Interpretacje układów równań liniowych

1. Interpretacja wektorowa

Rozważamy układ m równań liniowych o n niewiadomych:













=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

m

n

mn

m

m

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

.

...

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

Definiujemy wektory:

1

w

,

2

w

,

3

w

, … ,

m

w

, gdzie

i

w

= [a

i1

, a

i2

, a

i3,

…, a

in

] dla i = 1, 2,

…, m oraz wektor

x

= [ x

1

, x

2

, x

3

, … , x

n

] .

Przy tych oznaczeniach powyższy układ równań możemy zapisać:

















=

=

=

→

→

→

→

→

→

m

m

b

x

w

b

x

w

b

x

w

o

o

o

.........

2

2

1

1

Rozwiązać dany układ równań, to wyznaczyć wektor

→

x

, który kolejno mnożony skalar-

nie przez wektory

→

i

w

daje ciąg liczb: b

1

, b

2

, …, b

m

.

Jeśli wektor

→

b

= [b

1

, b

2

, …, b

m

] jest wektorem zerowym (

→

b

=

→

0

) zaś wektory

→

i

w

są nieze-

rowe, to wektory

→

i

w

,

→

x

są wektorami prostopadłymi (bo ich iloczyny skalarne są zero).

W tym przypadku rozwiązanie danego układu równań liniowych sprowadza się do poszuki-

wania wektora

→

x

jednocześnie prostopadłego do każdego wektora

1

w

,

2

w

,

3

w

, … ,

m

w

.

2. Interpretacja geometryczna

Definicja

W układzie współrzędnych kartezjańskich zbiór wszystkich punktów X ( x

1

, x

2

, x

3

, … , x

n

)

przestrzeni R

n

spełniających równanie A

1

x

1

+ A

2

x

2

+ A

3

x

3

+ … + A

n

x

n

+ A

0

= 0, o ile choć

jedna z liczb A

1

, A

2

, …, A

n

jest różna od zera, nazywamy hiperpłaszczyzną. Mówimy wów-

czas, że równanie A

1

x

1

+ A

2

x

2

+ A

3

x

3

+ … + A

n

x

n

+ A

0

= 0 jest równaniem tej hiperpłasz-

czyzny.

Dany układ równań liniowych wyznacza zatem układ m hiperpłaszczyzn, których rów-

nania są równaniami danego układu równań.

Rozwiązać ten układ równań w sensie geometrycznym, to wyznaczyć zbiór punktów

przestrzeni R

n

należących jednocześnie do każdej z hiperpłaszczyzn określonych danymi

równaniami układu.

Przyjmijmy, np., że A

k

≠

0, wtedy równanie A

1

x

1

+ A

2

x

2

+ A

3

x

3

+ … + A

n

x

n

+ A

0

= 0

możemy zapisać następująco:

A

1

(x

1

– 0) + A

2

(x

2

– 0) + A

3

(x

3

– 0) + … A

k

(x

k

– (-

k

A

A

0

) ) + …. + A

n

(x

n

– 0) = 0.

Stąd wnioskujemy, że wektor [A

1

, A

2

, A

3

, …, A

n

] jest prostopadły do tej hiperpłaszczy-

zny, która przechodzi przez punkt o współrzędnych (0, 0, 0, …, -

k

A

A

0

, …, 0).

Twierdzenie

a) Wektor [A

1

, A

2

, A

3

, …, A

n

] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu

A

1

x

1

+ A

2

x

2

+ A

3

x

3

+ … + A

n

x

n

+ A

0

= 0 (zakładamy, że choć jedna z liczb A

1

, A

2

, …, A

n

jest różna od zera).

b) Wektor [A

1

, A

2

, A

3

, …, A

n

] jest prostopadły do hiperpłaszczyzny o równaniu

A

1

(x

1

– b

1

) + A

2

(x

2

– b

2

) + A

3

(x

3

– b

3

) + … + A

n

(x

n

– b

n

) = 0, do której należy punkt

B(b

1

, b

2

, b

3

, … b

n

).

Ć

wiczenia

1. Wskaż wektor prostopadły do danej prostej (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R

2

) oraz dwa

punkty, które do niej należą:

a) 3x – 4y + 5 = 0, b) y = -5x + 7 , c) x = 3, d) y = -7.

2. Wskaż wektor prostopadły do danej płaszczyzny (hiperpłaszczyzny w przestrzeni R

3

) oraz

dwa punkty, które do niej należą:

a) 3x – 4y + 5z - 6 = 0, b) z = -5x + 7y -1 , c) 2x – 3y =1, d) x = 3, d) z = -7.