Zastosowanie dynamicznych równań Eulera i równania Bernouliego w zadaniach


Zastosowanie dynamicznych równań Eulera i równania Bernouliego w zadaniach

Wykonał:

Adam Loska

MiBM, gr.2, sem.6

Zadanie 1.

W prostej rurze nachylonej pod kątem α do poziomu o stałym przekroju rurowym o średnicy D i długości l przepływa płyn o gęstości ρ = const. Na cząstkę płynu działa siła masowa ciężkości g oraz siła proporcjonalna do odległości cząstki od punktu 0 i skierowana do niego. W punkcie 0 prędkość płynu wynosiła 0x01 graphic
, natomiast ciśnienie 0x01 graphic
.

Na tej podstawie wyznaczone zostanie pole ciśnień dla tego przepływu oraz ciśnienie na końcu rury.

Składowe wektora przyspieszenia są zerowe:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Składowe siły masowej są następujące:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Równania dynamiczne Eulera są postaci:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Z równań tych wyliczono składowe gradientu ciśnienia:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Całkując powyższe zależności otrzymujemy wzór na pole ciśnień, z którego można wyznaczyć ciśnienie w dowolnym przekroju rury:

0x01 graphic

Dla następujących warunków:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
mamy: 0x01 graphic

Przyjmując x = l i z = h obliczono ciśnienie w na końcu rury (przekrój B):

0x01 graphic
0x01 graphic

Wyznaczono dodatkowo minimalną wartość ciśnienia niezbędnego do zrealizowania przepływu przez całą długość przewodu z daną prędkością 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Zadanie 2.

Pole prędkości przepływu ustalonego w przestrzeni 0x01 graphic
jest określone składowymi wektora prędkości: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Na płyn działa pole jednostkowej siły masowej: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Wyznaczyć pole ciśnień płynu, jeżeli w początku układu współrzędnych 0x01 graphic
.

Przepływ płynu jest potencjalny i 0x01 graphic
. Składową 0x01 graphic
wektora prędkości określona została na podstawie prawa ciągłości przepływu:

0x01 graphic
wtedy gdy 0x01 graphic

Linia prądu płynu w przestrzeni 0x01 graphic
jest określona równaniem:

0x01 graphic

Równanie to można sprowadzić do układu równań rzędu pierwszego:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Rozwiązaniami powyższych równań są funkcje liniowe będące równaniami dwóch płaskich:

0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic

Linia prądu jest wspólną krawędzią tych płaszczyzn. W płaszczyźnie (x,y) linie prądu stanowią pola prostych początku układu współrzędnych.

Wyznaczamy potencjał pola prędkości:

0x01 graphic

Całkując powyższe równanie wyznaczono szukaną funkcję, która określa rodzinę powierzchni stożkowych:

0x01 graphic

Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,y) ma postać:

0x01 graphic

Funkcja ta ma stałą wartość w płaszczyźnie (x,y).

Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,z):

0x01 graphic

Funkcja prądu w płaszczyźnie (y,z):

0x01 graphic

Składowe wektora przyspieszenia płynu są następujące:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

Różniczka ciśnienia płynu w dowolnym punkcie cieczy ma postać:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Całkując powyższe równanie dostajemy pole ciśnień płynu:

0x01 graphic

Potencjał sił masowych:

0x01 graphic

Po całkowaniu tego równania otrzymujemy równanie wyznaczające potencjał sił masowych:

0x01 graphic

Zadanie 3.

Pole prędkości przepływu płynu jest zadane składowymi wektora prędkości: 0x01 graphic
0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Ruch płynu odbywa się w polu sił masowych:

0x01 graphic
. Wyznaczyć:

  1. określić warunki, przy których pole prędkości przepływu jest potencjalne,

  2. wektor przyspieszenia ruchu płynu,

  3. pole ciśnień w obszarze przepływu płynu,

  4. potencjał pola prędkości i równanie powierzchni ekwipotencjalnej,

  5. linię prądu w płaszczyźnie (x,z) oraz funkcję prądu,

  6. energię kinetyczną przepływu płynu

Dywergencja pola prędkości jest równa:

0x01 graphic

Stąd wartość stałej b wynosi:

0x01 graphic

Rotacja pola prędkości jest wektorem zerowym:

0x01 graphic
0x01 graphic

Składowe wektora prędkości przepływu wynoszą:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Pole przyspieszenia jest równe:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

Następnie wyznaczono gradient ciśnienia:

0x01 graphic

0x01 graphic

Pole ciśnień przepływu płynu jest równe:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Następnie wyznaczono wartość stałej 0x01 graphic
, przyjmując 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Następnie wyznaczono równanie powierzchni ekwipotencjalnej:

0x01 graphic
gdzie: 0x01 graphic

Przyjmując wartości z = 0 i x = 1, obliczono wartości stałych 0x01 graphic
i 0x01 graphic
:

0x01 graphic
, 0x01 graphic

Ponieważ pole prędkości jest potencjalne, można wyznaczyć potencjał pola prędkości:

0x01 graphic

0x01 graphic

Linia prądu określona jest równaniem:

0x01 graphic

Z tego równania mamy:

0x01 graphic
czyli: 0x01 graphic
, równanie to przedstawia rodzinę hiperbol

Energia kinetyczna przepływu wynosi:

0x01 graphic

Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,z) jest określona równaniami:

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Przyjmując x = 0, z = 0, 0x01 graphic
mamy wartość stałej 0x01 graphic
równą 0x01 graphic

Linie prądowe przedstawiają rodzinę hiperbol:

0x01 graphic

7



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Zastosowanie Równania Bernoulliego
Graficzna interpretacja i zastosowanie rownania Bernouliego
2 Układ równań i nierówności 2 zadania
Równanie Bernouliego dla jednowymiarowego stacjonarnego przeplywu strugi
Interpretacja równania bernoulliego od prof
Równania zespolone - Zadanie domowe [PDF] Równania zespolone, Rozwiązanie zadania domowego
Równania zespolone - Zadanie domowe [PDF] Równania zespolone, Zadanie domowe
A Mostowski Zarys teorii Galois cz 02 Zastosowanie do równań algebraicznych
Równanie Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego płynu nieściśliwego, mechanika plynów
Równanie Bernoulliego, simr, mechanika płynów, mechanika płynów
Równanie Bernoulliego, mechanika plynów
Równanie Bernoulliego ---przemiana adiabatyczna, mechanika plynów
równania różniczkowe - zadania, Budownictwo, Matematyka
Równanie Bernouliego-przemiana izotermiczna
Równanie Bernoulliego ---przemiana adiabatyczna
Uklady równań, Matematyka. Zadania i rozwiązania

więcej podobnych podstron