równania różniczkowe o zmiennych rozdzielnych

XIII . Równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

Def.XIII..1.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywany równanie



Rozwiązaniem równania   nazywamy funkcję taką , że spełnia równanie (13.1) tzn :

              a)

b)

Z punktu widzenia analizy matematycznej można zadać następujące pytania :

(i)            czy istnieje przynajmniej jedno rozwiązanie ? Przy jakich założeniach o i funkcji ?

(ii)          ile istnieje takich różnych rozwiązań ?

(iii)         czy zagadnienie to i jego rozwiązania można przedłużyć poza zbiór ?

My w dalszych rozważaniach ograniczymy się tylko do odpowiedzi na pierwsze pytanie , a dokładniej do konstrukcji rozwiązań pewnych typów równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu . Już sama konstrukcja tych rozwiązań rodzi szereg problemów i wymaga pewnej wiedzy matematycznej . Rozwiązywaniem dalszych problemów nie będziemy się zajmować . Zainteresowanych odsyłam do dowolnych podręczników dotyczących równań różniczkowych .

Równania różniczkowe , w szczególności zwyczajne maja olbrzymie znaczenie przy opisywaniu otaczającej nas rzeczywistości . Wszyscy wiemy , że pochodna oznacza w sensie fizycznym prędkość a zmianie położenia w czasie . Nietrudno sobie więc wyobrazić , że równanie może opisywać pewne prawo fizyczne w którym np. oznacza ciśnienie ropy w rurociągu na -tym kilometrze , a prędkość zmiany tego ciśnienia .Użytkownika rurociągu będą interesowały wartości extremalne ciśnienia .Umożliwi mu to takie skonstruowanie takiego rurociągu (przy zminimalizowaniu ceny pracy i materiałów ), by nie nastąpiła implozja i eksplozja rurociągu podczas jego eksploatacji . Jak niebawem zobaczymy , rozwiązania równań różniczkowych będą często podawane w tzw. postaci uwikłanej , czyli niejawnej . Mimo to matematycy i z tym problemem sobie poradzili . W dalszej części wykładu poznamy jak szukać extremów funkcji uwikłanych (podanych w postaci niejawnej ) . Po drodze pojawią się także inne problemy , które będą wymagały poznania przez nas kolejnych działów matematyki . Dla naszych potrzeb poznamy tylko konieczne elementy tych działów wiedzy matematycznej . Żartem mówiąc ropa w rurze uświadomi nam jak wiele wiedzy matematycznej trzeba posiąść, by wiedzieć z czego tę rurę należy zrobić.

Poniższe twierdzenia podamy bez dowodów

Tw.XIII.1. [Peano]

(1) (2)

(4) ciągła

(3)

(5)

Wówczas układ równań

{

posiada co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze

gdzie .

Układ równań (13.2) z powyższego twierdzenia nazywamy zagadnieniem rozwiązania równania różniczkowego z warunkiem początkowym .

Równanie

jest szczególnym przypadkiem równania

a konkretnie

Ponieważ w naszych dalszych rozwiązaniach będziemy używać funkcji praktycznie wszędzie ciągłych , założenie Twierdzenia Peano będą z „natury” spełnione . Problem istnienia rozwiązania układów typu (13.2) automatycznie będzie rozwiązany . Pozostanie dla nas praktyczny problem : jak one wyglądają ?! I temu zagadnieniu będzie poświęcona dalsza część wykładu .

XIV. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielnych

Omówimy teraz kategorię równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu nazywaną równaniami różniczkowymi o zmiennych rozdzielnych . Nazwa ta pochodzi od techniki rozwiązywania tego typu równań .

Def . XIV.1.

Równanie nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych wtedy i tylko wtedy , gdy jest ono równoważne (po elementarnych przekształceniach) równania typu ;

   (14.1)

gdzie p ,q są funkcjami jednej zmiennej .

Konstrukcja XIV.1

Skonstruujemy teraz rozwiązanie równań (14.1 ) . Równanie to jest równoważne następującemu równaniu ;



i dalej

                                        .

Całkując teraz obie strony otrzymamy równanie ;

(14.2)                                 .

Równanie (14.2) jest już rozwiązaniem wyjściowego równania (występującego często w tzw. postaci uwikłanej ).

Przykład XIV .1.

Rozważmy równanie

(14.3) .

Po elementarnym przekształceniu otrzymamy :

Całkując stronami otrzymujemy ;

(14.4) .

Policzmy lewą całkę . Zastosujemy podstawienie . Wówczas i otrzymujemy .

Licząc prawa całkę zastosujemy podobne podstawienie . Wówczas oraz

Ostateczne równanie (14.4) przyjmuje postać

gdzie .

A więc rozwiązaniem równania (14.3) jest funkcja spełniająca równanie uwikłane

Często trudno zauważyć wprost , że równanie różniczkowe jest równaniem o zmiennych rozdzielonych . Ale jeśli umiejętnie zastosuje się właściwe podstawienie , okazuje się , że otrzymujemy równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych . My zaprezentujemy tylko dwa typy najbardziej standardowych podstawień ;

a) podstawienie liniowe ,

b) podstawienie jednorodne .

Omówimy najpierw podstawienie liniowe .

Konstrukcja XIV.2

Podstawienie liniowe stosujemy wówczas , gdy równanie daje się sprowadzić do postaci

(14.5)

gdzie   , .

Wówczas stosujemy podstawienie liniowe

.

Różniczkując stronami otrzymamy :

i w efekcie wyliczymy ;

   .

Podstawiając powyższe do równania (14.5) otrzymamy ;

i po przekształceniu ;

                                             o ile

lub

                                                          gdy               .

W obu przypadkach otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych .