Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych


Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Niech 0x01 graphic
,

0x01 graphic
, gdzie (a,b),(c,d) - są to skończone lub nieskończone przedziały,

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
,


Równanie różniczkowe

0x01 graphic

o funkcji niewiadomej 0x01 graphic
nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Równanie to można zapisać równoważnie:

0x01 graphic
.

Stwierdzenie

Niech F - funkcja pierwotna funkcji f w (a,b),

H - funkcja pierwotna funkcji h w (c,d).

Wtedy zbiór rozwiązań równania 0x01 graphic
jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
(C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F, H, y).

Dowód

1 Niech 0x01 graphic
spełnia równanie 0x01 graphic
. Zatem

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Stąd

0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

2 Niech 0x01 graphic
spełnia równanie 0x01 graphic
.

Ponieważ0x01 graphic
oraz0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
,

zatem albo 0x01 graphic
w 0x01 graphic
albo H'<0 w 0x01 graphic
0x01 graphic
funkcja H jest więc silnie monotoniczna w przedziale (c,d) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
i 0x01 graphic

Stąd, ponieważ założyliśmy, że

0x01 graphic

otrzymujemy

0x01 graphic
,

więc 0x01 graphic
.

Możemy skorzystać z twierdzenia o pochodnej złożenia:

0x01 graphic

0x08 graphic
czyli0x01 graphic
spełnia równanie 0x01 graphic
.

Uwaga

Równanie 0x01 graphic
zapisujemy w tradycyjny sposób

0x01 graphic
.

Twierdzenie

Jeśli 0x01 graphic

0x01 graphic

to

1 wzór 0x01 graphic
przedstawia całkę ogólną równania 0x01 graphic
,

2 przez każdy punkt 0x01 graphic
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa

równania 0x01 graphic
.

Przykład

Rozwiązać równanie 0x01 graphic
.

Rozdzielamy zmienne 0x01 graphic
i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy równanie).

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
,

i otrzymujemy rozwiązanie

0x01 graphic
, dla 0x01 graphic
.

Gdy 0x01 graphic
; równanie jest spełnione,

czyli 0x01 graphic
jest krzywą całkową równania.

Zatem rodzina

0x01 graphic

jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania.

Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych

I Równanie jednorodne

Niech 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Równanie różniczkowe

0x01 graphic

o funkcji niewiadomej 0x01 graphic
nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.

Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie

0x01 graphic
.

Wtedy 0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

0x01 graphic
.

Przykład

Rozwiązać równanie 0x01 graphic
.

Zapisując równanie w postaci równoważnej 0x01 graphic
otrzymujemy równanie jednorodne, gdzie 0x01 graphic
. Zatem jeśli 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
, co zachodzi gdy 0x01 graphic
stosujemy podstawienie

0x01 graphic
.

Wtedy 0x01 graphic
i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Stąd

0x01 graphic
,

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic

lub równoważnie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Stąd 0x01 graphic
jest rozwiązaniem dla każdego 0x01 graphic
.

Jednak przyjmując 0x01 graphic
w powyższym wzorze otrzymujemy krzywą 0x01 graphic
(tzn. 0x01 graphic
), dla której 0x01 graphic
i krzywa ta spełnia równanie różniczkowe bo 0x01 graphic
.

Zatem rozwiązaniem ogólnym jest rodzina krzywych 0x01 graphic

II. Równanie 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz f jest ciągła.

Stosujemy podstawienie 0x01 graphic
.

Wtedy

0x01 graphic

i korzystając z równania otrzymujemy

0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

zatem otrzymaliśmy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Przykład

Rozwiązać równanie 0x01 graphic
.

Stosujemy podstawienie

0x01 graphic

Wtedy 0x01 graphic
i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic
.

Ponieważ

0x01 graphic

zatem

0x01 graphic
jest rozwiązaniem równania.

Ponadto, jeśli 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
jest też rozwiązaniem równania.

III. Równanie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
R oraz f - ciągła.

10x01 graphic
Jeśli 0x01 graphic
to podstawiamy

0x01 graphic
, gdzie h, k - pewne stałe.

Stałe h, k dobieramy tak, aby po podstawieniu za x, y nowych zmiennych 0x01 graphic
znikały wyrazy wolne w liczniku i mianowniku ułamka będącego argumentem funkcji f.

Ponieważ

0x01 graphic

zatem h, k muszą spełniać układ równań

0x01 graphic

Oczywiście dzięki założeniu 10x01 graphic
istnieją takie stałe h, k.

Ponieważ

0x01 graphic

więc

0x01 graphic

Stąd równanie przyjmuje postać

0x01 graphic

i dzieląc licznik i mianownik ułamka przez 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic
- RJ (typu I).

20x01 graphic
Jeśli 0x01 graphic
, to

0x01 graphic

i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic

Wtedy podstawiamy 0x01 graphic
.

Różniczkując powyższą równość otrzymujemy

0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic
- równanie o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania 0x01 graphic
.

Ponieważ wyznacznik

0x01 graphic

Zatem podstawiając

0x01 graphic

otrzymujemy równanie

0x01 graphic
,

które przekształcone przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Teraz stosując kolejne podstawienie

0x01 graphic

mamy

0x01 graphic
,

skąd

0x01 graphic

i równanie przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Przekształcając otrzymujemy

0x01 graphic

0x01 graphic

i po całkowaniu otrzymujemy

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

jest rozwiązaniem równania. Ponadto, jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
. W przypadku gdy 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
i równanie 0x01 graphic
nie jest spełnione (bo 0x01 graphic
). Natomiast w przypadku, gdy 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
, stąd 0x01 graphic
i wstawiając te wartości do równania otrzymujemy

0x01 graphic

czyli 0x01 graphic
jest całką równania.

Stąd

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
R

czyli

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
R

jest całką ogólną równania.

Wracając do starych zmiennych otrzymujemy

0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
R.

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego.

Definicja

Równanie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego. Równanie to nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ jeśli0x01 graphic
, natomiast nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN, jeśli 0x01 graphic
.

Aby wyznaczyć rozwiązanie RN szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:

0x01 graphic
RJ

1) funkcja 0x01 graphic
jest rozwiązaniem RJ

2) jeśli 0x01 graphic
, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych

0x01 graphic

rozdzielając zmienne

0x01 graphic

całkując

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

i przekształcając otrzymujemy kolejno

0x01 graphic

0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Jednakże jeśli 0x01 graphic
, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie 0x01 graphic
.

Zatem całką ogólną równania jednorodnego (CORJ) jest rodzina

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
R.

Twierdzenie

Jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
jest całką ogólną RJ, ponadto przez każdy punkt obszaru 0x01 graphic
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania.

Uwaga

Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ.

Aby wyznaczyć CORN (całkę ogólną równania niejednorodnego) stosujemy jedną z dwóch metod.

CORJ0x01 graphic
CORN

I. Metoda uzmienniania stałej:

Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby

0x01 graphic

było CORN. Wtedy

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

0x01 graphic

zatem

0x01 graphic

0x01 graphic

Twierdzenie

Jeśli 0x01 graphic
, to

0x01 graphic

jest całką ogólną równania niejednorodnego, ponadto przez każdy punkt obszaru 0x01 graphic
R0x01 graphic
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa.

Przykład

Znaleźć całkę ogólną równania: 0x01 graphic
.

Nie jest to równanie liniowe funkcji 0x01 graphic
, ale jest równaniem liniowym funkcji odwrotnej 0x01 graphic
. Zatem w przedziale w którym 0x01 graphic
mamy

0x01 graphic
RN

Szukamy najpierw rozwiązań równania jednorodnego:

0x01 graphic
RJ

przekształcamy

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

Jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
i 0x01 graphic
spełnia RJ. Stąd otrzymujemy CORJ:

0x01 graphic
dla 0x01 graphic
R.

Uzmienniamy stałą

0x01 graphic

różniczkujemy

0x01 graphic

i podstawiając do RN otrzymujemy

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic
.

Stąd

0x01 graphic

Ostatecznie

0x01 graphic
- CORN

jest również całką ogólną równania wyjściowego.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
- CORJ

0x01 graphic
- CSRN (całka szczególna równania niejednorodnego)

Wtedy

0x01 graphic
- CORN

Dowód (szkic):

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

stąd widać, że

0x01 graphic
- rozwiązanie RN

0x08 graphic
0x01 graphic

II. Metoda przewidywań

Polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy CORN=CSRN+CORJ, na podstawie powyższego twierdzenia. Metodę stosujemy gdy

0x01 graphic

lub jest sumą lub iloczynem tych funkcji

Wtedy

CSRN - jest tej samej postaci co funkcja f i zachowuje odpowiednio

0x01 graphic

i przyjmuje pozostałe współczynniki stałe, które wyznaczymy z RN.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną (CSR) równania 0x01 graphic
(RN),

spełniającą następujący warunek 0x01 graphic
.

Szukamy rozwiązania równania jednorodnego

0x01 graphic
(RJ)

Stąd

0x01 graphic

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

0x01 graphic
dla 0x01 graphic

i ostatecznie

0x01 graphic

Ponadto, jeśli 0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic
- CORJ

Zastosujmy metodę przewidywań

Niech

0x01 graphic
- CSRN.

wtedy 0x01 graphic

0x01 graphic

Podstawiając do RN otrzymujemy

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic
- CSRN.

Ostatecznie

0x01 graphic
- CORN.

Teraz z rodziny CORN wybieramy tę, dla której 0x01 graphic
. Wtedy

0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic
- CSRN spełniająca warunek początkowy 0x01 graphic
.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
- całka szczególna równania 0x01 graphic
,

0x01 graphic
- całka szczególna równania 0x01 graphic

Wtedy

0x01 graphic
jest całką szczególną równania 0x01 graphic
.

Twierdzenie to wykorzystujemy do obliczenia całek RN w przypadku, gdy funkcja f jest kombinacją liniową wcześniej wymienionych trzech typowych funkcji.

Przykład

Znaleźć całkę szczególną równania 0x01 graphic
(RN)

spełniającą warunek początkowy 0x01 graphic
.

Rozwiązaniem równania jednorodnego

0x01 graphic
RJ

jest

0x01 graphic
CORJ.

Wyznaczmy CS dwóch równań niejednorodnych

0x01 graphic
0x01 graphic
i 0x01 graphic
0x01 graphic

stosując metodę przewidywań.

Niech 0x01 graphic
0x01 graphic

Wtedy 0x01 graphic

i wstawiając do 0x01 graphic
otrzymujemy

0x01 graphic

stąd

0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic
0x01 graphic

Niech 0x01 graphic
0x01 graphic

wtedy kolejno

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Zatem

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Stąd otrzymujemy

0x01 graphic
- CORN

czyli

0x01 graphic
- CORN

Uwzględniając warunek początkowy

0x01 graphic

otrzymujemy

0x01 graphic

i stąd

0x01 graphic

jest CSRN spełniającą warunek początkowy 0x01 graphic
.

Równanie różniczkowe Bernoulliego.

Definicja

Niech 0x01 graphic

0x01 graphic
.

Wtedy równanie 0x01 graphic
nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego.

Jeśli 0x01 graphic
to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RN

Jeśli 0x01 graphic
to równanie różniczkowe Bernoulliego jest RJ

Jeśli 0x01 graphic
, to stosujemy podstawienie 0x01 graphic
, gdzie zakładamy, że 0x01 graphic

wtedy

0x01 graphic
.

0x01 graphic

i uwzględniając podstawienie mamy

0x01 graphic
- RN funkcji z zależnej od zmiennej x.

13

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11Rownania rozniczkowe, 3.Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzone do równań różniczkowych
równania różniczkowe o zmiennych rozdzielnych
sciaga rownanie rozniczkowe o zmiennych rozdzielonych, AGH, I & II, Matematyka, Teoria
Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, Matma, Równania różniczkowe
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
RÓWNANIA RÓZNICZKOWE o zmiennych rozdzielonych
RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE RZĘDU I O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
Podstawy rownan rozniczkowych rownanie o zmiennych rozdzielonych rownanie zupelne
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
02 Rozdział 01 Wiadomości wstępne o równaniach różniczkowych
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
02 Rozdział 01 Wiadomości wstępne o równaniach różniczkowych
04 Rozdział 03 Efektywne rozwiązywanie pewnych typów równań różniczkowych
2 Dyskretne układy regulacji, rozdział 3 i 4 Funkcje dyskretne Równania różnicowe
Niejednorodne liniowe rownania rozniczkowe
Bołt W Równania Różniczkowe
raport3 Równania różniczkowe zwyczajne

więcej podobnych podstron