Istnienie rozwiązań układu równań liniowych
Definicja
Rozwiązać układ równań liniowych, to znaczy wyznaczyć zbiór jego rozwiązań, a więc podać zbiór ciągów spełniających układ lub uzasadnić, że ten zbiór jest pusty (nie istnieje żadne jego rozwiązanie).
Istnienie i ilość rozwiązań takiego układu rozstrzyga twierdzenie pochodzące od Kroneckera i Capellego:
Twierdzenie
Dany jest układ m równań liniowych o n niewiadomych Am x n ⋅ Xn = Bm . Ten układ ma rozwiązanie jedynie wtedy, gdy rząd macierzy Am x n współczynników układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej [Am x n | Bm ], czyli: R(A) = R([A|B]) = r.
Twierdzenie to rozstrzyga problem istnienia rozwiązań. Z niego wynika, że jeśli te rzędy nie są równe, to układ nie ma rozwiązań.
Przykład 1.
2 x + 3 y = 5
Układ
nie ma rozwiązań, bo
4 x + 6 y = 8
2 3
a) macierz współczynników A =
można przekształcić (operacje elementarne –
4 6
2 3
1 0
od w2 odejmujemy 2 w1) do postaci
, i dalej
, a więc jej rząd jest 1.
0 0
0 0
2 3 5
2 3 5
b) macierz uzupełnioną [A|B] =
przekształcamy do postaci
,
4 6 8
0 0 8
1 0 0
i dalej
co oznacza, że jej rząd jest 2.
0 1 0
Przykład 2.
2 x + 3 y = 5
Natomiast układ
ma rozwiązanie, bo:
4 x + 6 y = 10
1
2 3
a) macierz współczynników A =
można przekształcić do postaci
, co
4 6
0 0
oznacza, że jej rząd jest 1;
2 3
5
2 3 5
b) macierz uzupełnioną [A|B] =
można przekształcić do postaci
,
4 6 10
0 0 0
co oznacza, że jej rząd jest 1.
Przykład 3.
x + 2 y = 3
2 x − y =1
Układ równań liniowych
ma rozwiązanie, bo macierz
3 x + y = 4
x − 3 y = −2
1
2
5
0
2
−1
2
−1
współczynników
doprowadzimy do postaci
oraz macierz uzupełnioną
3
1
0
0
1 −
3
0
0
1
2
3
5
0
5
0
0
5
2
−1 1
2
−1 1
2
−1 0
doprowadzimy do postaci
i dalej
.
3
1
4
0
0
0
0
0
0
1 − 3 − 2
0
0
0
0
0
0
Nietrudno zauważyć, że obie macierze mają rząd równy 2.
2