Graficzna interpretacja

i zastosowanie

równania Bernoulli,ego

Józef Wojnarowski

Daniel Bernoulli

• Daniel Bernoulli (ur. 9 lutego 1700 r. –

zm. 17 marca 1782 r.) - szwajcarski
matematyk i fizyk.

• Był profesorem uniwersytetów w Bazylei i

Petersburgu. Twórca podwalin mechaniki
statystycznej (kinetyczna teoria gazów).
Obszarem jego zainteresowań były także
medycyna i fizjologia. Jako matematyk
zajmował się rachunkiem
prawdopodobieństwa, równaniami
różniczkowymi i metodami przybliżonymi
rozwiązywania równań. Zdefiniował liczbę
e. Jako fizyk rozwiązał problem struny
drgającej i podał równanie ruchu
stacjonarnego cieczy idealnej zwane
równaniem Bernoulliego.

• Pochodził ze znanej rodziny matematyków

Bernoullich. Jego ojcem był Johann
Bernoulli a wujem Jakob Bernoulli.

Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego opisuje parametry płynu

doskonałego płynącego w rurze (niekoniecznie
materialnie istniejącej) o zmiennym przekroju.
Wynika ono wprost z faktu zachowania objętości
cieczy doskonałej (która jest nieściśliwa) i zasady
zachowania energii mechanicznej.

Szczególna postać równania
Założenia:
 ciecz jest nieściśliwa
 ciecz nie jest lepka
 przepływ stacjonarny i bezwirowy

Szczególna postać

równania Bernoulliego

gdzie:
   ρ -gęstość cieczy
   v - prędkość cieczy w

rozpatrywanym miescu

   h - wysokość w

układzie odniesienia w
którym liczymy energię
potencjalną

   g - przyspieszenie

grawitacyjne

   p - ciśnienie cieczy w

rozpatrywanym miejscu

• Poszczególne człony to: energia kinetyczna,

energia potencjalna przyciągania

ziemskiego, energia ciśnienia.

• Energia jest stała tylko wówczas, kiedy

element porusza się wzdłuż linii prądu.

Istnienie lepkości lub przepływu wirowego

rozprasza energię, ściśliwość zmienia

zależność prędkości przepływu od ciśnienia.

Niestacjonarność przepływu wiąże się z

dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub

hamującym ciecz.

Ogólna postać równania

Bernoulliego

Równanie Bernoulliego
może z pewną
dokładnością stosowane
też dla cieczy
ściśliwych. Opracowano
także wersję równania
dla płynów
uwzględniającą zmianę
energii wewnętrznej
płynu w wyniku różnych
czynników. Równanie to
ma postać:

Gdzie:
Φ - energia potencjalna jednostki
masy, której w warunkach
ziemskich odpowiada Φ = gh
w - energia ciśnienia (ε - energia
wewnętrzna płynu).

Uwzględniając właściwości gazów

można przekształcić to równanie
tak, by było spełnione też dla
gazów. Choć pierwotne równanie
Bernoulliego nie jest spełnione dla
gazów, to ogólne wnioski płynące z
niego mogą być stosowane też dla
gazów.

Praktyczne

wykorzystanie równania

Bernulliego

Z równania Bernuliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku

zachodzi prawidłowość:

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury to wzór

upraszcza się do:

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (v

1

> v

2

),

w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w

rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma

mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie przekrój jest

mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed

sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie

potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci

się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest

pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

Zastosowanie równania

Bernoulliego

Z równania Bernoulliego wynika wiele na co dzień

obserwowanych zjawisk, zależności, a także

zasad działania licznych urządzeń technicznych:

         paradoks hydrodynamiczny
       zjawisko zrywania dachów gdy wieje silny

wiatr

         zasada działania sondy Pitota
         zasada działania sondy Prandla
         zasada działania sondy Venturiego
         pośrednio zasady powstawania siły nośnej

w skrzydle samolotu

Graficzna interpretacja

równania Bernoulliego

Najczęściej równanie Bernoulliego jest przedstawiane w

postaci:

Ponieważ każdy ze składników tego równania ma wymiar

długości, noszą one odpowiednio nazwę wysokości
prędkości, wysokości ciśnienia i wysokości
położenia. Sumę wspomnianych wysokości nazywamy
wysokością rozporządzalną.

Na rysunku przedstawiono wykres obrazujący zmianę każdej
wysokości w strudze o zmiennym przekroju. Wykres ten
składa się z trzech linii:
*oś strugi leżąca na wysokości z ponad poziomem
odniesienia,
*linia ciśnień leżąca o p/g ponad osią strugi,

*linia energii leżąca o v

2

/2g ponad linią ciśnień.

Równanie Bernoulliego odniesione do dwu przekrojów poprzecznych jednej i tej samej strugi

ma postać:

stosowaną najczęściej do rozwiązywania konkretnych zadań.
Równanie Bernoulliego jest szczególnym przypadkiem zasady zachowania energii w

przepływie płynu nielepkiego. Mimo wyraźnej rozbieżności tego twierdzenia z

doświadczeniem, stwierdzającym powstawanie strat energetycznych podczas

przepływów płynów rzeczywistych, w zagadnieniach praktycznych, gdy odległość

między przekrojami strugi jest niewielka i nie ma znacznego rozpraszania energii

na drodze przepływu, pojawiające się rozbieżności między wynikami

teoretycznymi i doświadczalnymi korygujemy, wprowadzając odpowiednie

współczynniki.

Wiele tych zagadnień wymaga równoczesnego zastosowania równania Bernoulliego

i równania ciągłości, które w odniesieniu do jednowymiarowych ustalonych

przepływów płynów ma następujące postacie:

  w przypadku płynu ściśliwego VA=const.
  w przypadku płynu nieściśliwego VA=const.

Zastosowanie równania

Bernoulliego w

zagadnieniach pomiaru

prędkości i strumienia

objętości.

Pomiar prędkości

miejscowej

W obszarze przepływu mogą znajdować się

punkty, w których prędkość przepływu v= 0,
nazywane punktami spiętrzenia (stagnacji),
gdzie ciśnienie statyczne przybiera wartości
ciśnienia całkowitego, zwanego ciśnieniem
spiętrzenia. Jeżeli płyn poruszający się ruchem
jednostajnym z prędkością v pod ciśnieniem p
napotyka na przeszkodę w postaci ciała
zanurzonego, to przed przeszkodą następuje
spiętrzenie w punkcie S oraz opływ
rozdzielonych strug dookoła tej przeszkody.

Równanie Bernoulliego dla poziomej linii prądu

przechodzącej przez ten punkt ma postać:

Sumę ciśnienia statycznego p i ciśnienia dynamicznego

nazywamy ciśnieniem całkowitym. Wynika stąd, że ciśnienie

spiętrzenia jest równe ciśnieniu całkowitemu w przepływie

niezakłóconym. Wyznaczenie prędkości miejscowej

(lokalnej) można zatem sprowadzić do zagadnienia pomiaru

ciśnienia spiętrzenia oraz ciśnienia statycznego w obszarze

przepływu niezakłóconego lub różnicy tych ciśnień,

ponieważ z powyższego wzoru wynika:

Pomiar prędkości

średniej i strumienia

objętości metodą

prędkościomierzową

W przepływach przez prosto osiowe rury o kołowym

przekroju (o promieniu R) strumień objętości

gdzie: v (r) – miejscowa prędkość przepływu

prostopadła do elementu dA = 2. r dr przekroju
poprzecznego przewodu w odległości r od osi.

 

W prostoosiowym kanale prostokątnym o polu powierzchni A

strumień objętości

gdzie: v – prędkość miejscowa w polu elementarnym dA =

2.dr przekroju hydrometrycznego

A ( prostopadła do dA).

Prędkość średnia w tych przekrojach jest ilorazem

strumienia objętości i pola przekroju poprzecznego

W praktyce bryłę prędkości wyznaczamy

następująco: dzielimy przekrój

hydrometryczny na równe pola cząstkowe,

mierzymy za pomocą prędkościomierzy (np.

rurek piętrzących) miejscowe prędkości

przepływu w odpowiednich miejscach tych

pól

v = v (x, y), a następnie wyznaczamy metodą

rachunkową lub wykreślną prędkość średnią i

strumień przepływu.

Na rysunku pokazano schemat pomiaru rozkładu
prędkości w przewodzie o przekroju
prostokątnym (np. wentylacyjnym) za pomocą
rurki Prandtla.

Pomiar strumienia

objętości metodą

zwężkową

Dla ustalonego ruchu płynu w poziomej rurze, w której

pewien odcinek zastąpiono przewężeniem – zwężką,
równanie Bernoulliego dla przekrojów 1. i 2. ma postać

Z równania ciągłości wiadomo, że Stosunek średnicy

otworu

( gardzieli) zwężki (d) do średnicy wewnętrznej rurociągu

(D) nazywamy przewężeniem:

ß = d/D.

Po rozwiązaniu układu równań względem v

2

, otrzymamy:

a zatem:
miarą średniej prędkości przepływu przez zwężkę

jest spadek ciśnienia (p = p

1

– p

2

) między jej

przekrojami mierniczymi, zwany ciśnieniem
różnicowym.

Wypływ ustalony przez

mały otwór

Rozpatrzmy przepływ cieczy przez mały

otwór, znajdujący się w pionowej ścianie
oddzielającej dwa zbiorniki wypełnione
cieczami o gęstościach i oraz j przy

wysokościach cieczy hi oraz hj. Nad
cieczami znajdują się gazy o ciśnieniach
odpowiednio pi oraz pj.

Zakładamy, że przepływ jest ustalony, tzn.

wysokości hi oraz hj i ciśnienia pi oraz pj –
podczas przepływu nie ulegają zmianie.

Po przyjęciu poziomu odniesienia w osi otworu,

równanie Bernoulliego ma postać

W przypadku otworu małego (A0 >> A1)  (A1/A0)  0  v0 

0, prędkość wypływu (przepływu) ze zbiornika (i) określa
zależność:

Jeżeli wprowadzimy oznaczenia gdzie Hi oraz Hj nazywamy

wysokościami rozporządzalnymi, wzór przyjmie postać:

a zatem prędkość przepływu (wypływu) cieczy nielepkiej

zależy od różnicy wysokości rozporządzalnych w obu
zbiornikach.

Szczególne przypadki

wypływów:

v=2gh - zależność ta jest zwana wzorem

Torricellego

Wypływ ustalony przez

duży otwór

Jeżeli wymiary otworu (wymiar pionowy) są

wielkościami tego samego rzędu co głębokość
zanurzenia jego środka, to prędkości wypływu
strug na różnych głębokościach są rozmaite.
Niech A oznacza pole otworu (o dowolnym
konturze) znajdującego się w płaskiej ścianie
nachylonej do poziomu pod kątem .

Prędkość wypływu przez powierzchnię elementarną dA na

głębokości z wynosi:

zaś pole powierzchni elementarnej dA = b(z) dy = b(z) , a

zatem elementarny strumień objętości:

Całkowity rzeczywisty strumień objętości:

W otworze prostokątnym umieszczonym w ścianie

pionowej:

a zatem strumień objętości wypływającej cieczy zależy od

wysokości jej spiętrzenia nad dolną krawędzią otworu.
Gdy powierzchnia swobodna cieczy znajduje się poniżej
górnej krawędzi otworu, otwór staje się przelewem.
Przelewy są stosowane jako przyrządy do pomiaru
strumienia objętości wody w przewodach otwartych.

Przelew mierniczy

prostokątny ze

zwężeniem bocznym

Przelew mierniczy prostokątny ze zwężeniem bocznym

Dla każdego przelewu może być sporządzona krzywa

określająca zależność strumienia objętości od wysokości
spiętrzenia qV = f (h), zwana charakterystyką przepływu.