Statystyczny charakter rozpadu promieniotwórczego.
Rozpad promieniotwórczy jest zjawiskiem spontanicznym, w wyniku którego zmienia się bądź skład nukleonowy jądra atomowego ulegającego rozpadowi, bądź też zmienia się stan energetyczny tego jądra. Podstawowe prawa rozpadu promieniotwórczego zostały odkryte i opracowane przez A.H.Becquerela i zbadane przez M.Skłodowską-Curie i P.Curie. Są to przemiany: a (alfa),b (beta),g (gamma). Wszystkie przemiany podlegają temu samemu prawu rozpadu spontanicznego: (-lt). Stała rozpadu l związana jest z okresem połowicznego zaniku l=. Prawo to określa liczbę jąder w próbce promieniotwórczej tylko statystycznie, tj. z dokładnością do fluktuacji statystycznych.
W warunkach laboratorium studenckiego, ze względu na bardzo długi czas połowicznego zaniku próbki promieniotwórczych nie jesteśmy w stanie udowodnić wykładniczego malenia aktywności próbki. W czasie badania tej aktywności w naszych warunkach jesteśmy w stanie zbadać jedynie niewielki wycinek krzywej, który można uznać za linię prostą o zerowym nachyleniu. Dlatego celem ćwiczenia jest zbadanie stochastycznego (przypadkowego) charakteru rozpadu promieniotwórczego. Dowodem na to jest istnienie pewnych fluktuacji statystycznych (odchyleń), wokół pewnej wartości średniej.
Tak więc, jeżeli rozpad promieniotwórczy jest procesem przypadkowym, należy oczekiwać, że dla jąder o odpowiednio długim okresie połowicznego zaniku, rozkład prawdopodobieństwa rejestracji danej liczby rozpadów w stałym okresie czasu będzie zgodny z teoretycznym rozkładem prawdopodobieństwa zdarzeń przypadkowych.
W naszym doświadczeniu rozkłady będziemy porównywać z przybliżonymi rozkładami teoretycznymi:
1) dla małej średniej liczby zliczeń z rozkładem Poissona,
2) dla dużej średniej liczby zliczeń z rozkładem Gaussa.
I) Dokonaliśmy 270 pomiarów ilości rozpadów próbki promieniotwórczej w okresach 10 sekund.
Tabele pomiarowe:
(xi,xi+5) |
Ni |
|
exp(-z)* |
P |
Pr |
Ps |
226-230 |
1 |
2704 |
0,0685 |
0,006 |
0,0037 |
0,0086 |
231-235 |
6 |
2209 |
0,1119 |
0,0095 |
0,0222 |
0,0111 |
236-240 |
2 |
1764 |
0,1738 |
0,0155 |
0,0074 |
0,0136 |
241-245 |
3 |
1369 |
0,2567 |
0,023 |
0,0111 |
0,0136 |
246-250 |
6 |
1024 |
0,3606 |
0,032 |
0,0222 |
0,0260 |
251-255 |
12 |
729 |
0,4867 |
0,043 |
0,0444 |
0,0495 |
256-260 |
22 |
484 |
0,6376 |
0,061 |
0,0815 |
0,0582 |
261-265 |
13 |
289 |
0,7483 |
0,0665 |
0,0481 |
0,0731 |
266-270 |
24 |
144 |
0,8694 |
0,077 |
0,0888 |
0,0768 |
271-275 |
25 |
49 |
0,9512 |
0,0845 |
0,0926 |
0,0842 |
276-280 |
19 |
4 |
0,996 |
0,0885 |
0,0703 |
0,0892 |
281-285 |
28 |
1 |
0,999 |
0,089 |
0,1037 |
0,0830 |
286-290 |
21 |
64 |
0,9418 |
0,0835 |
0,0777 |
0,0805 |
291-295 |
16 |
169 |
0,8437 |
0,0745 |
0,0593 |
0,0644 |
296-300 |
15 |
324 |
0,7261 |
0,0645 |
0,0555 |
0,0632 |
301-305 |
20 |
529 |
0,5945 |
0,0525 |
0,074 |
0,0607 |
306-310 |
14 |
784 |
0,4584 |
0,0405 |
0,0518 |
0,0520 |
311-315 |
8 |
1089 |
0,3396 |
0,03 |
0,0296 |
0,0359 |
316-320 |
7 |
1444 |
0,2393 |
0,021 |
0,0259 |
0,0210 |
321-325 |
2 |
1849 |
0,1588 |
0,014 |
0,0074 |
0,0136 |
326-330 |
2 |
2304 |
0,1013 |
0,009 |
0,0074 |
0,0087 |
331-335 |
3 |
2809 |
0,0614 |
0,0055 |
0,0111 |
0,0062 |
336-340 |
0 |
3364 |
0,0354 |
0,0005 |
0,0000 |
0,0049 |
341-345 |
1 |
3969 |
0,0198 |
0,0000 |
0,0037 |
0,0012 |
*Dla z=(((xśr-x):s)):2
Wartość średnia xśr=280,92 zawarta w przedziale [276;280].
Parametr s określający rozrzut wyników wokół wartości rzeczywistej (w naszym wypadku xśr) został obliczony z przyblizonego wzoru:
s = 22,44.
Dalej wyliczyliśmy gęstość prawdopodobieństwa f(x), a następnie ten wynik pomnożyliśmy przez szerokość przedziałów, czyli wartość 5.
.
W wyniku braku regularności wyników, spowodowanego małą liczbą prób,uśredniliśmy wyniki metodą Simpsona i obliczyliśmy dla nich prawdopodobieństwo. (w tabelce zostało ono oznaczone: Ps).
Zakładamy, że analizujemy wyniki obciążone tylko błędami przypadkowymi.
Wyniki prawdopodobieństwa przedstawiliśmy na załączonych wykresach.
II) Rozkład Poissona:
Zmierzyliśmy 994 razy ilość rozpadów promieniotwórczych w czasie jednej sekundy.
xi |
ni |
Przi |
xi*Przi |
Pti |
0 |
157 |
0,1579 |
0 |
0,1091 |
1 |
224 |
0,2253 |
0,2253 |
0,2417 |
2 |
239 |
0,2404 |
0,4506 |
0,2716 |
3 |
173 |
0,1740 |
0,5220 |
0,1977 |
4 |
99 |
0,0996 |
0,3984 |
0,1095 |
5 |
50 |
0,0503 |
0,2515 |
0,0485 |
6 |
21 |
0,0211 |
0,1266 |
0,0179 |
7 |
16 |
0,0161 |
0,1127 |
0,0057 |
8 |
9 |
0,0091 |
0,0728 |
0,0016 |
9 |
4 |
0,004 |
0,036 |
0,0004 |
10 |
1 |
0,001 |
0,01 |
0,0001 |
11 |
1 |
0,001 |
0,011 |
0,0000 |
Wartość średnia (wartość oczekiwana) EX=m=2,2154.
Wartości teoretyczne prawdopodobieństwa zanotowania danej liczby rozpadów zostały obliczone z wzoru:
,
dla m=2,2154.
Dla rozkładu Poissona przeprowadziliśmy test c.
xi |
ni |
Pi |
n pi |
|
0 |
157 |
0,1091 |
108,445 |
21,74 |
1 |
224 |
0,2417 |
240,250 |
1,099 |
2 |
239 |
0,2716 |
269,970 |
3,55 |
3 |
173 |
0,1977 |
196,514 |
2,814 |
4 |
99 |
0,1095 |
108,843 |
0,89 |
5 |
50 |
0,0485 |
49,203 |
0,013 |
6 |
21 |
0,0179 |
17,793 |
0,578 |
7 |
16 |
0,0057 |
5,666 |
18,848 |
8 |
9 |
0,0016 |
1,59 |
34,53 |
9 |
4 |
0,0004 |
0,3976 |
32,639 |
10 |
1 |
0,0001 |
0,099 |
8,2 |
11 |
1 |
0,0000 |
0,0000 |
- |
Na podstawie przedstawionych powyżej wyników otrzymaliśmy wartość c =124,901. Dla 10 stopni swobody wartość c wynosi 23,2. Dla poziomu ufności P=0,01.
Wnioski:
Analizując przebieg prawdopodonieństwa rzeczywistego z rozkładem Gaussa i Poissona możemy wysunąć wniosek, że rozkład promieniotwórczy jest procesem przypadkowym. W całym doświadczeniu założyliśmy istnienie jedynie błędów przypadkowych. Dla rozkładu Gaussa odchylenie standardowe jest równe s=22,44. W przedziale [xśr-s ; xśr+s] zawartych jest ok. 67,5% wszystkich pomiarów, a w przedziale [xśr-3*s ; xśr+s] zawartych jest 100% naszych pomiarów. Jest to zgodne z założeniami teoretycznymi. Porównując prawdopodobieństwo rzeczywiste do prawdopodobieństwa wyliczonego z rozkładu Gaussa, zauważa się dużą względną rozbieżność. Jest to spowodowane małą liczbą prób. Przy odpowiednio większej liczbie prób prawdopodobieństwa byłyby bardziej zbliżone. Metoda Simpsona pozwala uśrednić wyniki. Po zastosowaniu tej metody prawdopodobieństwo obliczone dla wartości usrednionych jest bardziej zbliżona do prawdopodobieństwa teoretycznego.
Dla rozkładu Poissona wykres prawdopodobieństwa rzeczywistego w przedziale [1;6], ze względu na duże wartości jest zbliżony do wykresu prawdopodobieństwa teoretycznego. Potwierdzają to wartości c. Dla przedziału [7;11] oraz wartości [0] istnieje bardzo duża różnica względna między oboma wykresami. Ponownie zostało to potwierdzone dużymi wartościami c. Rozpatrując przedział [1;6] można uznać doświadczenie za potwierdzające statystyczny charakter rozpadu promieniotwórczego. Niemniej jednak ze względu na duży błąd w przedziale [7;11] oraz dla wartości [0] nie możemy uznać tego doświadczenia za dowodzące tezę postawioną na początku. Potwierdza to wartość ---- = 124,901, przy czym przy naszych założeniach powinna ona być mniejsza od 23,2.
Wyniki pomiarów dla rozkładu Gaussa potwierdzają teorię o statystycznym charakterze rozpadu promieniotwórczego. Dla pomiarów dla rozkładu Poissona nie można uznać doświadczenia za całkowicie dowodzące wyżej wspomnianą teorię.
3
Wydział Elektryczny
Autorzy: Krzysztof Sankowski, Robert Szmurło zespół nr 30.
Ćwiczenie nr A-17