1

Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.3

dr Jolanta Dymkowska

Równania zupełne

Załóżmy, że funkcje P (x, y) i Q(x, y) mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w

obszarze D ⊂ R

2

(o zbiorze D zakładamy, że jest otwarty i jednospójny). Równanie różniczkowe

pierwszego rzędu postaci:

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym, jeżeli spełniony jest warunek:

∀

(x,y)∈D

P

y

(x, y) = Q

x

(x, y).

Ponadto jeżeli spełniony jest powyższy warunek, to istnieje funkcja F = F (x, y) (określona w

obszarze D i posiadająca w tym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego) taka, że

∀

(x,y)∈D

P (x, y) = F

x

(x, y),

Q(x, y) = F

y

(x, y).

Tym samym wyrażenie P (x, y) dx + Q(x, y) dy = dF (x, y) jest różniczką zupełną funkcji F (x, y) ,
a równanie zupełne przyjmuje postać:

dF (x, y) = 0.

Całką ogólną takiego równania jest funkcja uwikłana (o ile istnieje) y = y(x) określona rónaniem:

F (x, y) = C,

gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.

Rozwiązanie równania zupełnego polega więc na znalezieniu funkcji

F (x, y)

takiej, że

F

x

(x, y) = P (x, y) i F

y

(x, y) = Q(x, y) .

Przykład

Wyznaczyć całkę ogólną równania:

( y e

−x

+ e

x

)dx − e

−x

dy = 0.

Rozwiązanie:
Na poczatek sprawdzamy, czy jest to równanie zupełne:

P (x, y) = y e

−x

+ e

x

P

y

(x, y) = e

−x

Q(x, y) = − e

−x

Q

x

(x, y) = e

−x

Zatem P

y

(x, y) = Q

x

(x, y) , a tym samym równanie jest równaniem zupełnym.

W celu rozwiązania równania szukamy funkcji

F (x, y)

takiej, że

F

x

(x, y)

=

P (x, y)

i

F

y

(x, y) = Q(x, y) , czyli:

F

x

(x, y) = y e

−x

+ e

x

F

y

(x, y) = − e

−x

Skoro

F

x

(x, y) = y e

−x

+ e

x

,

2

to całkując powyższą równość względem zmiennej x otrzymujemy

F (x, y) = −y e

−x

+ e

x

+ C(y),

gdzie C(y) jest nieznaną funkcją zmiennej y (mówimy: stałą zależną od y ). Stąd

F

y

(x, y) = − e

−x

+ C

0

(y) = − e

−x

= Q(x, y).

Zatem C

0

(y) = 0 a tym samym C(y) = C , gdzie C jest stałą rzeczywistą.

Całka ogólna naszego równania w postaci uwikłanej dana jest więc równością:

F (x, y) = −y e

−x

+ e

x

+ C = 0.

Stąd

y = e

2x

+ C e

x

.

Ćwiczenia

Wyznaczyć całkę ogólną równania:

1. (3x

2

− 2y) dx + (3y

2

− 2x) dy = 0

2. (x

2

− 4xy − 2y

2

) dx + (y

2

− 4xy − 2x

2

) dy = 0

3. e

y

dx − (2y − xe

y

) dy = 0

4. 2xy dx + (x

2

+ y

2

) dy = 0

5. x ((x

2

+ y

2

) − 4) dx + y ((x

2

+ y

2

) + 4) dy = 0

6. e

x

(1 + e

y

) dx + e

y

(1 + e

x

) dy = 0

7.

2x
y

3

dx +

1

y

2

−

3x

2

y

4

dy = 0

8.

2 −

y

2

x

2

dx +

2y

x

dy = 0

9.

2x(1−e

y

)

(1+x

2

)

2

dx +

e

y

1+x

2

dy = 0

10.

2x
y

3

dx +

y

2

−3x

2

y

4

dy = 0

11. (2x sin y − y

2

sin x) dx + (x

2

cos y + 2y cos x + 1) dy = 0

12. ( e

x+y

+ e

x

) dx + ( e

x+y

+ e

y

) dy = 0

13. ( tg x − sin x sin y ) dx + cos x cos y dy = 0

14. ( ln y − 2x ) dx +

x
y

− 2y

dy = 0

Ćwiczenie

Rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy’ego dla równania zupełnego:

1. (2xy

3

+ 8x) dx + (3x

2

y

2

+ 5) dy = 0,

y(2) = −1

2. (4x

3

+ 6xy

3

) dx + (9x

2

y

2

+ 3) dy = 0,

y(1) = 0