Ruch harmoniczny wymuszony

Siła wymuszająca

Czy można podtrzymać ruch drgający pomimo istnienia sił oporu? Można, bo umiemy podtrzymać zarówno ruch wahadła zegara, jak i huśtawki, czy struny skrzypcowej. Co więcej, można wzmocnić lub wywołać ruch drgający.

Popatrz jeszcze raz na obraz z pierwszej strony tej lekcji. Obejrzyj go uważnie w powiększeniu, i odszukaj na nim siłę, która podtrzymuje ten ruch.
Ruch możemy podtrzymać poprzez przyłożenie zewnętrznej siły okresowej, co widać wyraźnie na załączonym obrazie. Zasadniczą role w podtrzymaniu tego ruchu odgrywa związek pomiędzy częstością oscylacji własnych układu, a częstością siły wymuszającej. Ruchy tego typu nazywamy oscylacjami lub drganiami wymuszonymi. Częstość tych drgań jest  narzucona przez okresową siłę wymuszającą, ale zarówno ich amplituda jak i faza zależą od relacji pomiędzy częstością siły wymuszającej a częstością drgań własnych układu. 

Równanie ruchu drgań harmonicznych wymuszonych

Zapiszmy postać siły wymuszającej Fw o amplitudzie F0 i częstości w w najprostszy sposób . (6.34) Równanie ruchu harmonicznego tłumionego z siłą wymuszającą ma postać; (6.35)

Rozwiązanie tego równania jest podobne do równania (4) ale amplituda i faza określone są przez relacje pomiędzy częstością drgań własnych, częstością siły wymuszającej oraz współczynnikiem tłumienia.

Rozwiązanie to można zapisać następująco:

(6.36)

gdzie amplituda wynosi

(6.37)

oraz faza

.

(6.38)

Szczegóły rozwiązania tego równania można znaleźć w niektórych pozycjach załączonej bibliografii.

 

Zjawisko rezonansu

Amplituda drgań określona wzorem (6.37) osiąga największą wartość gdy
, a więc gdy

.

(6.39)

 

Stan, w którym amplituda drgań osiąga największą wartość, nazywamy stanem rezonansu. Odpowiadająca częstość siły wymuszającej nosi nazwę częstości rezonansowej. Zapiszmy charakterystyczne cechy drgań wymuszonych. Układ drga z częstością siły wymuszającej i jest ruchem nie tłumionym. Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej. Amplituda osiąga wartość nieskończoną  kiedy brak jest tłumienia, a obie częstości są sobie równe, czyli częstość rezonansowa równa jest częstości drgań własnych układu. Dla wartości współczynników tłumienia różnych od zera amplituda osiąga największą wartość (czyli występuje rezonans) dla częstości określonych wzorem (6.39), a więc mniejszych od częstości drgań własnych.

Zależności te ilustruje poniższy rysunek. Kolejne numery krzywych odpowiadają zwiększającym się wartościom współczynnika tłumienia. Zwróć uwagę, że wraz ze wzrostem tłumienia:

• obniża się maksimum krzywej rezonansowej,

• położenie maksimum (częstość rezonansowa) przesuwa się w kierunku mniejszych częstości,

• krzywa rezonansowa staje się "szersza" (poszerza się w połowie swej wysokości).

Interaktywna ilustracja graficzna

Możesz także sam wprowadzić inne wartości współczynników tłumienia i obserwować kształt krzywej rezonansowej korzystając z załączonej aplikacji.

MS-Excel	Interaktywna ilustracja graficzna	Kliknij w polu rysunku.
Rys.6.4.Zjawisko rezonansu.

Ze zjawiskiem rezonansu spotykamy się często w życiu codziennym, np. drgania elementów samochodu w czasie jazdy, drgania szyb okiennych w przypadku hałasu na ulicy itp. Warto zwrócić uwagę, że już niewielkie siły wymuszające mogą doprowadzić do znacznego wzrostu amplitudy drgań i niebezpiecznych wibracji w przypadku rezonansu. Jest to szczególnie istotne przy konstrukcji mostów, skrzydeł samolotów, kadłubów okrętów itp.

---