Akademia Górniczo-Hutnicza

WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ I ROBOTYKI

• Ćwiczenie nr 3

Budowa modeli fizycznych i matematycznych dyskretnych układów mechanicznych o wielu stopniach swobody.

Budowa dynamicznych równań ruchu maszyny wibracyjnej posadowionej na elastycznie podpartej masywnej ramie.

Wykonali:

Krystian Szopa

Jerzy Wołoszyn

Paweł Syrek

Ogólna postać równania Lagrange'a II rodzaju:

1.1. Wyznaczenie energii kinetycznej układu:

Suma energii kinetycznych:

Z zależności geometrycznych wynikają współrzędne:

Ostatecznie otrzymujemy:

1.2. Wyznaczenie energii potencjalnej układu:

1.3. Wyznaczenie dyssypacji energii układu:

2. Praca układu L=E_k-V:

2.1. Równanie różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej s :

Zatem:

2.2. Równanie różniczkowe ruchu względem współrzędnej uogólnionej φ :

Zatem:

Postać macierzowa:

Schemat silnika szeregowego:

Równanie napięciowe:

Wzór na moment elektryczny silnika szeregowego:

3. Wyznaczenie postaci i parametrów charakterystyki mechanicznej silnika napędowego:

Dla naszych danych
:

4. Oszacowanie masy oraz momentu bezwładności elementu wirującego wibratora:

Dane z pomiarów:

Przyjmuję się, że materiałem wibratora jest stal, dla której:

- gęstość stali

Obliczam masę wibratora jako sumę masy kuli oraz ramienia:

gdzie:

V_r - objętość ramienia ; V_K - objętość kuli

Ponieważ wibrator posiada cztery podobne elementy wirujące, zatem:

Obliczenie momentu bezwładności elementu wirującego:

Wyznaczam moment bezwładności jako sumę momentu pręta oraz kuli korzystając z twierdzenia Steinera (o osiach równoległych):

Ponieważ wibrator posiada cztery podobne elementy wirujące, zatem:

5. Oszacowanie masy oraz momentu bezwładności rury wraz z korpusu wibratora:

Dane z pomiarów:

Przyjmuję się że materiałem rury jest stal dla której:

- gęstość stali

Obliczam masę wibratora jako sumę masy rury oraz korpusu wibratora:

gdzie: V_R - objętość rury

Masę korpusu wibratora oszacowano na podstawie danych katalogowych na stronie: www.vibra.com.pl dla modelu BS10-0004 który posiada podobne wymiary co model laboratoryjny.

Obliczenie momentu bezwładności:

Dla uproszczenia przyjmuje się:

6. Oszacowanie masy oraz momentu bezwładności podstawy:

Dane z pomiarów:

Przyjmuję się że materiałem podstawy jest ołów dla którego:

- gęstość ołowiu

Obliczam masę podstawy:

gdzie: V_p - objętość podstawy

Obliczenie momentu bezwładności:

Dla uproszczenia przyjmuje się:

7. Obliczam współczynnik sprężystości zawieszenia:

Współczynnik sprężystości na kierunku prostopadłym do listwy wynosi:

wg „Maszyny Wibracyjne” - Jerzy Michalczyk

gdzie:

- moduł Younga dla stali,

- czynna długość resoru,

- szerokość listwy,

- grubość resoru,

- moment bezwładności przekroju listwy a zatem:

Ponieważ resor składa się z dwóch listew zatem:

8. Elastyczne podparcie:

Korzystając z J.Michalczyk. Dynamika maszyn górniczych,

wersja elektroniczna:

Obliczam współczynniki sprężystości dla podparcia:

Przyjmuję dla gumy:

E=49MPa - moduł Younga

=0,5 - współczynnik poissona

- moduł Kirchoffa

W przypadku odkształceń dynamicznych moduł Younga i moduł Kirchhoffa statyczny E_st i G_st należy zastąpić ich wartościami dynamicznymi:

Zatem:

E_dyn= (1,5 - 2,5) E_st

G_dyn= (1,5 - 2,5) G_st

Przyjmuję:

E_dyn= 2 E_st=98MPa

G_dyn= 2 G_st=32,66MPa

Obliczam powierzchnię podkładki:

d=0,025m

Współczynnik sprężystości dla gumy:

Ściskanie:

k_y=

Ścinanie:

9. Obliczenie sprężystości oraz tłumienia na podstawie wykresu drgań własnych:

,

,

Wartości odczytane z wykresu oraz oszacowane:

- wysokość amplitudy drgań własnych

- współczynnik tłumienia układu

- współczynnik sprężystości układu

- współczynnik tłumienia układu

- współczynnik sprężystości wyliczony teoretycznie

Błędy mogą wynikać z niedokładnego oszacowania mas poszczególnych elementów, niedokładności pomiarowych oraz niedokładnego odczytania danych z wykresu.

10. Zestawienie wyników obliczeń oraz wartości zmierzonych:

11. Program zapisany w Matlabie.

function dX=BETAtest1(T,X)

Xsprim=X(1);

Ysprim=X(2);

Sprim=X(3);

BETAprim=X(4);

FIprim=X(5);

Xs=X(6);

Ys=X(7);

S=X(8);

BETA=X(9);

FI=X(10);

g=9.81;

mw=0.076;

mr=9.715;

mp=76;

Iw=4.94*10^(-5);

Ir=2.8;

Ip=21.9;

e=0.035;

h=0.06;

L=1.86;

Hs=0.04;

H=0.1;

alfa=0.5236;

k=2454;

b=1.84;

bx=19.12;

by=11.04;

ky=534535.3;

kx=1603933;

M=zeros(10);

M(1,1)=(mw+mr+mp);

M(1,3)=-mw*cos(alfa)-mr*cos(alfa);

M(1,4)=-mw*(h+H)-mr*H;

M(1,5)=mw*e*cos(FI);

M(2,2)=(mw+mr+mp);

M(2,3)=-mw*sin(alfa)-mr*sin(alfa);

M(2,5)=-mw*e*sin(FI);

M(3,1)=-mw*cos(alfa)-mr*cos(alfa);

M(3,2)=-mw*sin(alfa)-mr*sin(alfa);

M(3,3)=mw+mr;

M(3,4)=mw*cos(alfa)*(h+H)+mr*cos(alfa)*H;

M(3,5)=-mw*cos(FI+alfa)*e;

M(4,1)=-mw*(h+H)-mr*H;

M(4,3)=mw*(h+H)*cos(alfa)+H*mr*cos(alfa);

M(4,4)=(mw*(h+H)^2+mr*H^2+Ir+Ip);

M(4,5)=-mw*(h+H)*e*cos(FI);

M(5,1)=mw*e*cos(FI);

M(5,2)=-mw*e*sin(FI);

M(5,3)=-mw*cos(FI+alfa)*e;

M(5,4)=-mw*e*cos(FI)*(h+H);

M(5,5)=(mw*e^2 +Iw);

M(6,6)=1;

M(7,7)=1;

M(8,8)=1;

M(9,9)=1;

M(10,10)=1;

Q(1,1)=mw*e*FIprim^2*sin(FI)-10*kx*(Xs+Hs*BETA)-10*bx*(Xsprim+Hs*BETAprim);

Q(2,1)=mw*e*FIprim^2*cos(FI)-g*(mp+mr+mw)-10*ky*Ys-10*by*Ysprim;

Q(3,1)=-mw*e*FIprim^2*sin(FI+alfa)+mw*g*sin(alfa)+mr*g*sin(alfa)-16*b*Sprim-16*k*S;

Q(4,1)=-(10*bx*Hs^2+1.25*by*L^2)*BETAprim-(10*kx*Hs^2+1.25*ky*L^2)*BETA-mw*(h+H)*e*FIprim^2*sin(FI)-10*kx*Hs*Xs-10*bx*Hs*Xsprim;

Q(5,1)=mw*e*sin(FI)+((259.2*(104.72-FIprim))/(2687.38+(104.72-FIprim)^2));

Q(6,1)=Xsprim;

Q(7,1)=Ysprim;

Q(8,1)=Sprim;

Q(9,1)=BETAprim;

Q(10,1)=FIprim;

dX=inv(M)*Q;

Druga część programu:

clc

clear;

[T,X]=ode45('BETAtest1',[0 5],[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]);

figure(1); plot(T,X(:,1)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('predkosc x [m/s]'); zoom on;

figure(2); plot(T,X(:,2)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('predkosc y [m/s]'); zoom on;

figure(3); plot(T,X(:,3)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('predkosc s [m/s]'); zoom on;

figure(4); plot(T,X(:,4)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('predkosc katowa B [rad/s]'); zoom on;

figure(5); plot(T,X(:,5)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('predkosc katowa FI [rad/s]'); zoom on;

figure(6); plot(T,X(:,6)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('przemieszczenie x [m]'); zoom on;

figure(7); plot(T,X(:,7)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('przemieszczenie y [m]'); zoom on;

figure(8); plot(T,X(:,8)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('przemieszczenie s [m]'); zoom on;

figure(9); plot(T,X(:,9)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('obrot B [rad]'); zoom on;

figure(10); plot(T,X(:,10)); grid on; xlabel('czas [s]'); ylabel('obrot FI [rad]'); zoom on;

12. Otrzymane wykresy:

Wnioski:

W budowie modeli fizycznych i matematycznych dyskretnych układów mechanicznych o wielu stopniach swobody bardzo przydatna jest metoda Lagrange'a II rodzaju. Dzięki niej możemy w dość prosty sposób zbudować różniczkowe równania ruchu. Podpierając się przy rozwiązywaniu równań różniczkowych takimi programami jak Matlab lub Simulink możemy w bardzo szybki i wygodny sposób otrzymać rozwiązania. Możemy również odczytać z wyznaczonych rozwiązań z jakimi prędkościami oraz o ile przemieszczą się poszczególne elementy modelowanej maszyny. Analizując otrzymane wykresy obserwujemy tłumienie aż do ustabilizowanej pracy maszyny.

Od dokładności rozwiązania zależeć będzie jak daleko posuniemy się z zakresem i szczegółowością analizowanego układu. Istotne znaczenie ma również dokładne oszacowanie wielkości stałych w badanym układzie.

Dla zbadanego układu współczynnik sprężystości listew stalowych obliczony teoretycznie na podstawie wzorów wynosi
[N/m]natomiast z dokonanych pomiarów przy pomocy rejestratora obliczono, że
[N/m] błędy mogą wynikać z niedokładnego oszacowania mas poszczególnych elementów, niedokładności pomiarowych oraz niedokładnego odczytania danych z wykresu.

---