Statystyczny charakter rozpadu promieniotwórczego

Wydział Inżynierii Lądowej	Dzień/godzina Poniedziałek 11:15		Nr zespołu 18
		Data: 26.10.2009
Nazwisko i imię: Bołbotowski Karol Daszczuk Jan Wójcik Grzegorz	Ocena z przygotowania	Ocena ze sprawozdania	Ocena

1. Podstawy fizyczne

Wyróżniamy trzy podstawowe przemiany promieniotwórcze: rozpad alfa, beta i gamma (α, β, γ)

Rozpad α polega na emisji z jądra podwójnie zjonizowanego jadra helu. Przemianie tej ulegają na ogół jadra ciężkie o liczbie masowe większej niż 200. W czasie przemiany β z jadra emitowany jest elektron i antyneutrino elektronowe dla przemiany minus lub pozyton i neutrino elektronowe dla przemiany plus.

Przemiana β-

Przemiana β+

Trzecim typem przemiany beta jest wychwyt K, polegający na wychwycie elektronu z powłoki K.

Przemianom alfa i beta towarzyszy zwykle promieniowanie elektromagnetyczne zwane promieniowaniem gamma. W czasie tej przemiany następuje wyzbycie się przez jądro nadmiaru energii zwanej energia wzbudzenia. Liczba neutronów i protonów w jądrze w czasie tej przemiany pozostaje nie zmieniona.

Zakładając że w chwili t=0 liczba jąder promieniotwórczych wynosiła
, a po upływie czasu t zmalała do wartości
, to prawdopodobieństwo rozpadu dowolnego jądra będzie równe stosunkowi liczby rozpadów w obranej jednostce czasu:
, do liczby możliwych rozpadów, czyli liczby jąder promieniotwórczych, jakie istniały w danej próbce w chwili t.

Prawdopodobieństwo to jest stałe w czasie co oznacza że zjawisko to jest przypadkowe, czyli ma charakter statystyczny. Implikuje to pojawienie się fluktuacji statystycznych, czyli rozrzutu zmierzonych wartości wokół wartości średniej. Rozrzut punktów wokół krzywej wykładniczej liczby rozpadu jąder od czasu nie jest bynajmniej spowodowany błędami doświadczalnymi lecz statystycznym charakterem mierzonej wielkości.

Opisując próbkę jąder promieniotwórczych możemy mówić jedynie o średnim czasie życia jadra do chwili rozpadu. Związek między średnim czasem życia jądra a stałą rozpadu wygląda następująco:

Możemy mówić także o aktywności próbki promieniotwórczej, która to obliczamy według wzoru:

W przypadku jąder o dużym okresie połowicznego zaniku naszym badaniom dostępny jest mały wycinek krzywej wykładniczej, który możemy przybliżyć przez linie prostą o zerowym nachyleniu. Jest to równoważne z założeniem stałej aktywności preparatu. Statystyczny charakter rozpadu promieniotwórczego spowoduje, że aktywność preparatu o bardzo dużym okresie połowicznego zaniku będzie stała w granicy fluktuacji statystycznych. Jeśli więc rozpad jest procesem losowym, można oczekiwać że dla jąder o dostatecznie długim okresie połowicznego zaniku rozkład prawdopodobieństwa rejestracji danej liczby rozpadów w stałej jednostce czasu będzie zgodny z teoretycznym rozkładem prawdopodobieństwa.

Na naszych ćwiczeniach zajmowaliśmy się próbką której czas połowicznego zaniku jest długi w porównaniu do czasu naszych badań.

2. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zbadanie statystycznego charakteru zjawisk promieniotwórczych. Ze względu na brak możliwości dokładnego zbadania tego zjawiska będziemy badać próbkę o dużym (w stosunku do czasu badania) okresie połowicznego zaniku. Przyjmując powyższe założenia można przyjąć, iż krzywa zależności ilości jąder, które nie uległy rozpadowi, jest wycinkiem krzywej wykładniczej a w przybliżeniu prostą o małym nachyleniu. Za tym idzie stała aktywność próbki A=dN/dt. Dla jąder spełniających powyższe zależności rozkład prawdopodobieństwa zarejestrowanie danej ilości rozpadów jąder w danym okresie czasu powinien być zgodny z rozkładem teoretycznym. W naszym przypadku będzie to rozkład Poissona, natomiast zgodność rozkładu praktycznego z rozkładem Poissona będziemy badać za pomocą testu χ² . Omówimy teraz cechy charakterystyczne rozkładu Poissona. Wzór na prawdopodobieństwo wystąpienia x rozpadów w danym okresie czasu jest następujący

Zależny jest on od jednego parametru m=np., który jest tzw. wartością oczekiwaną, n jest liczbą prób w okresie czasu (w tym przypadku liczbą jąder), p jest prawdopodobieństwem zdarzenia, które nas interesuje (w tym przypadku prawdopodobieństwo rozpadu jądra stałe w czasie - λ). Dobrym przybliżeniem wartości oczekiwanej m jest obliczona przez nas średnia liczba
zdarzeń (rozpadów) w jednostkowym okresie czasu.

Jest to rozkład niesymetryczny jednak dla dużej wartości oczekiwanej m staje się coraz bardziej symetryczny. Inną wielkością charakterystyczną jest odchylenie standardowe σ , które dla rozkładu Poissona jest równe
. Fakt ten tłumaczy wzrost „spłaszczenia” rozkładu ze wzrostem m.

Ilościowe sprawdzenie zgodności rozkładu praktycznego z teoretycznym będzie dokonywane za pomocą testu χ² . Badamy sumę określoną wzorem:

gdzie l to liczba pomiarów, y_i to wielkość pomierzona w i-tym przedziale czasowym przy ustalonej wartości x_i , f(x_i) to wielkość teoretyczna w i-tym przedziale czasowym przy ustalonej wartości x_i, σ_i to błąd pomiaru w i-tym przedziale czasowym.

Dla rozkładu Poissona wzór ten się upraszcza i mamy:

gdzie n_i liczba zarejestrowanych zdarzeń typu x_i (liczba przedziałów czasowych w których rozpadło się [i] jąder), n to liczba zdarzeń w całym okresie badania (liczba przedziałów czasowych), p_i prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia typu x_i według rozkładu Poissona (prawdopodobieństwo rozpadnięcia się [i] jąder według rozkładu Poissona).

3. Opis badania

Badania dokonujemy wykorzystując zestaw laboratoryjny, którego schemat uwidoczniony jest na rysunku 1.1. Wykorzystany tu detektor jest licznikiem scyntylacyjnym o wysokiej wydajności. Schemat jego działania jest przedstawiony na rysunku 1.2. To co tak naprawdę detektor liczy to kwanty promieniowania gamma - każdy kwant promieniowania gamma jest związany z rozpadem jednego jądra. Próbka substancji promieniotwórczej w kształcie krążka może być umieszczona na jednym z kilku poziomów. Im poziom wyższy tym większy jest kąt padania wiązki promieniowania na czujnik detektora, a więc więcej kwantów promieniowania do tego czujnika detektora. Trzeba tu więc zaznaczyć, że w podanych wyżej wzorach nie badamy tak naprawdę ile jąder rozpadło się w całej próbce ale tylko ich część, stad określenia „liczba jąder” są nieścisłe, lecz pozwalają lepiej zrozumieć dane wzory. Czujnik detektora jest zamknięty przesłoną, która może być otwierana na określony czas. Całość układu jest sterowana z poziomu komputera za pomocą programy o nazwie „Poisson”.

Zostało wykonane 30 pomiarów dla próbki umieszczonej na najwyższym poziomie. Każdy pomiar polegał na tym, że przesłona byłą otwierana 100 razy, za każdym razem na czas 2ms. Za każdym otwarciem przesłony detektor zliczał ilość kwantów. Wynikiem jednego pomiaru były częstości otwarć przesłony dla kolejnych ilości zliczonych kwantów. Zanotowane przez nas wielkości to średnia ilość kwantów przy pojedynczym otwarciu, wartość χ² oraz liczba stopni swobody k. Wyniki zostały zestawione w tabeli 1.1.

Pomiar			Stopień swobody
1	0,53	0,46	2
2	0,51	0,94	2
3	0,53	4,68	2
4	0,67	0,72	2
5	0,52	5,54	3
6	0,67	1,53	2
7	0,52	0,89	2
8	0,56	3,01	3
9	0,53	1,22	2
10	0,57	0,88	2
11	0,61	0,58	2
12	0,57	0,88	2
13	0,60	1,81	2
14	0,76	4,61	2
15	0,60	28,30	4
16	0,50	0,86	2
17	0,50	5,02	3
18	0,48	0,62	2
19	0,60	0,80	2
20	0,61	1,46	2
21	0,64	0,56	1
22	0,70	0,64	2
23	0,63	1,30	2
24	0,59	6,60	3
25	0,60	0,80	2
26	0,54	2,78	1
27	0,62	0,29	2
28	0,69	3,32	2
29	0,55	2,25	2
30	0,50	4,58	2

4. Ćwiczenia indywidualne

Następny etap ćwiczenia miał charakter indywidualny. Każda osoba wybrała jeden pomiar i przygotowała do niego szczegółowe opracowanie. I tak:

Karol Bołbotowski:

Opracowanie dotyczy pomiaru numer 7. Wyniki tego pomiaru są zestawione w poniższej tabeli:

Nr pomiaru	Częstość dla danych ilości kwantów					χ^2	k
		0	1	2				3
7	57	35	7	1	0,52	0,89	2

Średnia ilość kwantów
dla pojedynczego otwarcia przesłony jest średnią ważoną i obliczamy ja następująco:

Liczba stopnie swobody to liczba przedziałów ilości kwantów które wystąpiły pomniejszona o 1 oraz s gdzie dla rozkładu Poissona s=1 . A więc:

Dla danego pomiaru możemy zapisać równanie krzywej rozkładu Poissona które ma postać:

gdzie m jest wartością oczekiwaną, którą dobrze przybliża wartość średnia
=0,52 . Tak więc:

Pomierzone wartości częstości podzielone przez 100 możemy porównać z teoretycznymi wynikającymi z rozkładu Poissona P(x). Dla porównania porównamy też wartości częstości podane w tablicach dla średniej
=0,5.

Porównanie zostało dokonane w poniższej tabeli:

Ilość kwantów	Częstość pomierzona	Częstość teoretyczna obliczona z P(x)	Częstość teoretyczna odczytana z tablic
0	0,57	0,5945	0,6065
1	0,35	0,3092	0,3033
2	0,7	0,0804	0,0758
3	0,1	0,0139	0,0126

Jeżeli chodzi o wartości teoretyczne to dokładniejsze są te obliczone ze wzoru P(x), ponieważ te z tablic są także liczone z tego samego wzoru lecz dla wartości m=0,5 , a więc jest pewnym przybliżeniem.

Wartości częstości pomierzone oraz teoretyczne zestawiliśmy na histogramie 1.1

Aby zbadać zgodność rozkładu teoretycznego z rozkładem pomierzonym wykorzystamy test χ² . I tak:

Wartość χ²=0,89 jest to wartość dużo mniejsza od wartości oczekiwanej czyli liczby stopni swobody k=2. Za tym idzie wniosek, iż zgodność rozkładu teoretycznego z praktycznym jest duża. Na podstawie tego możemy potwierdzić założony charakter statystyczny rozpadu promieniotwórczego.

Jan Daszczuk:

Numer pomiaru			Liczba zdarzeń bez kwantów	Liczba zdarzeń z 1 kwantem	Liczba zdarzeń z 2 kwantami	Liczba zdarzeń z 3 kwantami
27	0,62	0,29	52	35	10	2

Średnia:

Test
:
0,44

Liczba kwantów w zdarzeniu	Wynik doświadczalny	Wynik teoretyczny
0	52	54,9
1	36	32,9
2	10	9,9
3	2	2

Grzegorz Wójcik:

Numer pomiaru			Liczba zdarzeń bez kwantów	Liczba zdarzeń z 1 kwantem	Liczba zdarzeń z 2 kwantami	Liczba zdarzeń z 3 kwantami
11	0,61	0,58	54	34	9	3

Średnia:

Test
:
0,7797

Liczba kwantów w zdarzeniu	Wynik doświadczalny	Wynik teoretyczny
0	54	54,88
1	34	32,93
2	9	9,88
3	3	1,98

---