Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Niech
,
, gdzie (a,b),(c,d) - są to skończone lub nieskończone przedziały,
,
Równanie różniczkowe
o funkcji niewiadomej
nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.
Równanie to można zapisać równoważnie:
.
Stwierdzenie
Niech F - funkcja pierwotna funkcji f w (a,b),
H - funkcja pierwotna funkcji h w (c,d).
Wtedy zbiór rozwiązań równania
jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania
,
gdzie
(C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F, H, y).
Dowód
1 Niech
spełnia równanie
. Zatem
oraz
.
Stąd
czyli
2 Niech
spełnia równanie
.
Ponieważ
oraz
,
zatem albo
w
albo H'<0 w
funkcja H jest więc silnie monotoniczna w przedziale (c,d)
i
Stąd, ponieważ założyliśmy, że
otrzymujemy
,
więc
.
Możemy skorzystać z twierdzenia o pochodnej złożenia:
czyli
spełnia równanie
.
Uwaga
Równanie
zapisujemy w tradycyjny sposób
.
Twierdzenie
Jeśli
to
1 wzór
przedstawia całkę ogólną równania
,
2 przez każdy punkt
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa
równania
.
Przykład
Rozwiązać równanie
.
Rozdzielamy zmienne
i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy równanie).
Stąd
, gdzie
,
i otrzymujemy rozwiązanie
, dla
.
Gdy
; równanie jest spełnione,
czyli
jest krzywą całkową równania.
Zatem rodzina
jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania.
Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
I Równanie jednorodne
Niech
oraz
.
Równanie różniczkowe
o funkcji niewiadomej
nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.
Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie
.
Wtedy
,
czyli
i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
.
Przykład
Rozwiązać równanie
.
Zapisując równanie w postaci równoważnej
otrzymujemy równanie jednorodne, gdzie
. Zatem jeśli
, czyli
, co zachodzi gdy
stosujemy podstawienie
.
Wtedy
i równanie przyjmuje postać
.
Stąd
,
, gdzie
lub równoważnie
, gdzie
.
Stąd
jest rozwiązaniem dla każdego
.
Jednak przyjmując
w powyższym wzorze otrzymujemy krzywą
(tzn.
), dla której
i krzywa ta spełnia równanie różniczkowe bo
.
Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych
II. Równanie
, gdzie
,
oraz f jest ciągła.
Stosujemy podstawienie
.
Wtedy
i korzystając z równania otrzymujemy
czyli
zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.
Przykład
Rozwiązać równanie
.
Stosujemy podstawienie
Wtedy
i równanie przyjmuje postać
Stąd
.
Ponieważ
zatem
jest rozwiązaniem równania.
Ponadto, jeśli
.
Zatem
jest też rozwiązaniem równania.
III. Równanie
, gdzie
R oraz f - ciągła.
1
Jeśli
to podstawiamy
, gdzie h, k - pewne stałe.
Stałe h, k dobieramy tak, aby po podstawieniu za x, y nowych zmiennych
znikały wyrazy wolne w liczniku i mianowniku ułamka będącego argumentem funkcji f.
Ponieważ
zatem h, k muszą spełniać układ równań
Oczywiście dzięki założeniu 1
istnieją takie stałe h, k.
Ponieważ
więc
Stąd równanie przyjmuje postać
i dzieląc licznik i mianownik ułamka przez
otrzymujemy
- RJ (typu I).
2
Jeśli
, to
i równanie przyjmuje postać
Wtedy podstawiamy
.
Różniczkując powyższą równość otrzymujemy
i ostatecznie
- równanie o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania
.
Ponieważ wyznacznik
Zatem podstawiając
otrzymujemy równanie
,
które przekształcone przyjmuje postać
.
Teraz stosując kolejne podstawienie
mamy
,
skąd
i równanie przyjmuje postać
.
Przekształcając otrzymujemy
i po całkowaniu otrzymujemy
dla
czyli
dla
.
Zatem
dla
jest rozwiązaniem równania. Ponadto, jeśli
, to
lub
. W przypadku gdy
mamy
i równanie
nie jest spełnione (bo
). Natomiast w przypadku, gdy
mamy
, stąd
i wstawiając te wartości do równania otrzymujemy
czyli
jest całką równania.
Stąd
dla
R
czyli
dla
R
jest całką ogólną równania.
Wracając do starych zmiennych otrzymujemy
i ostatecznie
, gdzie
R.
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.
Definicja
Równanie
, gdzie
nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. Równanie to nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ jeśli
, natomiast nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN, jeśli
.
Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:
RJ
1) funkcja
jest rozwiązaniem RJ
2) jeśli
, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
rozdzielając zmienne
całkując
, gdzie
i przekształcając otrzymujemy kolejno
i ostatecznie
, gdzie
.
Jednakże jeśli
, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie
.
Zatem całką ogólną równania jednorodnego (CORJ) jest rodzina
dla
R.
Twierdzenie
Jeśli
, to
jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.
Uwaga
Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ.
Aby wyznaczyć CORN (całkę ogólną równania niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod.
CORJ
CORN
I. Metoda uzmienniania stałej:
Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby
było CORN. Wtedy
stąd
zatem
Twierdzenie
Jeśli
, to
jest całką ogólną równania niejednorodnego, ponadto przez każdy punkt obszaru
R
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.
Przykład
Znaleźć całkę ogólną równania:
.
Nie jest to równanie liniowe funkcji
, ale jest równaniem liniowym funkcji odwrotnej
. Zatem w przedziale w którym
mamy
RN
Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego:
RJ
przekształcamy
stąd
dla
czyli
dla
i ostatecznie
dla
Jeśli
, to
i
spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:
dla
R.
Uzmienniamy stałą
różniczkujemy
i podstawiając do RN otrzymujemy
czyli
.
Stąd
Ostatecznie
- CORN
jest również całką ogólną równania wyjściowego.
Twierdzenie
Niech
- CORJ
- CSRN (całka szczególna równania niejednorodnego)
Wtedy
- CORN
Dowód (szkic):
stąd widać, że
- rozwiązanie RN
II. Metoda przewidywań
Polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy CORN=CSRN+CORJ, na podstawie powyższego twierdzenia. Metodę stosujemy gdy
lub jest sumą lub iloczynem tych funkcji
Wtedy
CSRN - jest tej samej postaci co funkcja f i zachowuje odpowiednio
i przyjmuje pozostałe współczynniki stałe, które wyznaczymy z RN.
Przykład
Znaleźć całkę szczególną (CSR) równania
(RN),
spełniającą następujący warunek
.
Szukamy rozwiązania równania jednorodnego
(RJ)
Stąd
dla
dla
i ostatecznie
Ponadto, jeśli
Zatem
- CORJ
Zastosujmy metodę przewidywań
Niech
- CSRN.
wtedy
Podstawiając do RN otrzymujemy
Stąd
- CSRN.
Ostatecznie
- CORN.
Teraz z rodziny CORN wybieramy tę, dla której
. Wtedy
Zatem
- CSRN spełniająca warunek początkowy
.
Twierdzenie
Niech
- całka szczególna równania
,
- całka szczególna równania
Wtedy
jest całką szczególną równania
.
Twierdzenie to wykorzystujemy do obliczenia całek RN w przypadku, gdy funkcja f jest kombinacją liniową wcześniej wymienionych trzech typowych funkcji.
Przykład
Znaleźć całkę szczególną równania
(RN)
spełniającą warunek początkowy
.
Rozwiązaniem równania jednorodnego
RJ
jest
CORJ.
Wyznaczmy CS dwóch równań niejednorodnych
i
stosując metodę przewidywań.
Niech
Wtedy
i wstawiając do
otrzymujemy
stąd
Zatem
Niech
wtedy kolejno
Zatem
.
Stąd otrzymujemy
- CORN
czyli
- CORN
Uwzględniając warunek początkowy
otrzymujemy
i stąd
jest CSRN spełniającą warunek początkowy
.
Równanie różniczkowe Bernoulliego.
Definicja
Niech
.
Wtedy równanie
nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego.
Jeśli
to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RN
Jeśli
to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RJ
Jeśli
, to stosujemy podstawienie
, gdzie zakładamy, że
wtedy
.
i uwzględniając podstawienie mamy
- RN funkcji z zależnej od zmiennej x.
13