Zastosowanie dynamicznych równań Eulera i równania Bernouliego w zadaniach

Wykonał:

Adam Loska

MiBM, gr.2, sem.6

Zadanie 1.

W prostej rurze nachylonej pod kątem α do poziomu o stałym przekroju rurowym o średnicy D i długości l przepływa płyn o gęstości ρ = const. Na cząstkę płynu działa siła masowa ciężkości g oraz siła proporcjonalna do odległości cząstki od punktu 0 i skierowana do niego. W punkcie 0 prędkość płynu wynosiła
, natomiast ciśnienie
.

Na tej podstawie wyznaczone zostanie pole ciśnień dla tego przepływu oraz ciśnienie na końcu rury.

Składowe wektora przyspieszenia są zerowe:

,
,

Składowe siły masowej są następujące:

,
,

Równania dynamiczne Eulera są postaci:

,
,

Z równań tych wyliczono składowe gradientu ciśnienia:

,
,

Całkując powyższe zależności otrzymujemy wzór na pole ciśnień, z którego można wyznaczyć ciśnienie w dowolnym przekroju rury:

Dla następujących warunków:

,
,
mamy:

Przyjmując x = l i z = h obliczono ciśnienie w na końcu rury (przekrój B):

Wyznaczono dodatkowo minimalną wartość ciśnienia niezbędnego do zrealizowania przepływu przez całą długość przewodu z daną prędkością
:

Zadanie 2.

Pole prędkości przepływu ustalonego w przestrzeni
jest określone składowymi wektora prędkości:
,
. Na płyn działa pole jednostkowej siły masowej:
,
,
. Wyznaczyć pole ciśnień płynu, jeżeli w początku układu współrzędnych
.

Przepływ płynu jest potencjalny i
. Składową
wektora prędkości określona została na podstawie prawa ciągłości przepływu:

wtedy gdy

Linia prądu płynu w przestrzeni
jest określona równaniem:

Równanie to można sprowadzić do układu równań rzędu pierwszego:

,

Rozwiązaniami powyższych równań są funkcje liniowe będące równaniami dwóch płaskich:

,

Linia prądu jest wspólną krawędzią tych płaszczyzn. W płaszczyźnie (x,y) linie prądu stanowią pola prostych początku układu współrzędnych.

Wyznaczamy potencjał pola prędkości:

Całkując powyższe równanie wyznaczono szukaną funkcję, która określa rodzinę powierzchni stożkowych:

Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,y) ma postać:

Funkcja ta ma stałą wartość w płaszczyźnie (x,y).

Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,z):

Funkcja prądu w płaszczyźnie (y,z):

Składowe wektora przyspieszenia płynu są następujące:

,

Różniczka ciśnienia płynu w dowolnym punkcie cieczy ma postać:

,

Całkując powyższe równanie dostajemy pole ciśnień płynu:

Potencjał sił masowych:

Po całkowaniu tego równania otrzymujemy równanie wyznaczające potencjał sił masowych:

Zadanie 3.

Pole prędkości przepływu płynu jest zadane składowymi wektora prędkości:

,
,
. Ruch płynu odbywa się w polu sił masowych:

. Wyznaczyć:

1. określić warunki, przy których pole prędkości przepływu jest potencjalne,

2. wektor przyspieszenia ruchu płynu,

3. pole ciśnień w obszarze przepływu płynu,

4. potencjał pola prędkości i równanie powierzchni ekwipotencjalnej,

5. linię prądu w płaszczyźnie (x,z) oraz funkcję prądu,

6. energię kinetyczną przepływu płynu

Dywergencja pola prędkości jest równa:

Stąd wartość stałej b wynosi:

Rotacja pola prędkości jest wektorem zerowym:

Składowe wektora prędkości przepływu wynoszą:

,
,

Pole przyspieszenia jest równe:

,
,

Następnie wyznaczono gradient ciśnienia:

Pole ciśnień przepływu płynu jest równe:

,

Następnie wyznaczono wartość stałej
, przyjmując
,
,

Następnie wyznaczono równanie powierzchni ekwipotencjalnej:

gdzie:

Przyjmując wartości z = 0 i x = 1, obliczono wartości stałych
i
:

,

Ponieważ pole prędkości jest potencjalne, można wyznaczyć potencjał pola prędkości:

Linia prądu określona jest równaniem:

Z tego równania mamy:

czyli:
, równanie to przedstawia rodzinę hiperbol

Energia kinetyczna przepływu wynosi:

Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,z) jest określona równaniami:

,

,

Przyjmując x = 0, z = 0,
mamy wartość stałej
równą

Linie prądowe przedstawiają rodzinę hiperbol:

7