Zastosowanie dynamicznych równań Eulera i równania Bernouliego w zadaniach
Wykonał:
Adam Loska
MiBM, gr.2, sem.6
Zadanie 1.
W prostej rurze nachylonej pod kątem α do poziomu o stałym przekroju rurowym o średnicy D i długości l przepływa płyn o gęstości ρ = const. Na cząstkę płynu działa siła masowa ciężkości g oraz siła proporcjonalna do odległości cząstki od punktu 0 i skierowana do niego. W punkcie 0 prędkość płynu wynosiła
, natomiast ciśnienie
.
Na tej podstawie wyznaczone zostanie pole ciśnień dla tego przepływu oraz ciśnienie na końcu rury.
Składowe wektora przyspieszenia są zerowe:
,
,
Składowe siły masowej są następujące:
,
,
Równania dynamiczne Eulera są postaci:
,
,
Z równań tych wyliczono składowe gradientu ciśnienia:
,
,
Całkując powyższe zależności otrzymujemy wzór na pole ciśnień, z którego można wyznaczyć ciśnienie w dowolnym przekroju rury:
Dla następujących warunków:
,
,
mamy:
Przyjmując x = l i z = h obliczono ciśnienie w na końcu rury (przekrój B):
Wyznaczono dodatkowo minimalną wartość ciśnienia niezbędnego do zrealizowania przepływu przez całą długość przewodu z daną prędkością
:
Zadanie 2.
Pole prędkości przepływu ustalonego w przestrzeni
jest określone składowymi wektora prędkości:
,
. Na płyn działa pole jednostkowej siły masowej:
,
,
. Wyznaczyć pole ciśnień płynu, jeżeli w początku układu współrzędnych
.
Przepływ płynu jest potencjalny i
. Składową
wektora prędkości określona została na podstawie prawa ciągłości przepływu:
wtedy gdy
Linia prądu płynu w przestrzeni
jest określona równaniem:
Równanie to można sprowadzić do układu równań rzędu pierwszego:
,
Rozwiązaniami powyższych równań są funkcje liniowe będące równaniami dwóch płaskich:
,
Linia prądu jest wspólną krawędzią tych płaszczyzn. W płaszczyźnie (x,y) linie prądu stanowią pola prostych początku układu współrzędnych.
Wyznaczamy potencjał pola prędkości:
Całkując powyższe równanie wyznaczono szukaną funkcję, która określa rodzinę powierzchni stożkowych:
Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,y) ma postać:
Funkcja ta ma stałą wartość w płaszczyźnie (x,y).
Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,z):
Funkcja prądu w płaszczyźnie (y,z):
Składowe wektora przyspieszenia płynu są następujące:
,
Różniczka ciśnienia płynu w dowolnym punkcie cieczy ma postać:
,
Całkując powyższe równanie dostajemy pole ciśnień płynu:
Potencjał sił masowych:
Po całkowaniu tego równania otrzymujemy równanie wyznaczające potencjał sił masowych:
Zadanie 3.
Pole prędkości przepływu płynu jest zadane składowymi wektora prędkości:
,
,
. Ruch płynu odbywa się w polu sił masowych:
. Wyznaczyć:
określić warunki, przy których pole prędkości przepływu jest potencjalne,
wektor przyspieszenia ruchu płynu,
pole ciśnień w obszarze przepływu płynu,
potencjał pola prędkości i równanie powierzchni ekwipotencjalnej,
linię prądu w płaszczyźnie (x,z) oraz funkcję prądu,
energię kinetyczną przepływu płynu
Dywergencja pola prędkości jest równa:
Stąd wartość stałej b wynosi:
Rotacja pola prędkości jest wektorem zerowym:
Składowe wektora prędkości przepływu wynoszą:
,
,
Pole przyspieszenia jest równe:
,
,
Następnie wyznaczono gradient ciśnienia:
Pole ciśnień przepływu płynu jest równe:
,
Następnie wyznaczono wartość stałej
, przyjmując
,
,
Następnie wyznaczono równanie powierzchni ekwipotencjalnej:
gdzie:
Przyjmując wartości z = 0 i x = 1, obliczono wartości stałych
i
:
,
Ponieważ pole prędkości jest potencjalne, można wyznaczyć potencjał pola prędkości:
Linia prądu określona jest równaniem:
Z tego równania mamy:
czyli:
, równanie to przedstawia rodzinę hiperbol
Energia kinetyczna przepływu wynosi:
Funkcja prądu w płaszczyźnie (x,z) jest określona równaniami:
,
,
Przyjmując x = 0, z = 0,
mamy wartość stałej
równą
Linie prądowe przedstawiają rodzinę hiperbol:
7