Interpretacje układów równań liniowych 1. Interpretacja wektorowa
Rozważamy układ m równań liniowych o n niewiadomych:
a x
11 1 + a
x
12
2 + ... + a
x
b
n
1
n =
1
a x
21 1 + a
x
22
2 + ... + a
x
b
2 n
n =
2
.
a x a x ... a x
b
m 1 1 +
m 2
2 +
+ mn n = m
Definiujemy wektory: w , w , w , … , w , gdzie w = [ a 1
2
3
m
i
i1 , a i2 , a i3, …, a in ] dla i = 1, 2,
…, m oraz wektor x = [ x 1, x 2, x 3, … , x n ] .
Przy tych oznaczeniach powyższy układ równań możemy zapisać:
→ →
w 1o x = b 1
→ →
w 2 o x = b 2
.........
→ →
w o x b
m
= m
→
Rozwiązać dany układ równań, to wyznaczyć wektor x , który kolejno mnożony skalar-
→
nie przez wektory w daje ciąg liczb: b
i
1, b2, …, bm.
→
→
→
→
Jeśli wektor b = [b1, b2, …, bm] jest wektorem zerowym ( b = 0 ) zaś wektory w są nieze-i
→
→
rowe, to wektory w , x są wektorami prostopadłymi (bo ich iloczyny skalarne są zero).
i
W tym przypadku rozwiązanie danego układu równań liniowych sprowadza się do poszuki-
→
wania wektora x jednocześnie prostopadłego do każdego wektora w , w , w , … , w .
1
2
3
m
2. Interpretacja geometryczna
Definicja
W układzie współrzędnych kartezjańskich zbiór wszystkich punktów X ( x 1, x 2, x 3, … , x n ) przestrzeni Rn spełniających równanie A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0, o ile choć
jedna z liczb A1, A2, …, An jest różna od zera, nazywamy hiperpłaszczyzną. Mówimy wów-czas, że równanie A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0 jest równaniem tej hiperpłaszczyzny.
Dany układ równań liniowych wyznacza zatem układ m hiperpłaszczyzn, których równania są równaniami danego układu równań.
Rozwiązać ten układ równań w sensie geometrycznym, to wyznaczyć zbiór punktów przestrzeni Rn należących jednocześnie do każdej z hiperpłaszczyzn określonych danymi równaniami układu.
Przyjmijmy, np., że Ak ≠ 0, wtedy równanie A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0
możemy zapisać następująco:
A
A
0
1 ( x 1 – 0) + A2 ( x 2 – 0) + A3 ( x 3 – 0) + … Ak ( x k – (-
) ) + …. + An ( x n – 0) = 0.
Ak
Stąd wnioskujemy, że wektor [A1 , A2 , A3 , …, An] jest prostopadły do tej hiperpłaszczy-A
zny, która przechodzi przez punkt o współrzędnych (0, 0, 0, …, - 0 , …, 0).
Ak
Twierdzenie
a) Wektor [A1 , A2 , A3 , …, An] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu A1 x 1+ A2 x 2 + A3 x 3+ … + An x n + A0 = 0 (zakładamy, że choć jedna z liczb A1, A2, …, An jest różna od zera).
b) Wektor [A1 , A2 , A3 , …, An] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu A1 ( x 1 – b1) + A2 ( x 2 – b2) + A3 ( x 3 – b3) + … + An ( x n – bn) = 0, do której należy punkt B(b1, b2, b3, … bn).
Ćwiczenia
1. Wskaż wektor prostopadły do danej prostej (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R2) oraz dwa punkty, które do niej należą:
a) 3x – 4y + 5 = 0, b) y = -5x + 7 , c) x = 3, d) y = -7.
2. Wskaż wektor prostopadły do danej płaszczyzny (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R3) oraz dwa punkty, które do niej należą:
a) 3x – 4y + 5z - 6 = 0, b) z = -5x + 7y -1 , c) 2x – 3y =1, d) x = 3, d) z = -7.