Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa

w Białej Podlaskiej

Laboratorium 2

Analiza i Przetwarzanie Sygnałów

Temat: Analiza i przetwarzanie sygnałów dwuwymiarowych w oparciu o metody częstotliwościowe oraz filtracje przestrzenną.

Opracował: Tomasz Grudniewski

Biała Podlaska 02.02.04

1 Wprowadzenie

Percepcja człowieka umożliwia mu odbieranie i analizowanie skomplikowanych sygnałów z otaczającego go świata. Sygnałem dającym człowiekowi najwięcej informacji o otoczeniu jest sygnał dwuwymiarowy docierający do zmysłu wzroku. Postrzegany przez człowieka sygnał jest bardzo często zniekształcony lub istnieje potrzeba wycięcia ze skomplikowanej struktury sygnału dwuwymiarowego danych najbardziej obserwatora interesujących. Dotychczasowe prace nad analizą i obróbką sygnałów dwuwymiarowych polegały na zastosowaniu skomplikowanych układów optycznych (procesorów optycznych). Z rozwojem technik akwizycji oraz cyfrowej obróbki sygnałów, kosztowne układy procesorów optycznych można z powodzeniem zastąpić analizą i obróbka danych obrazowych przez komputer.

Dziedzina ta obejmuje jednak znacznie szersze zagadnienia związane zarówno z pozyskiwaniem obrazu cyfrowego, jego przetwarzaniem jak i transmisją i przechowywaniem. Zasadniczo możemy wyróżnić następujące dziedziny ściśle związane z cyfrowym przetwarzaniem sygnałów dwuwymiarowych - obrazów:

próbkowanie i kwantyzacja obrazu

modelowanie i reprezentowanie obrazów cyfrowych

metody poprawy jakości obrazu cyfrowego

metody rekonstrukcji obrazów cyfrowych

analiza obrazów cyfrowych

konstruowanie trójwymiarowych obrazów cyfrowych

kompresja obrazów cyfrowych

Podstawowym celem stosowania technik poprawy jakości obrazu (korekcji sygnału dwuwymiarowego) jest takie jego przetworzenie, aby sygnał uzyskany w wyniku ich działania był bardziej odpowiedni dla konkretnego zastosowania niż sygnał pierwotny. Zwrot „konkretne zastosowanie" jest tu szczególnie ważny - każda próba korekcji sygnału musi rozpocząć się od zdecydowania, jaką cechę sygnału należy uwypuklić z punktu widzenia danego zastosowania. Ogromna różnorodność problemów, z którymi można się spotkać podczas procesu korekcji sygnałów dwuwymiarowych powoduje, że brak jest metod uniwersalnych. Dla każdego sygnału wymagane jest indywidualne pod względem wykorzystywanych metod korekcji, poparte zazwyczaj doświadczeniem operatora systemu. Najczęściej algorytmy poprawy jakości sygnałów dwuwymiarowych - obrazów mają za zadanie:

zwiększenie kontrastowości obrazów,

wyostrzenie konturów,

usunięcie drobnych zniekształceń o charakterze losowym,

wygładzenie kształtów,

kompensację wpływu zakłóceń określonego rodzaju.

Podczas trwania tego ćwiczenia zapoznamy się z dwiema metodami obróbki (poprawy jakości) sygnału dwuwymiarowego. Do najpopularniejszych metod możemy zaliczyć metody wykorzystujące widmo częstotliwościowe obrazu (operacje na transformacie Fouriera) oraz metody wykorzystujące filtrację przestrzenną obrazu.

2 Metody częstotliwościowe

W metodach częstotliwościowych przekształcana jest transformata (np. Fouriera) funkcji jasności, a więc wszelkiego rodzaju procesy wykonywane są w przestrzeni transformaty. Obraz wynikowy uzyskuje się przez obliczenie transformaty odwrotnej. Metody częstotliwościowe wymagają znacznie większych nakładów obliczeniowych w porównaniu z metodami przestrzennymi. Są one jednak bardziej dokładne niż metody przestrzenne ze względu na fakt, że filtracja obejmuje jednocześnie wszystkie punkty obrazu (zamienione na częstotliwości przestrzenne), a nie tylko pewne ograniczone otoczenie piksela (jak w metodach przestrzennych). Ponadto metody częstotliwościowe umożliwiają eliminację bądź kompensację czynników, których charakter jesteśmy w stanie określić (niejednorodność oświetlenia, wady geometryczne toru akwizycji obrazu, itp.). Filtry proste -dolnoprzepustowe i gómoprzepustowe pozwalają (odpowiednio) na wygładzenie funkcji jasności i podkreślenie konturów. Filtry złożone, będące odmianą filtrów prostych stosowane są przy różnych zakłóceniach o złożonym charakterze (np. różny wpływ zakłócenia w zależności od kierunku). Typowy przebieg procesu obróbki obrazu metodami częstotliwościowymi przedstawiono na rysunku.

Metody częstotliwościowe bazują najczęściej na transformacie Fouriera obrazu. W przypadku obrazów cyfrowych wzór na obliczenie Dyskretnej Transformaty Fouriera (DFT - Discrete Fourier Transform) wygląda następująco:

gdzie:

u, v - częstotliwości przestrzenne odpowiednio w kierunku pionowym i poziomym

x, y - współrzędne pikseli

M, N - rozmiary transformowanego obrazu

f (x, y) - dyskretna funkcja jasności transformowanego obrazu

Ze względu na dużą ilość obliczeń przy korzystaniu z wyżej przedstawionych wzorów, w praktyce stosuje tak zwaną szybką transformatą Fouriera (FFT).

Częstotliwości przestrzenne (u, v) określają szybkość zmian poziomów jasności w obrazie w określonym kierunku Obraz transformaty Fouriera przedstawia rozkład oraz udział poszczególnych częstotliwości przestrzennych w obrazie (patrz rysunek). Wartość współczynnika dla współrzędnych (O, 0) transformaty wskazuje udział w obrazie zerowych częstotliwości przestrzennych. W dziedzinie funkcji poziomów jasności częstotliwościom zerowym odpowiadają obszary gładkie, na których nie zachodzą żadne zmiany poziomów jasności. Dalej od środka obrazu transformaty Fouriera mamy współczynniki dla wyższych częstotliwości przestrzennych. Im wyższa wartość współczynnika tym większy udział danej częstotliwości w obrazie, im dalej od środka obrazu tym wyższe częstotliwości przestrzenne. Kierunek wektora wyznaczonego przez współrzędne (u, v) wskazuje kierunek częstotliwości przestrzennej w obrazie, natomiast jego długość określa wartość częstotliwości. Należy zauważyć, że transformata Fouriera jest symetryczna względem środka. Przedstawiony sposób interpretowania obrazu transformaty Fouriera jest oczywiście uproszczony i nie uwzględnia informacji na temat fazy, o czym trzeba pamiętać.

Transformaty Fouriera używa się najczęściej do filtrowania obrazu w dziedzinie częstotliwości przestrzennych. Poniższy rysunek przedstawia przebieg tego typu operacji. Obraz a) zawiera szereg obszarów o dużych i małych częstotliwościach przestrzennych. Duże częstotliwości odpowiadaj ą granicą dwóch obszarów o różnych poziomach jasności (granice cienia, szprychy), natomiast małe częstotliwości odpowiadają obszarom, gdzie zmiany poziomów jasności nie przebiegają tak gwałtownie (obszary cienia, łagodne cienie na czapce). Po dokonaniu transformacji Fouriera (rysunek b)) możemy wykonać filtrowanie obrazu. Rysunek c) przedstawia działanie filtru górnoprzepustowego. Wszystkie współczynniki dla niskich częstotliwości zostały wyzerowane (obszar ciemny). Po dokonaniu transformacji odwrotnej w obrazie pozostaną tylko obszary odpowiadające współczynnikom o dużej częstotliwości, co widać na rysunku d).

a)	b)
c)	d)

Transformatę Fouriera wykorzystuje się także do przeprowadzenia splotu lub rozpoltu. Splot dwóch funkcji wyraża się następującym wzorem odpowiednio w dziedzinie ciągłej i dziedzinie dyskretnej:

Okazuje się, że splot w dziedzinie funkcji poziomów jasności odpowiada mnożeniu w dziedzinie częstotliwości przestrzennych. Oznacza to, że jeżeli chcemy spleść ze sobą dwie funkcje, to wystarczy obliczyć ich transformaty Fouriera, pomnożyć je i wynik ponownie transformować do dziedziny funkcji poziomów jasności. Wbrew pozorom jest to znacznie mniej pracochłonna procedura niż wykonanie splotu bezpośrednio.

Właściwość ta jest bardzo ważna w momencie, kiedy chcemy wyeliminować z obrazu zakłócenia pochodzące na przykład z układu optycznego. Zakłócenie wprowadzane przez układ można określić na podstawie jego odpowiedzi impulsowej. Jeżeli na wejście układu podajemy jakiś sygnał, na przykład obraz, to na wyjściu otrzymamy obraz, który jest splotem odpowiedzi impulsowej układu i obrazu wejściowego. Jeżeli chcemy uzyskać obraz oryginalny musimy wykonać rozplot obrazu wyjściowego i odpowiedzi impulsowej układu Rozplotu dokonujemy przez wykonanie dzielenia transformaty obrazu wyjściowego przez transformatę odpowiedzi impulsowej. Po transformacji wyniku do dziedziny przestrzennej otrzymujemy obraz oryginalny Znając więc odpowiedź impulsową układu optycznego toru dyskretyzacji możemy wyeliminować błędy przez niego wprowadzane dokonując rozplotu otrzymanego obrazu z odpowiedzią impulsową układu. Przedstawiony przykład jest tylko zarysem idei, ponieważ transformata Fouriera odpowiedzi impulsowej może zawierać wartości zerowe, co uniemożliwia dzielenie

3 Metody wykorzystujące filtry przestrzenne

W metodach przestrzennych przetwarzaniu podlega bezpośrednio funkcja jasności (obraz jest reprezentowany jako macierz poziomów jasności). Funkcję działającą na obraz wejściowy można opisać wyrażeniem:

gdzie:

f(x,y) - funkcja reprezentująca obraz wejściowy

g(x,y) - funkcja reprezentująca obraz przetworzony

T - operator lokalny działający na pewnym ściśle określonym jego rozmiarem

obszarze obrazu (3x3, 5x5 lub 7x7 pikseli).

Oznacza ono, że nowa jasność piksela obliczana jest na podstawie jasności pikseli z jego otoczenia. Rozwiązaniem stosowanym w tego rodzaju metodach jest zdefiniowanie maski. Maska przemieszcza się w obrębie obrazu z krokiem zazwyczaj równym odstępowi między pikselami i poprzez działanie operatora T wyznaczana jest nowa wartość g(x,y) dla każdego piksela. Poniżej zaprezentowano przykład takiej maski.

p' - wartość nowego poziomu jasności piksela

p - wartość poziomu jasności piksela w obrazie pierwotnym

w - wartości współczynników

div- podzielnik, którego zadaniem jest normalizacja otrzymanego wyniku

Rysunek - Przykład operatora lokalnego oraz schemat jego działania

Kształt maski jest na ogół kwadratowy, z nieparzystą liczbą pikseli na każdym boku

Na podstawie współczynników obliczana jest wartość dla piksela pokrytego przez środkową komórkę maski (stąd wymóg nieparzystej liczby pikseli). Należy zauważyć, że zarówno kształt maski jak i położenie piksela, do którego wprowadzana jest nowa wartość mogą znacznie odbiegać od tej reguły.

3.1 Filtry dolnoprzepustowe

Filtr dolnoprzepustowy przepuszcza elementy obrazu o małej częstotliwości, tłumi natomiast albo blokuje elementy o większych częstotliwościach. Filtry dolnoprzepustowe są często używane do redukowania szumu w obrazie - nadają się do filtrowania albo redukowania szumu w obrazie wówczas, gdy szum jest jedno- albo dwupikselowy. Poniżej pokazano przykłady filtrów dolnoprzepustowych.

Jak widać z przykładów do piksela pokrytego środkową komórką filtra zostanie wpisana średnia wartości pikseli z określonego otoczenia, przy czym wkład poszczególnych pikseli otoczenia może być ważony, jak ma to miejsce w przypadku trzech ostatnich masek z przykładu.

2. Filtry górnoprzepustowe

Filtracja górnoprzepustowa jest używana do wzmocnienia szczegółów o dużej częstotliwości występujących w obrazie, przy zachowaniu integralności szczegółów o małej częstotliwości. Filtracja górnoprzepustowa ma znaczenie wówczas, gdy obiekty w obrazie maj ą by ć lepiej zaakcentowane albo zidentyfikowane. Przy filtracji górnoprzepustowej zazwyczaj zwiększa się ostrość obrazu, przy czym ujemnym skutkiem jest wzmacnianie szumu. Poniżej pokazano przykłady filtrów gómoprzepustowych.

3. Laplasjany

Operatory Laplace'a są stosowane do wykrywania krawędzi. W porównaniu z innymi metodami cechuje je wielokierunkowość (wykrywa krawędzie we wszystkich kierunkach). Poza tym metody wykrywania krawędzi korzystające z Laplasjanów dają w efekcie ostrzejsze krawędzie niż większość innych metod, a w wyniku filtracji wartości określają zmiany na krawędziach występujących w obrazie.

4. Filtry wykrywające krawędzie

Filtry używane do wykrywania krawędzi są czasami nazywane konturowymi. Filtry te są używane powszechnie przy klasyfikacji kształtów obiektów w obrazie. Działaj ą one na zasadzie gradientowej. Gradient określa, jak w obrazie zmieniają się jasności pomiędzy sąsiednimi pikselami. Osiąga największą wartość tam, gdzie w obrazie istnieją największe zmiany jasności przy przejściu od piksela do piksela.

3.5 Filtr medianowy

Działanie filtru medianowego polega na tym, że do piksela docelowego wpisywana jest mediana z wartości pikseli znajdujących się w otoczeniu. Medianę wyznacza się w ten sposób, że wartości pikseli z otoczenia sortuje się od największego do najmniejszego (lub odwrotnie) a następnie wybiera się wartość środkową ciągu. Oznacza to, że jeżeli maska obejmowała 9 pikseli, to mediana będzie miała wartość piksela, który po posortowaniu ciągu będzie na pozycji czwartej W przypadku masek o parzystej liczbie pikseli w otoczeniu medianę oblicza się przez uśrednienie wartości dwóch pikseli środkowych. Filtr medianowy służy z reguły do usuwania zakłóceń typu punktowego. Filtr medianowy działa erozyjnie, co jest zjawiskiem niepożądanym Polega ono na tym, że po wielokrotnym użyciu filtru medianowego krawędzie obiektów o różnych poziomach jasności stają się poszarpane. Zdjęcia poniżej pokazują działanie filtru mdianowego na obrazie „wzbogaconym” o szum. Rysunek a) przedstawia zdjęcie wykonane w niekorzystnych warunkach (wprowadzających szum - np. promieniowanie kosmicznego tła), obraz b) pokazuje efekt działania filtru medianowego o wielkości maski 3X3 na obrazie a).

a)

b)

4 Podsumowanie

Wykonując jakiekolwiek procedury zmierzające do poprawy jakości obrazu należy pamiętać o informacji, która jest w obrazie oryginalnym dla nas najważniejsza. Wszystkie metody przetwarzania wprowadzają zmiany do obrazu oryginalnego i polepszając pewną jego właściwość mogą prowadzić do zgubienia informacji, które są cenne z punktu widzenia konkretnego zastosowania obrazu. Należy również pamiętać, że zachowanie odpowiedniej kolejność wykonywania niektórych operacji gwarantuje osiągnięcie lepszych wyników.

Literatura:

[1] A. Służek „Komputerowa analiza obrazów", Wydawnictwo Politechniki warszawskiej, Warszawa 1991.

[2] C. D. Watkins, A. Sadun, S. Marenka „Nowoczesne metody przetwarzania obrazu", WNT, Warszawa 1995.

[3] A. K. Jain „Fundamentals of digital image processing", Pretice-Hall International Editions, 1989.

2

---