Prognozowanie gospodarcze

SPIS TREŚCI

1. Wstęp

2. Specyfikacja zmiennych do modelu

3. Prezentacja zmiennych

4. Tabelaryczne zestawienie zmiennych

5. Dobór zmiennych objaśniających

5.1. Eliminacja zmiennych o zbyt niskim poziomie zmienności

5.2. Redukcja zbioru zmiennych objaśniających metodą analizy

macierzy współczynników korelacji

5.3. Metoda Hellwiga

6. Postać analityczna modelu ekonometrycznego

7. Weryfikacja modelu

7.1. Współczynnik determinacji R²

7.2. Współczynnik korelacji wielorakiej R

7.3. Skorygowany współczynnik determinacji

7.4. Współczynnik zbieżności Φ²

7.5. Współczynnik zmienności losowej

7.6. Błędy standardowe oszacowań współczynników

7.7. Błędy procentowe oszacowania współczynników modelu

7.8. Test dla współczynnika korelacji liniowej

7.9. Test Walda

7.10. Test Durbina - Watsona

7.11. Test istotności parametrów modelu

8. Prognozowanie

9. Podsumowanie

10. Literatura

11. Załączniki

1. Wstęp

Nasza praca ma na celu wybór i oszacowanie modelu ekonometrycznego badanego zjawiska. Głównym celem konstrukcji naszego modelu ekonometrycznego jest jego wykorzystanie do prognozowania wartości endogenicznej w okresie poza próbą statystyczną, na podstawie której będzie ona objaśniana, poprzez zbudowany w tym celu odpowiedni model.

Ogólną konstrukcję naszego modelu ekonometrycznego przedstawia równanie:

Y = ƒ (X, ξ)

gdzie:

y - wektor zmiennej objaśniającej (endogenicznej)

X - macierz zmiennych objaśniających (egzogenicznych)

ξ - wektor składników losowych

Zmienna objaśniana, stanowi zjawisko, które chcemy poznać. Zmienne objaśniające wyrażają zjawiska, które wpływają na kształtowanie się zjawiska podlegającego badaniu. Przy budowie modeli ekonometrycznych istotne znaczenie ma dostępność zmiennych objaśniających zarówno dla okresu przeszłego jak i ich prognoz na przyszłość.

Za cel stawiamy sobie osiągnięcie modelu, który będzie w jak najlepszym stopniu odwzorowywał rzeczywistość (jak najwyższe R²). W jego szacowaniu posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów. Obliczenia zostaną wykonane za pomocą pakietu SPSS. Badanie wybranego zjawiska zostało oparte na danych rzeczywistych uzyskanych z roczników statystycznych GUS.

2. Specyfikacja zmiennych do modelu

Problem specyfikacji zmiennych dla naszego modelu polegał na określeniu listy zmiennych, które powinny znaleźć się w modelu. Jako temat naszego opracowania wybieramy zagadnienie związane z przyrostem naturalnym, a dokładniej z ilością porodów. W ostatnich latach w Polsce obserwowany jest ujemny przyrost naturalny. Zbyt mała liczba przyszłych pracowników, a co za tym idzie mniejsze składki odprowadzane na ubezpieczenia społeczne mogą nie wystarczyć na zapewnienie godziwego życia przyszłym emerytom (mamy tu na myśli tzw. „solidarność pokoleniową”). Zbadamy jakie zjawiska mają głównie wpływ na liczbę dzieci.

Poniżej przedstawiamy listę zmiennych, które naszym zdaniem powinny być uwzględnione przy konstrukcji modelu ekonometrycznego.

Zmienna objaśniana

y - liczba porodów

Zmienne objaśniające

x₁ - stopa bezrobocia rejestrowanego

x₂ - liczba oddanych do użytku mieszkań

x₃ - średnia miesięczna płaca nominalna

x₄ - liczba małżeństw zawartych w danym roku

x₅ - liczba małżeństw zawartych w roku poprzednim

x₆ - liczba małżeństw zawartych przed dwoma laty

x₇ - liczba małżeństw zawartych przed trzema laty

x₈ - wielkość sprzedanych środków antykoncepcyjnych w badanym roku

Zbiór zmiennych został przez nas dobrany poprzez merytoryczną analizę badanego zjawiska. Wybrane zmienne objaśniające, naszym zdaniem powinny wyjaśniać kształtowanie się badanego zjawiska. Wśród wyżej wymienionych zmiennych objaśniających wyodrębnimy zmienne objaśniające silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą, a zarazem stosunkowo słabo skorelowane między sobą. Do realizacji tego zamierzenia jak również badania zjawiska posłużymy się SPSS.

SPSS - wielomodułowy pakiet programowy do analizy danych. Jest to rozbudowany system analizy danych zdolny do współpracy z wieloma rodzajami danych i potrafiący korzystać z różnych formatów plików arkuszy kalkulacyjnych i baz danych. Zawiera procedury generujące zarówno proste statystyki opisowe jak i analizy statystyczne. Jego zaletą są bogate i urozmaicone możliwości prezentacji danych (tabele, raporty, wykresy).

3. Prezentacja zmiennych

Prezentowany przez nas model opisuje zależność w okresie 1990 - 2001 pomiędzy y - liczbą porodów w badanym okresie w tysiącach od pewnych wielkości występujących w tymże okresie. Tymi różnymi wielkościami mogącymi mieć, naszym zdaniem wpływ na wielkość zmiennej objaśnianej są:

x₁ - stopa bezrobocia rejestrowanego (średnia w roku) (w procentach),

Jest to stosunek liczby bezrobotnych zarejestrowanych do liczby cywilnej ludności aktywnej zawodowo, tj. bez osób odbywających czynną służbę zawodową oraz pracowników jednostek budżetowych prowadzących działalność w zakresie obrony narodowej i bezpieczeństwa publicznego.

x₂ - liczba oddanych do użytku mieszkań (w tysiącach),

Dane rzeczywiste zawarte w tabeli zawierają wszystkie nowo oddane do użytku lokale składające się z jednej lub kilku izb łącznie z pomieszczeniami pomocniczymi wybudowane lub przebudowane dla celów mieszkalnych (np. hotele robotnicze, internaty) dla jednej rodziny, konstrukcyjnie wydzielone trwałymi ścianami (również przebudowy pomieszczeń niemieszkalnych) w obrębie budynku, do którego to lokalu prowadzi niezależne wejście z klatki schodowej, ogólnego korytarza bądź bezpośrednio z ulicy, podwórza lub ogrodu. Informacje za poszczególne lata dotyczą między innymi budownictwa spółdzielczego, komunalnego (gminnego), zakładowego i budownictwa indywidualnego.

x₃ - średnia miesięczna płaca nominalna (w złotych) (przeciętne miesięczne wynagrodzenie),

Dane statystyczne średniej płacy nominalnej obejmują wypłaty pieniężne oraz wartość świadczeń w naturze bądź ich ekwiwalenty należne pracownikom z tytułu pracy. Składnikami średniej płacy są: wynagrodzenia osobowe, wypłaty z tytułu udziału w zysku, dodatkowe wynagrodzenie roczne, wynagrodzenie bezosobowe, honoraria (np. wypłacone dziennikarzom, realizatorom filmów, programów radiowych i telewizyjnych). Do obliczenia wynagrodzenia przyjęto sumę wypłat za cały miesiąc z uwzględnieniem wypłat dokonanych za okresy dłuższe niż miesiąc w przeliczeniu na jeden miesiąc. Dane o wynagrodzeniach podane są w ujęciu brutto, tj. łącznie z zaliczkami na poczet podatku dochodowego od osób fizycznych. Dla danych GUS z lat 1990 i 1991 (podane są wartości netto) zastosowaliśmy wskaźnik przeliczeniowy o wartości 1,20. W danych za okres 1990 - 1994 została uwzględniona denominacja. Wiedząc, że dane z lat 1999 - 2001 opublikowane przez GUS zawierają średnie płace już ubruttowione, aby urealnić obserwacji, uwzględniliśmy współczynnik o wartości 0,82, dzięki któremu dokonano korekty danych średniej płacy. W zestawieniu tabelarycznym zawarte są dane statystyczne z uwzględnieniem wyżej wymienionych współczynników:

x₄ - liczba małżeństw zawartych w danym roku (w tysiącach),

x₅ - liczba małżeństw zawartych w roku poprzednim (w tysiącach),

x₆ - liczba małżeństw zawartych dwa lata wcześniej (w tysiącach),

x₇ - liczba małżeństw zawartych trzy lata wcześniej (w tysiącach).

Ponieważ poród jest wynikiem podjętej wcześniej decyzji o prokreacji, a zatem na decyzję tę mają wpływ dane o zawartych małżeństwach z bieżącego roku, jak i z lat poprzednich. Uznaliśmy, że przyjęcie do badań danych o liczbie zawartych małżeństw w roku badanym jak i z lat poprzednich będzie sensowne.

x₈ - wielkość sprzedanych środków antykoncepcyjnych,

Ze względu na niemożliwe uzyskanie danych statystycznych w tym zakresie, tą zmienną objaśniającą odrzucamy już na wstępie.

4. Tabelaryczne zestawienie zmiennych

TU WSTAWIMY TABELĘ

5. Dobór zmiennych objaśniających

Dobór zmiennych objaśniający polega na określeniu listy zmiennych, które powinny znaleźć się w modelu. Pożądane własności zmiennych objaśniających to:

• odpowiednio wysoka zmienność,

• silna korelacja ze zmienną objaśnianą,

• słaba korelacja z innymi zmiennymi objaśniającymi.

Mając zestaw potencjalnych zmiennych objaśniających x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, oraz zestawienie danych statystycznych będących realizacjami zmiennych objaśniających x_i i objaśnianej y, do wyboru zmiennych objaśniających możemy zastosować jedną z wielu metod matematyczno-statystycznych doboru zmiennych objaśniających.

5.1. Eliminacja zmiennych o zbyt niskim poziomie zmienności

Warunkiem uznania pewnych cech (charakterystyk) za zmienne objaśniające jest ich dostateczna zmienność. Miarą zmienności jest stosunek odchylenia standardowego zmiennej x_i i jej wartości średniej. Wartości te wyznaczymy według wzoru:

gdzie:

S_i - odchylenie standardowe zmiennej x_i

Zasada stosowania tej metody polega na wyznaczeniu krytycznej wartości współczynnika zmienności V*, a zmienne spełniające nierówność:

V_i ≤ V*

uznaje się za quasi - stałe i eliminuje z określonego na wstępie zbioru zmiennych, albowiem wnoszą one zbyt małą informację.

Zakładamy wartość graniczną:

V* = 0,2

Za pomocą pakietu SPSS wyznaczamy wartości statystyki opisowej naszych zmiennych, tj. wartości średnie i odchylenia standardowe, załącznik nr ......, następnie obliczamy współczynniki zmienności poszczególnych zmiennych x_i

Wniosek: eliminujemy V₄, V₅, V₆, V₇.

Zmienne x₄, x₅, x₆, x₇ wnoszą zbyt małą informację.

Nasz model ma postać:

y = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + ξ

5.2. Redukcja zbioru zmiennych objaśniających metodą analizy macierzy współczynników korelacji

Metoda ta zakłada, że dysponujemy macierzą

R = [r_ij] _{(1+ M) * (1 + M)}

współczynników korelacji pomiędzy zmienną objaśnianą oraz potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi (pierwszy wiersz macierzy), jak i pomiędzy poszczególnymi parami zmiennych objaśniających, tzn.

R =

gdzie:

r_ij - współczynnik korelacji pomiędzy i - tą i j - tą zmienną (przy czym indeksem 0 oznaczana jest zmienna objaśniana),

i = 0,1, ..., M ; j = 0,1, ..., M

M - liczba potencjalnych zmiennych objaśniających

Idea metody analizy macierzy współczynników korelacji sprowadza się do wyboru takich zmiennych objaśniających, które są silnie skorelowane ze zmienną objaśnianą i jednocześnie słabo skorelowane między sobą.

Zakładamy poziom istotności α oraz N - 2stopni swobody. Wyznaczymy tzw. krytyczną wartość współczynnika korelacji według wzoru:

gdzie:

I* - wartość statystyki odczytana z tablic testu T - Studenta dla α oraz N - 2 stopni swobody.

W naszym zadaniu zakładamy poziom istotności α = 0,05, zaś liczba stopni swobody przy N = 12 wynosi 12 - 2 = 10. Za pomocą tablic T - Studenta odczytujemy wartość statystyki I* = 2,228. Wyznaczamy krytyczną wartość współczynnika korelacji:

Ze zbioru zmiennych objaśniających eliminujemy te wszystkie zmienne, dla których zachodzi nierówność:

(są to zmienne nieistotnie skorelowane ze zmienną y) i tworzymy macierz R', gdzie elementami tej macierzy są następujące liczby:

Ze zbioru pozostałych zmiennych objaśniających jako zmienną objaśniającą powołuje się taką zmienną x_n dla której:

taka x_n jest nośnikiem największego zasobu informacji o zmiennej y. W naszym zadaniu taką zmienną jest zmienna x₃.

Z pozostałego zbioru potencjalnych zmiennych objaśniających eliminuje się te wszystkie zmienne dla których:

Są to zmienne zbyt mocno skorelowane ze zmienną x₃, czyli są zmiennymi, które powielają informację x₃.

Wniosek: dokonaliśmy wyboru zmiennych x₁ i x₃ jako zmienne objaśniające. Nasz model ekonometryczny po procedurze doboru zmiennych objaśniających ma postać:

Y = a + b₁x₁ + b₃x₃ + ξ

5.3. Metoda Hellwiga

Metoda Hellwiga polega na tym, że spośród zmiennych objaśniających tworzy się wszystkie możliwe kombinacje tych zmiennych, a następnie bada się tzw. integralną pojemność informacji jaką niesie za sobą zastosowanie każdej z możliwych kombinacji tych zmiennych.

M oznacza w naszym zadaniu liczbę potencjalnych zmiennych objaśniających. Proces wyboru zmiennych objaśniających do modelu jest następujący:

1. Tworzymy wszystkie możliwe kombinacje potencjalnych zmiennych objaśniających, które można utworzyć z M zmiennych. Ich liczba jest równa liczbie wszystkich możliwych podzbiorów zbioru M - elementowego, czyli N = 2^M - 1. W naszym przypadku gdybyśmy chcieli zastosować tę metodę na początku otrzymamy 2⁷ - 1 = 127 kombinacji. Jest to bardzo duża liczba podzbiorów. Ale można tę metodę zastosować po dokonaniu eliminacji zmiennych o zbyt niskim poziomie zmienności i wówczas mając M' = 3 zmienne objaśniające, to można utworzyć 2³ - 1 = 7 kombinacji zmiennych:

K₁ = {x₁} K₂ = {x₂} K₃ = {x₃} K₄ = {x₁, x₂}

Kk₅ = {x₁, x₃} K₆ = {x₂, x₃} K₇ = {x₁, x₂, x₃}

gdzie:

K_n - n-ta kombinacja zmiennych dla n = 1, 2, ..., 7

x_i - i-ta potencjalna zmienna objaśniająca dla i = 1, 2, 3

2. Dla każdej j-tej potencjalnej zmiennej objaśniającej, w każdej kombinacji w. n-tej oblicza się tzw. indywidualną pojemność informacji b_nj bez zmiennej w tej kombinacji według wzoru:

gdzie:

- zbiór indeksów zmiennych wchodzących w skład n-tej kombinacji, tj. kombinacji K_n

b_nj - indywidualna pojemność j-tej zmiennej w n-tejkombinacji

r_oj - współczynnik korelacji j-tej potencjalnej zmiennej objaśniającej ze zmienną endogeniczną (objaśnianą)

- suma bezwzględnych wartości współczynników korelacji j-tej potencjalnej zmiennej objaśniającej z pozostałymi występującymi w danej kombinacji, tzn. w kombinacji K_n

W naszym zadaniu mając następujące dane:

r₀₁ = -0,467 r₁₁ = 1 r₁₂ = r₂₁ = -0,550

r₀₂ = 0,669 r₂₂ = 1 r₁₃ = r₃₁ = 0,386

r₀₃ = -0,368 r₃₃ = 1 r₂₃ = r₃₂ = -0,494

Obliczamy indywidualną pojemność informacji

3. Kolejnym etapem jest obliczenie integralnej pojemności potencjalnych zmiennych objaśniających H_n jako sumy pojemności indywidualnych w ramach każdej kombinacji, według wzoru:

Wracając do naszych danych otrzymujemy:

H₁ = b₁₁ = 0,218

H₂ = b₂₂ = 0,4476

H₃ = b₃₃ = 0,937

H₄ = b₄₁ + b₄₂ = 0,4294

H₅ = b₅₁ + b₅₃ = 0,8333

H₆ = b₆₂ + b₆₃ = 0,9268

H₇ = b₇₁ + b₇₃ = 0,83

Jako zmienne objaśniające wybrać należy zmienne należące do tej kombinacji n*, której odpowiada największa wartość H_n, tzn. reguła decyzyjna jest następująca:

K_opt H_opt = max {H_n : n = 1, 2, ..., 2³ - 1}

Wniosek: należy wybrać kombinację K₃ = {x₃} jako zmienne objaśniające do naszego modelu ekonometrycznego.

Nasz model ekonometryczny miałby wówczas postać:

y = a + b₃x₃ + ξ

6. Postać analityczna modelu ekonometrycznego

Po procesie doboru zmiennych objaśniających ogólna postać naszego modelu liniowego z dwoma zmiennymi objaśniającymi jest następująca:

y = β₀ + β₁x₁ + β₃x₃ + ξ

gdzie:

y - zmienna objaśniana (liczba porodów)

x₁ - zmienna objaśniająca (stopa bezrobocia)

x₃ - zmienna objaśniająca (średnia płaca)

β_i - parametry strukturalne i = 0, 1, 3

ξ - składnik losowy

Założenia

Niech:

n = 12 - liczba obserwacji

t = 1, 2, ..., 12 - numery obserwacji

y_t, ξ_t, x_t1, x_t3 - zaobserwowane wartości zmiennej objaśniającej, składnika losowego i zmiennych objaśniających t = 1, 2, ..., 12

Założenie 1

y_t = β₀ + β₁x_t1 + β₃x_t3 + ξ_t

dla t = 1, 2, ..., 12

Model w powyższej postaci jest niezmienniczy, ze względu na obserwacje tzn. postać modelu i wzajemne oddziaływania zmiennych są stałe aż do momentu prognozowania włącznie. Model regresji jest liniowy względem parametrów.

Założenie 2

x_t1, x_t3 - zmienne objaśniające są nielosowe, a ich wartości to ustalone liczby rzeczywiste i liniowo niezależne.

Rozkład zmiennej objaśnianej y_t nie jest warunkowy względem x_ti.

Założenie 3

ξ_t - składnik losowy, jest niezależną zmienną losową i ma rozkład normalny N(0, 8)

Oznacza to, że

E(ξ_t) = 0

Cov (ξ_t, ξ_ţ) = 0 t = ţ

D² (ξ_t) = σ²

Wynika to z założeń:

• wraz ze wzrostem rozmiarów próby rozkłady statystyczne są zbieżne do rozkładu normalnego,

• odchylenie zmiennej losowej od jej wartości średniej uważa się za błąd podlegający „prawu błędów” (opisywany przez rozkład normalny). Występujące zakłócenia, które reprezentuje składnik losowy ξ_t mają tendencję do wzajemnej redukcji,

• brak autokorelacji składnika losowego,

• niezmienność w czasie wariancji składnika losowego.

Założenie 4

Informacje zawarte w próbie są jedynymi na podstawie których dokonuje się estymacji parametrów modelu.

Wyżej wymienione założenia definiują model liniowej regresji.

Zapis naszego modelu ekonometrycznego w postaci macierzowej

Zatem powyższy model można zapisać w postaci:

Y = βX

Parametry strukturalne modelu: β, σ²

Stosując metodę najmniejszych kwadratów przy pomocy pakietu SPSS otrzymujemy wektor estymatorów parametrów strukturalnych b ≈ β.

Estymacja parametrów strukturalnych metodą najmniejszych kwadratów polega na minimalizacji następującej funkcji kryterium:

→ min

gdzie:

e_t - reszta modelu określana jako różnica między wartością rzeczywistą, a wynikającą z modelu wartością teoretyczną zmiennej Y w chwili t, tzn.

gdzie:

y_t - wartość rzeczywista zmiennej y

- wartość teoretyczna zmiennej y wynikająca z modelu

Estymatory parametrów strukturalnych wyznaczone za pomocą SPSS:

1. punktowe

b₀ = 567,037

b₁ = -1,962

b₃ = -0,111

2. przedziałowe dla poziomu istotności 0,05

b₀ = <527,236 ; 606,838>

b₁ = <-5,273 ; 1,353>

b₃ = <-0,134 ; -0,089>

Oszacowany model przybiera następującą postać:

7. Weryfikacja modelu

7.1. Współczynnik determinacji R²

Współczynnik determinacji R² wyznaczony został za pomocą pakietu SPSS.

R² = 0,948

Współczynnik R² jest bliski 1, oznacza to bardzo dobre dopasowanie modelu regresji do wartości empirycznych. Model ekonometryczny wyjaśnia (opisuje) w 94,8% badane zjawisko, czyli inaczej mówiąc zawiera 94,8% rzeczywistych obserwacji.

7.2. Współczynnik korelacji wielorakiej R

Jest to współczynnik pomiędzy zmienną endogeniczną i zmiennymi ......................, im bliższy jest jedności tym model jest lepiej dopasowany.

7.3. Skorygowany współczynnik determinacji

Zwiększenie liczby zmiennych objaśniających oraz mniej liczna próba obserwacji, zmniejsza wartość R² (współczynnik determinacji) co utrudnia porównywanie modeli. Z tego powodu stosuje się, wolny od tej wady skorygowany współczynnik determinacji. Zdefiniowany jest on następująco:

Wartość skorygowanego współczynnika determinacji oznacza, że nasz model ekonometryczny jest bardzo dobrze dopasowany do wartości empirycznych.

7.4. Współczynnik zbieżności φ²

Φ² = 1 - R²

Φ² = 1 - 0,948 = 0,052

Jest to część zaobserwowanej zmienności y nie wyjaśnionej przez model. Im Φ² bliższy zeru tym model jest lepiej dopasowany. Φ² zawiera się w przedziale <0, 1>.

7.5. Współczynnik zmienności losowej

Wartość współczynnika zmienności losowej mówi o tym, że średnia różnica między wartością z modelu a wartością empiryczną wynosi 3,35%, możemy przyjąć, że zmienność tych różnic jest mała.

7.6. Błędy standardowe oszacowań współczynników

Błędy standardowe oszacowań współczynników modelu regresji wynoszą:

dla b₀ : S₀ = 17,594

dla b₁ : S₁ = 1,464

dla b₃ : S₃ = 0,010

7.7. Błędy procentowe oszacowania współczynników modelu

Odpowiednie błędy procentowe wyznaczymy ze wzoru:

dla b₀

dla b₁

dla b₃

Przyjmuje się, że jeżeli dowolne S_bi przekracza 50%, to model nie powinien być zweryfikowany pozytywnie. W naszym przypadku wartość ta przekracza tylko S_bi, nie mniej jednak biorąc pod uwagę pozostałe miary dopasowania przyjmujemy tak skonstruowany model ekonometryczny.

7.8. Test dla współczynnika korelacji liniowej

(nieznanego dla populacji generalnej)

Sprawdzeniu podlega hipoteza H₀ (p = 0) (brak korelacji pomiędzy zmiennymi)

H₁ (p ≠ 0)

Wartość statystyki wyznaczamy według wzoru:

Zbiór krytyczny:

K = (- ∞; -2,262> u <2,262 : +∞)

Decyzja: H₀ odrzucamy gdyż wartość statystyki testowej jest większa od wartości odczytanej z tablic rozkładu T-Studenta.

Wniosek: istnieją liniowe zależności (korelacje) między zmiennymi.

7.9. Test Walda

Dla poziomu istotności 0,05 rozpatrzymy uogólniony test Walda.

Wysuwamy dwie hipotezy:

H₀ (β₁ = β₃ = 0)

H₁ (co najmniej jedno β₁ ≠ 0 i = 1,3)

Dla weryfikacji hipotezy zerowej stosujemy statystykę testową o postaci:

Rozpatrujemy zbiór krytyczny K = <k : +∞) gdzie k odczytujemy dla poziomu istotności 0,05 z tablicy rozkładu F - Snedecora dla (k, n - (k + 1)) stopni swobody H₀ odrzucamy, jeżeli wartość F jest większa od wartości odczytanej z tablic rozkładu F - Snedecora, czyli gdy F∈ K.

Jeżeli F ∉ K, to nie ma podstaw do odrzucenia H₀.

W naszym przypadku:

Z Tablicy F - Snedecora odczytujemy wartość k_{(2 ; 9)}

Dla poziomu istotności 0,05:

K = 4,26

Decyzja: ponieważ k < F to hipotezę H₀ odrzucamy.

Decyzja: ponieważ k < F, więc F ∈ K, to hipotezę H₀ odrzucamy.

Wniosek: Współczynniki są istotne dla naszego modelu ekonometrycznego.

7.10. Test Durbina - Watsona

Test Durbina - Watsona polega na badaniu autokorelacji reszt. Rozpatrujemy hipotezę: H₀ (reszty nie są skorelowane) tzn. H₀ (p = 0).

Obliczamy wartość statystyki według wzoru:

w naszym zadaniu:

U_n = 0,969

Wartość statystyki U_n ∈ <0 ; 4>

Dla reszt nieskorelowanych U_n ≈ 2

Z tablic rozkładu D - W dla α = 0,05 odczytujemy wartości dla n = 12 i k = 2

k_L = 0,812 k_u = 1,579

Jeżeli U_n < 2, to rozpatrujemy hipotezę alternatywną:

H₁ (reszty są skorelowane dodatnio), tzn. H₁ (p>0)

Przyjmuje się następującą regułę decyzyjną:

jeśli U_n < k_L to H₀ odrzucamy

jeśli U_n > k_u to nie ma podstaw do odrzucenia H₀

jeśli k_L ≤ U_n ≤ k_u to nie podejmujemy decyzji

W naszym przypadku

U_n = 0,969

więc:

0,812 < 0,969 < 1,579

Wniosek: badanie autokorelacji reszt poprzez test Durbina - Watsona nie pozwala nam na podjęcie decyzji, że reszty nie są skorelowane.

7.11. Test istotności parametrów modelu

Dla poziomu istotności 0,05 rozpatrujemy test istotności dla poszczególnych parametrów. Przy badaniu istotności parametrów przyjmujemy:

Β_i = 0 , i = 1, 3

tzn. rozpatrujemy dwie hipotezy:

H₀ (β_i = 0) ; H₁ (β_i ≠ 0)

Rozpatrujemy statystykę:

mamy dla:

Zbiór krytyczny K = (-∞ ; -k> u <k ; +∞)

Odczytujemy z tablic rozkładu T - Studenta wartość k, czyli k = 2,262

Tak więc zbiór krytyczny K = (-∞ ; -2,62> u <2,62 ; +∞)

U₁ ∉ K ; U₂ ∈ K

jeśli U_i ∈ K to hipotezę H₀ odrzucamy

jeśli U_i ∉ K to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀

Pożądane jest odrzucenie hipotezy H₀ albowiem w przeciwnym przypadku mielibyśmy do czynienia z sytuacją gdy określona zmienna x nie ma wpływu na zmienną y.

Decyzja: w przypadku zmiennej x₁ nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, zaś w przypadku zmiennej x₃ hipotezę H₀ odrzucamy.

Wniosek: Zmienna x₁ nie ma istotnego wpływu na zmienną y, czyli stopa bezrobocia nie ma istotnego wpływu na zmienną y, czyli średnia płaca nominalna ma wpływ na liczbę porodów.

8. Prognozowanie

Przy założeniu, że skorzystamy z naszego modelu ekonometrycznego:

y = 567,037 - 1,962x₁ - 0,111x₃

dokonaliśmy prognoz przy z góry określonej stopie bezrobocia i średniej płacy nominalnej.

Prognoza 1

Zakładamy, że stopa bezrobocia wyniesie 17%, a średnia miesięczna płaca nominalna 1700,00 zł (czyli x₁ - 17,00 ; x₃ = 1700,00). Należy spodziewać się, że liczba porodów będzie wynosiła 344,983.

Prognoza 2

Gdy stopa bezrobocia będzie wynosiła 17,5%, a średnia płaca 1700,00, to prognozowana jest liczba porodów o wielkości 344,002.

Prognoza 3

Gdy stopa bezrobocia będzie wyrażała się wielkością 16%, a średnia płaca 1700,00 zł, to spodziewane jest 346,945 porodów.

Prognoza 4

Gdy stopa bezrobocia będzie w granicach 15%, a płace średnie 1700,00 zł, to liczba porodów wyniesie 348,907.

Prognoza 5

Gdy stopa bezrobocia spadnie do 14%, a średnia płaca pozostanie na niezmienionym poziomie, tj. 1700,00 zł, to spodziewane jest 350,869 porodów.

Prognoza 6

Gdy stopa bezrobocia wyniesie 14%, a średnia płaca 1690,00 zł (czyli zostanie obniżona w stosunku do prognozy 5), to liczba porodów wzrośnie do 351,979, czyli o 1110.

Prognoza 7

Gdy stopa bezrobocia będzie na poziomie 13,5%, a średnie płace na poziomie 1700,00zł, to prognozowane jest 351,850 porodów.

9. Podsumowanie

Nasz model ekonometryczny ma analityczną postać liniową. Przy testowaniu hipotez przyjęliśmy poziom istotności 0,05 co oznacza, że przeciętnie tylko w pięciu próbach na sto otrzymane przedziały ufności nie będą zawierały rzeczywistej wartości parametrów. Poziom istotności nie może być zbyt wysoki. Jeśli zmniejszymy wartość poziomu istotności, to wzrośnie nam długość przedziału ufności i spadnie jakość oszacowania parametrów strukturalnych. Aby poprawić jakość oszacowania parametrów przedziałem ufności, należałoby zwiększyć liczebność próby.

Współczynnik determinacji jest bliski jedności, co oznacza, że przyjęty przez nas model ekonometryczny w 94,8% wyjaśnia (opisuje) badane zjawisko. Ze względu na małą ilość obserwacji (N = 12) badanego zjawiska posłużyliśmy się również skorygowanym współczynnikiem determinacji. Współczynnik ten w dokładniejszym stopniu określa nam dopasowanie modelu ekonometrycznego. Wartość tego współczynnika mówi nam, że model przyjęty przez nas w 93,7% zawiera rzeczywiste obserwacje badanego zjawiska.

Współczynnik zbieżności jest bliski zeru, to też świadczy o bardzo dobrym dopasowaniu. Wskazuje on, że zmienność w badanym okresie nie została wyjaśniona w 5,2% badanego zjawiska.

Współczynnik zmienności losowej informuje nas, że 3,35% średniej wartości badanego zjawiska stanowi odchylenie standardowe reszt. Współczynnik ten wyjaśnia nam, że przypadkowe odchylenia (nie wyjaśnione przez model) od średniego poziomu zmienności danych zmiennych w latach 1990 - 2001 stanowią zaledwie 3,35%. Świadczy to o małej zmienności danych losowych nie uwzględnionych w naszym modelu ekonometrycznym.

Wyżej wymienione miary dopasowania wskazują na bardzo dobre dopasowanie modelu do rzeczywistych obserwacji badanego zjawiska. Niemniej nasuwają się nam pewne wątpliwości co do jakości naszego modelu ekonometrycznego. Przyczyną tego jest brak jednoznacznej odpowiedzi co do autokorelacji reszt. Nie możemy jednoznacznie stwierdzić, że reszty nie są skorelowane.

Estymacja przedziałowa parametru b₁ pokazuje nam, że ten parametr może przyjąć również wartość zero. Potwierdzeniem tego faktu jest test istotności parametrów strukturalnych w przyjętym przez nas modelu ekonometrycznym. Test ten wskazuje na brak istotnego wpływu stopy bezrobocia na liczbę porodów, co w pewnym sensie podważa jakość naszego modelu. Zatem należało dokonać doboru zmiennych objaśniających metodą Hellwiga i przyjąć model o kombinacji zmiennych, który zawiera największą tzw. integralną pojemność informacji, czyli kombinację K₃ = {x₃}. Wówczas nasz model miałby postać y = b₀ + b₃x₃, czyli zawierałby tylko jedną zmienną objaśniającą badane przez nas zjawisko. Jednak w tak skonstruowanym modelu ekonometrycznym test Durbina - Watsona wskazuje na odrzucenie hipotezy H₀ (reszty nie są skorelowane) co znaczy, że reszty są skorelowane dodatnio.

Przyjęty przez nas model liniowy należałoby odrzucić. Do konstrukcji nowego modelu ekonometrycznego należy wybrać inny zbiór zmiennych objaśniających, np. zamiast średniej płacy nominalnej, jako zmienną objaśniającą przyjąć średnią płacę realną lub też z początkowego zbioru zmiennych objaśniających odrzucić zmienną - średnia płaca nominalna.

10. Literatura

1. Cieślak Maria, Prognozowanie gospodarcze. Metody i zastosowania, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2002.

2. Gruszczyński Marek, Podgórska Maria, Ekonometria, Szkoła Główna Handlowa, Warszawa 2000.

3. Kowalski Lucjan, Wydział Cybernetyki WAT, Warszawa 2001.

4. Manikowski Arkadiusz, Tarapata Zbigniew, Prognozowanie i symulacja rozwoju przedsiębiorstw, Wyższa Szkoła Ekonomiczna, Warszawa 2002.

5. Pierzchała Dariusz, Wykłady z Prognozowania i symulacji, Wydział Cybernetyki WAT, Warszawa 2003.

---