1
Istnienie rozwiązań układu równań liniowych
Definicja
Rozwiązać układ równań liniowych, to znaczy wyznaczyć zbiór jego rozwiązań, a więc
podać zbiór ciągów spełniających układ lub uzasadnić, że ten zbiór jest pusty (nie
istnieje żadne jego rozwiązanie).
Istnienie i ilość rozwiązań takiego układu rozstrzyga twierdzenie pochodzące od
Kroneckera i Capellego:
Twierdzenie
Dany jest układ m równań liniowych o n niewiadomych A
m x n
⋅
X
n
= B
m
. Ten układ ma
rozwiązanie jedynie wtedy, gdy rząd macierzy A
m x n
współczynników układu jest równy
rzędowi macierzy uzupełnionej [A
m x n
| B
m
], czyli: R(A) = R([A|B]) = r.
Twierdzenie to rozstrzyga problem istnienia rozwiązań. Z niego wynika, że jeśli te rzędy
nie są równe, to układ nie ma rozwiązań.
Przykład 1.
Układ
=
+
=
+
8
6
4
5
3
2
y
x
y
x
nie ma rozwiązań, bo
a)
macierz współczynników A =
6
4
3
2
można przekształcić (operacje elementarne –
od w
2
odejmujemy 2 w
1
) do postaci
0
0
3
2
, i dalej
0
0
0
1
, a więc jej rząd jest 1.
b)
macierz uzupełnioną [A|B] =
8
6
4
5
3
2
przekształcamy do postaci
8
0
0
5
3
2
,
i dalej
0
1
0
0
0
1
co oznacza, że jej rząd jest 2.
Przykład 2.
Natomiast układ
=
+
=
+
10
6
4
5
3
2
y
x
y
x
ma rozwiązanie, bo:
2
a)
macierz współczynników A =
6
4
3
2
można przekształcić do postaci
0
0
3
2
, co
oznacza, że jej rząd jest 1;
b)
macierz uzupełnioną [A|B] =
10
6
4
5
3
2
można przekształcić do postaci
0
0
0
5
3
2
,
co oznacza, że jej rząd jest 1.
Przykład 3.
Układ równań liniowych
−
=
−
=
+
=
−
=
+
2
3
4
3
1
2
3
2
y
x
y
x
y
x
y
x
ma rozwiązanie, bo macierz
współczynników
−
−
3
1
1
3
1
2
2
1
doprowadzimy do postaci
−
0
0
0
0
1
2
0
5
oraz macierz uzupełnioną
−
−
−
2
3
1
4
1
3
1
1
2
3
2
1
doprowadzimy do postaci
−
0
0
0
0
0
0
1
1
2
5
0
5
i dalej
−
0
0
0
0
0
0
0
1
2
5
0
0
.
Nietrudno zauważyć, że obie macierze mają rząd równy 2.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
M[1][1].7. Istnienie rozwiazan ukladu rownan
08 Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
ilość rozwiązań układu równań
rozwiazanie ukladu rownan do zadania 6
03 Rozdział 02 Twierdzenie Cauchy'ego o istnieniu rozwiązania równania
03 Rozdział 02 Twierdzenie Cauchy ego o istnieniu rozwiązania równania
Rozwiązywanie układów równań
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Kochański P, Kortyka P Sposoby rozwiązywania prostych równań różniczkowych zwyczajnych
Metoda doprowadzania układu równań do postaci bazowej
4 Metody numeryczne rozwiązywania układów równań2
M[1].9. Interpretacje ukladu rownan
M[1] 7 Rozwiazywanie ukladow rownan typu Cramera
Rozwiazywanie ukladow rownan liniowych
M[1] 9 Interpretacje ukladu rownan
więcej podobnych podstron