całkując

, gdzie

i przekształcając otrzymujemy kolejno

i ostatecznie

, gdzie
.

Jednakże jeśli
, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie
.

Zatem całką ogólną równania jednorodnego (CORJ) jest rodzina

dla
R.

Twierdzenie

Jeśli
, to
jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

Uwaga

Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ.

Aby wyznaczyć CORN (całkę ogólną równania niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod.

CORJ
CORN

I. Metoda uzmienniania stałej:

Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby

było CORN. Wtedy

stąd

zatem

Twierdzenie

Jeśli
, to

jest całką ogólną równania niejednorodnego, ponadto przez każdy punkt obszaru
R
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania:
.

Nie jest to równanie liniowe funkcji
, ale jest równaniem liniowym funkcji odwrotnej
. Zatem w przedziale w którym
mamy

RN

Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego:

RJ

przekształcamy

stąd

dla

czyli

dla

i ostatecznie

dla

Jeśli
, to
i
spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:

dla
R.

Uzmienniamy stałą

różniczkujemy

i podstawiając do RN otrzymujemy

czyli

.

Stąd

Ostatecznie

- CORN

jest również całką ogólną równania wyjściowego.

Twierdzenie

Niech
- CORJ

- CSRN (całka szczególna równania niejednorodnego)

Wtedy

- CORN

Dowód (szkic):

stąd widać, że

- rozwiązanie RN

II. Metoda przewidywań

Polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy CORN=CSRN+CORJ, na podstawie powyższego twierdzenia. Metodę stosujemy gdy

lub jest sumą lub iloczynem tych funkcji

Wtedy

CSRN - jest tej samej postaci co funkcja f i zachowuje odpowiednio

i przyjmuje pozostałe współczynniki stałe, które wyznaczymy z RN.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną (CSR) równania
(RN),

spełniającą następujący warunek
.

Szukamy rozwiązania równania jednorodnego

(RJ)

Stąd

dla

dla

i ostatecznie

Ponadto, jeśli

Zatem

- CORJ

Zastosujmy metodę przewidywań

Niech

- CSRN.

wtedy

Podstawiając do RN otrzymujemy

Stąd

- CSRN.

Ostatecznie

- CORN.

Teraz z rodziny CORN wybieramy tę, dla której
. Wtedy

Zatem

- CSRN spełniająca warunek początkowy
.

Twierdzenie

Niech
- całka szczególna równania
,

- całka szczególna równania

Wtedy

jest całką szczególną równania
.

Twierdzenie to wykorzystujemy do obliczenia całek RN w przypadku, gdy funkcja f jest kombinacją liniową wcześniej wymienionych trzech typowych funkcji.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania
(RN)

spełniającą warunek początkowy
.

Rozwiązaniem równania jednorodnego

RJ

jest

CORJ.

Wyznaczmy CS dwóch równań niejednorodnych

i

stosując metodę przewidywań.

Niech

Wtedy

i wstawiając do
otrzymujemy

stąd

Zatem

Niech

wtedy kolejno

Zatem

.

Stąd otrzymujemy

- CORN

czyli

- CORN

Uwzględniając warunek początkowy

otrzymujemy

i stąd

jest CSRN spełniającą warunek początkowy
.

Równanie różniczkowe Bernoulliego.

Definicja

Niech

.

Wtedy równanie
nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego.

Jeśli
to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RN

Jeśli
to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RJ

Jeśli
, to stosujemy podstawienie
, gdzie zakładamy, że

wtedy

.

i uwzględniając podstawienie mamy

- RN funkcji z zależnej od zmiennej x.

13