Mieczysław Jaroniek

PODSTAWY MECHANIKI TECHNICZNEJ

DLA STUDENTÓW

WYDZIAŁU ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI

ŁÓDŹ 2003

Spis treści

Wprowadzenie ..............................................3

MECHANIKA TEORETYCZNA -STATYKA

1. Zasady algebry wektorów (skalary, wektory). ..................................................4

2. Pojęcia elementarne - siły i ich rodzaje, jednostki. ...........................................9

3. Prawa mechaniki Newtona. ...............................................................................9

4. Zasady statyki. ..................................................................................................9

1. Więzy i ich reakcje ...........................................................................................10

5. Płaski układ sił zbieżnych - warunki równowagi. .........................................11

6. Dowolny płaski układ sił .................................................................................13

6. 2. Dowolny płaski układ sił. - warunki równowagi. ......................................13

7. Tarcie i prawa tarcia. ........................................................................................14

1. Tarcie cięgien (wzór Eulera) ..........................................................................15

8. Zagadnienia statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne. ..................................17

9. Kratownice ........................................................................................................20

10. Przestrzenne układy sił .....................................................................................24

10. 1. Przestrzenny układ sił zbieżnych. ................................................................24

10. 2. Dowolny przestrzenny układ sił. ...................................................................24

11. Środek sił równoległych - środki ciężkości. Tw. Guldina - Pappusa. ...............27

12. Przykłady zadań .................................................................................................33

WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Wytrzymałość Materiałów ..............................................................................35

Wprowadzenie ..................…………………………………………………...35

13. 1. Własności materiałów …..............................................................................….35

1. Podstawowe pojęcia - naprężenia i odkształcenia w prętach rozciąganych….35

14. Naprężenia dopuszczalne…………………………………………………...….38

15. Prawo Hooke'a. ………………………………………………………………40

16. Analiza naprężeń. …………………………………………………………..…43

17. Zastosowanie podstawowych zasad mechaniki do obliczeń trakcji

elektrycznych ………………………………………………………………..46

18. Ścinanie……………………………………………………………………..…53

18. 2. Ścinanie technologiczne.................................................................................54

19. Zginanie. ………………………………………………………………………56

20. Momenty bezwładności figur płaskich………………………………………...62

21. Obliczanie belek na zginanie…………………………….…………………….68

22. Skręcanie wałów o przekroju kołowym.............................................................71

23. Hipotezy wytrzymałościowe..............................................................................75

24. Podstawowe przypadki wytrzymałości złożonej...............................................78

25. Wyboczenie .......................................................................................................80

26. Literatura ...........................................................................................................84

Mieczysław Jaroniek

PODSTAWY MECHANIKI TECHNICZNEJ

DLA STUDENTÓW

WYDZIAŁU ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI

Wprowadzenie

Zapewnienie niezawodności, bezpieczeństwa, wysokiej nośności oraz lekkości konstrukcji, wymusza przeprowadzenia analizy pracy urządzenia, a następne wykonanie obliczeń oraz wykorzystywanie numerycznych metod obliczeń. Umiejętność projektowania lub obsługi odpowiednich programów oraz urządzeń wymaga również znajomości podstawowych zagadnień mechaniki i wytrzymałości materiałów.

Przedmioty które powinny wyprzedzać nauczanie zasad projektowania konstrukcji to rysunek techniczny, mechanika ogólna i wytrzymałość materiałów. Mechanika ogólna zajmuje się prawami i zjawiskami fizycznymi, którym podlegają nieodkształcalne ciała stałe poddane działaniu obciążeń zewnętrznych. Wytrzymałość materiałów zajmuje się prawami i zjawiskami fizycznymi, którym podlegają odkształcalne elementy urządzeń i konstrukcji.

Znajomość podstaw mechaniki i wytrzymałości materiałów jest konieczna do rozwiązywania wielu problemów technicznych związanych z projektowaniem maszyn i konstrukcji, zastosowaniem elektronicznej aparatury stosowanej do badań np. konstrukcji maszyn, elementów konstrukcji dźwigowych, silników, pojazdów i t. p.

Wytrzymałość materiałów jest to nauka o praktycznych metodach obliczeń i badań własności mechanicznych materiałów oraz o teoretycznych, numerycznych i eksperymentalnych metodach analizy stanu naprężenia i odkształceniach w elementach maszyn i konstrukcji.

Zakres materiału przedstawiony w niniejszej pracy odpowiada programowi mechaniki technicznej wykładanemu na Wydziałach Elektrycznych Politechnik.

Książka ma na celu ułatwienie opanowania podstaw Mechaniki Teoretycznej oraz Wytrzymałości Materiałów. W innych podręcznikach zwłaszcza przeznaczonych dla studentów wydziałów mechanicznych i budowlanych, (podanych w literaturze) zakres materiału jest znacznie szerszy, natomiast w niniejszym skrypcie przedstawiono w zarysie podstawowe metody obliczeń.

Celem niniejszego skryptu jest przedstawienie w możliwie skróconej formie podstawowych wiadomości z Mechaniki Teoretycznej i Wytrzymałości Materiałów z uwzględnieniem zastosowania podanych elementów teorii do badań i obliczeń współczesnych konstrukcji.

MECHANIKA TEORETYCZNA - PODSTAWY

1. Zasady algebry wektorów (skalary, wektory).

Podstawy algebry wektorów znane są z kursów matematyki i fizyki, przytoczono je tutaj dla przypomnienia.

Skalary

Wielkości, które przy znanej jednostce są określone przez jedną liczbę nazywamy skalarami (np. długość, masa, gęstość, temperatura, energia).

Wektory

Wektorami nazywamy wielkości fizyczne definiowane przez kierunek (linię działania), wartość bezwzględną (moduł) oraz zwrot (np. siła, przyspieszenie, prędkość).

Rys.1.1. a) Geometryczna interpretacja wektora, b) wektor
we współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie.

Obrazem geometrycznym wektora jest odcinek skierowany, którego długość określa miarę wektora (moduł), kierunek prosta na której on leży i zwrot - strzałka. Punkt początkowy nazywamy punktem zaczepienia (przyłożenia), a koniec wektora oznacza się strzałką. Wektor, którego długość wynosi jeden, nazywamy wersorem lub wektorem jednostkowym. Na rysunkach 1.1. i 1.2 przedstawiono wersory i, j, k związane z układem osi x, y, z. Ponieważ zazwyczaj mamy do czynienia z układami n sił (n = 1,2,..) rozpatrzymy jedną z nich oznaczoną przez P_i. Wektor będzie oznaczany literą ze strzałką u góry lub literą wytłuszczoną.

Rys. 1. 2. Wektor P_i we współrzędnych kartezjańskich przyłożony w początku układu współrzędnych.

(1. 1)

1. 2. Suma i różnica wektorów

Rys. 1. 3. Suma i różnica dwóch wektorów na płaszczyźnie

Sumę dwóch wektorów na płaszczyźnie zapisujemy następująco

(1. 2)

,

Sumę dwóch wektorów w przestrzeni zapisujemy następująco

(1. 3)

1. 3. Iloczyn skalarny

Iloczynem skalarnym wektorów
i
nazywamy iloczyn długości tych wektorów przez cosinus kąta ϕ zawartego między nimi.

Rys. 1. 4. Geometryczna interpretacja iloczynu skalarnego.

1. 4. Iloczyn wektorowy

Iloczynem wektorowym wektorów
i
nazywamy taki wektor
, który ma następujące własności:

1. wektor
   jest prostopadły do wektorów
   i
   

2. wartość bezwzględna wektora
   wynosi
   

3. wektor
   tworzy z wektorami
   i
   układ prawoskrętny.

Rys. 1. 5. Geometryczna interpretacja iloczynu wektorowego.

Wykorzystując własności iloczynu wektorowego otrzymujemy relacje między wektorami jednostkowymi
,
,
.

,

Wektor
będący iloczynem wektorowym wektorów
i
można zapisać poprzez składowe tych wektorów i wersory osi x, y, z w sposób następujący

po przekształceniach otrzymujemy

(1.5)

Iloczyn wektorowy można również zapisać następująco

(1. 6)

1. 5. Moment siły względem osi.

Pojęcie momentu siły względem dowolnego punktu jest znane z fizyki. Można je również przedstawić jako iloczyn wektorowy, tzn. iloczyn wektora promienia
i wektora siły
(rysunki 1.6, 1.7). Moment M₀ siły P względem początku układu współrzędnych jest wektorem, natomiast jego wartość jest równa podwojonemu polu trójkąta OAB.

Rys. 1. 6. Moment M₀ siły P względem punktu O oraz rzut wektora M₀ na oś z.

Moment siły P względem osi z jest równy rzutowi na tę oś momentu M₀. Inaczej mówiąc momentem siły P względem osi z nazywamy moment rzutu P′ danej siły na płaszczyznę prostopadłą do tej osi względem punktu O, w którym oś przebija płaszczyznę.

1. 6. Moment siły względem punktu.

Moment siły P względem punktu O jest iloczynem wektorowym promienia wektora r oraz siły P.

Rys. 1. 7. Moment siły P względem punktu O.

Moment siły P względem początku układu współrzędnych można obliczyć rozpatrując jego składowe, które są momentami siły P względem osi x, y, z. Wartość momentu można również obliczyć bezpośrednio z wyznacznika.

(1. 7.)

Rys. 1. 8. Składowe siły P w przestrzeni umożliwiające obliczenie momentu siły P względem początku układu współrzędnych.

Na rysunku 1. 8. przedstawiono składowe siły P umożliwiające obliczenie momentu siły P względem początku układu współrzędnych. Punkt przyłożenia siły P jest przesunięty o r względem początku układu. Składowe momentu M siły P względem osi x, y, z wynoszą odpowiednio

(1. 8)

Moment M siły P względem początku układu współrzędnych jest wektorem, natomiast jego składowe są momentami względem osi przestrzennego układu współrzędnych x, y, z.

Wartość bezwzględną siły P obliczamy wg

Długość wektora momentu M obliczamy wg

2. Pojęcia elementarne - siły i ich rodzaje, jednostki.

Pojęcie siły wprowadzone podczas nauczania fizyki określane jest jako efekt wzajemnego oddziaływania ciał na siebie. Rozróżniamy siły ciężkości, siły statyczne, dynamiczne, siły bezwładności, siły elektrostatyczne, elektrodynamiczne, siły masowe i powierzchniowe. Mechanika teoretyczna zajmuje się analizą konstrukcji pod wpływem działania sił statycznych lub dynamicznych. Istotną rzeczą jest pomiar wielkości sił działających na element konstrukcji. Podstawowe jednostki sił (w układzie SI) znane są z kursu fizyki, przytoczono je tutaj dla przypomnienia.

3. Prawa mechaniki Newtona.

1. Punkt materialny na który nie działa żadna siła pozostaje w spoczynku, lub

porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

Punkt materialny jest to punkt, który posiada masę

2. Przyspieszenie punktu materialnego jest wprost proporcjonalne do siły działającej na ten punkt i ma kierunek siły.
   .

3. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych są równe co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowane i działają wzdłuż prostej łączącej te punkty.

Siły powierzchniowe odniesione do jednostki powierzchni - działające prostopadle do określonej powierzchni nazywamy ciśnieniem, natomiast siły wewnętrzne przypadające na jednostkę powierzchni naprężeniem. Definicje dotyczące naprężeń będą omówione szerzej w następnych rozdziałach.

Podstawowa jednostka ciśnienia to 1 paskal
, ale w praktycznych obliczeniach używamy jednostkę milion razy większą megapaskal

Atmosferę techniczną przeliczamy na jednostkę w układzie SI następująco

4. Zasady statyki.

1. Zasada równoległoboku

Dwie siły działające na punkt materialny można zastąpić wypadkową, która jest przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił składowych. Wartość wypadkowej obliczamy z twierdzenia cosinusów.

Rys. 4. 1. Zasada równoległoboku

2. Zasada równowagi

Dwie siły równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej prostej, mają te same wartości bezwzględne lecz przeciwne zwroty.

Rys. 4. 2. a) Równowaga dwóch sił, b) przesunięcie siły wzdłuż jej linii działania.

3. Zerowy układ sił i przesuwanie siły wzdłuż jej linii działania (rys. 4.2b).

Układ sił działających na ciało sztywne nie ulegnie zmianie, jeżeli dodamy zerowy układ sił. Wniosek wynikający z tej zasady jest następujący: siłę działającą na ciało sztywne można przesuwać wzdłuż jej linii działania.

4. Zasada zesztywnienia

Równowaga ciała odkształcalnego nie ulegnie zmianie po jego zesztywnieniu.

5. Zasada działania i przeciwdziałania

Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości lecz przeciwnie skierowane przeciwdziałanie. Zasada ta nazywana jest również zasadą akcji i reakcji (A i R ).

Rys. 4. 3. Zasada akcji i reakcji.

6. Zasada oswobodzenia od więzów

Każde ciało nieswobodne, znajdujące się w równowadze można myślowo uwolnić od więzów, zastępując ich oddziaływanie siłami reakcji więzów i dalej traktować je jak ciało swobodne znajdujące się w równowadze.

4. 1. Więzy i ich reakcje

Więzami nazywamy sposób podparcia lub połączenia elementów konstrukcji, tak aby można było określić wzajemne oddziaływanie poszczególnych elementów rozpatrywanego układu.

Rozróżniamy następujące rodzaje więzów - sposobów połączenia lub zamocowania elementów konstrukcji:

1. Przegub kulisty - posiada trzy składowe reakcji R_x, R_y, R_z

2. Przegub walcowy - nazywany podporą przegubową

nieprzesuwną - posiada dwie składowe reakcji R_x, R_y

3. Podpora przesuwna - oparta na podporach rolkowych - jedna reakcja - R_y skierowana jest prostopadle do płaszczyzny przesuwu rolek

4. Utwierdzenie - w przypadku płaskiego układu sił posiada trzy

składowe reakcji R_x, R_y, M_u , natomiast w przypadku ogólnym (w przestrzeni)

mamy sześć składowych: R_x, R_y, R_z , M_x, M_y, M_z

Podpora przesuwna

Podpora nieprzesuwna Utwierdzenie

Rys. 4. 4. Rodzaje więzów - sposobów połączenia lub zamocowania elementów konstrukcji

Przykłady podpór mostowych: przegubowych przesuwnych i nieprzesuwnych przedstawiono na rysunkach. 5.2 i 5.3.

5. Płaski układ sił zbieżnych - warunki równowagi.

Płaskim układem sił zbieżnych nazywamy układ sił na płaszczyźnie, których linie działania przecinają się w jednym punkcie.

a) Wielobok zbudowany na wektorach sił P₁, P_2, P₃ b) Układ sił zbieżnych P₁, P₂

Rys. 5. 1. Przykłady układów sił zbieżnych.

Zasadę redukcji płaskiego układu sił zbieżnych przedstawiono na rys.5.1 i 5.4. Najpierw wyznaczamy wypadkową sił P₁ i P₂, następnie wypadkową sił (P₁+ P₂) i P₃, ..aż do określenia siły wypadkowej R. Płaski układ sił zbieżnych P₁, P_{2, ...}P_i można sprowadzić do siły wypadkowej R, będącej wektorem, który jest linią zamykającą wielobok zbudowany na wektorach tych sił pokazany na na rys.5.1 i 5.4.

Wypadkowa - R jest zatem sumą geometryczną układu sił zbieżnych P₁, P_{2, ...}P_i. Wypadkową płaskiego układu sił zbieżnych można również obliczyć wykorzystując twierdzenie, że rzut wypadkowej R jest równy sumie rzutów sił składowych (P₁, P_{2, ...}P_i) na dowolną oś układu współrzędnych. Zatem możemy napisać

oraz
(5. 1)

- gdzie
,
- są rzutami siły P_i na osie x i y

Wypadkową R płaskiego układu sił zbieżnych nazywamy wektorem głównym. Wektor główny oznaczono tutaj symbolem R (bez żadnego indeksu), wielkości tej nie należy mylić z siłami reakcji działającymi w punktach podparcia (podporach).

Rys. 5. 2. Podpory przegubowo - przesuwne mostu na rzece Warcie w Konopnicy.

Rys. 5. 3. Podpory przegubowe (nieprzesuwne) mostu na rzece Warcie w Konopnicy.

Rys. 5. 4. Zasada redukcji płaskiego układu sił zbieżnych do wektora głównego R.

Warunki równowagi płaskiego układu sił zbieżnych

Płaski układ sił zbieżnych pozostaje w równowadze, jeżeli wypadkowa układu sił (albo inaczej mówiąc wektor główny R) jest równa zeru.

Jeżeli R=0

gdzie R_x = Σ P_ix R_y = Σ P_iy

to obie jego składowe muszą spełniać równania równowagi

(5. 2)

6. Dowolny płaski układ sił

Dowolnym płaskim układem sił nazywamy siły działające na płaszczyźnie, których linie działania nie przecinają się w jednym punkcie

Rys. 6. 1. Dowolny płaski układ sił.

Rozpatrując dowolny płaski układ sił P₁, P_{2, ...}P_i działających na ciało, każdą z tych sił (P_i) można potraktować identycznie np. rzutować je na osie układu, przesuwać wzdłuż linii działania oraz, stosując zasady statyki przenosić je do dowolnego punktu. Sposób przenoszenia dowolnej siły do punktu O zwanego środkiem redukcji omówiono na przykładzie jednej siły P_i (i=1,2,..n). Schemat postępowania przedstawiono na rysunkach 6. 2. i 6.3. Przesuwając równolegle wektor P_i do punktu O przykładamy do tego punktu zerowy układ sił (± P_i), wówczas siły oznaczone liniami przerywanymi tworzą moment pary sił M_i=P_i⋅h_i względem punktu O.

Rys. 6. 2. Przesunięcie siły P_i do dowolnego punktu O.

Redukcja układu sił do wektora głównego i momentu głównego.

Rys. 6. 2. Przesunięcie wektora głównego R z punktu A do dowolnego punktu O.

6. 1. Warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił.

Aby dowolny płaski układ sił znajdował się w równowadze zarówno wektor główny R jak i moment główny M muszą być równe zeru. Zatem składowe wektora R oraz suma momentów względem dowolnego punktu muszą być równe zeru. Warunki równowagi w przypadku płaskiego układu sił sprowadzają się do spełnienia układu równań.

(6. 1)

Powyższe równania nazywamy równaniami równowagi dla płaskiego dowolnego układu sił. Równania te służą do obliczania reakcji w punktach podparcia konstrukcji (belki, płyty). Aby obliczyć reakcje na podporach, uwalniamy konstrukcję od więzów wprowadzając wektory sił odpowiadające sposobowi podparcia oraz piszemy równania równowagi. Jeżeli po rozwiązaniu układu równań okaże się, że otrzymaliśmy ujemne wartości sił lub momentów, to znaczy, że zwroty sił reakcji, w rzeczywistości są skierowane w przeciwną stronę.

7. Tarcie i prawa tarcia.

Podstawy teoretyczne dotyczące zagadnień tarcia przedstawione poniżej dotyczą tzw. tarcia statycznego, przy założeniu bardzo małych prędkości przesuwających się ciał. Zagadnienia dotyczące tarcia kinetycznego wymagają oddzielnego omówienia i wykraczają poza program niniejszego skryptu.

Prawa tarcia

1. Wartość siły tarcia nie zależy od wielkości stykających się powierzchni, ale od ich rodzaju (rodzaj powierzchni, stan chropowatości itp.)

2. Wartość siły tarcia T zależy od nacisku normalnego i zawiera się w granicach

(7. 1)

3. Zwrot siły tarcia jest przeciwny do zamierzonego kierunku ruchu

Rys. 7. 1. Siły tarcia, a) na płaszczyźnie, b) na równi pochyłej.

W przypadku ciała, którego wymiary są pomijalnie małe, tak że można je sprowadzić do punktu materialnego (rys. 7. 1) siły działające na ciało można w przybliżeniu potraktować jako układ sił zbieżnych. Równania równowagi, na podstawie których oblicza się współczynnik tarcia μ dla ciała umieszczonego na równi nachylonej pod kątem α mają postać

skąd
(7.2)

Jeżeli kąt α jest zmienny i równia jest nachylona pod takim kątem α, przy którym ciało zaczyna się zsuwać, wówczas kąt ten nazywamy granicznym, a tangens α jest równy współczynnikowi tarcia μ. Schemat ten wyjaśnia sens fizyczny współczynnika tarcia.

W obliczeniach należy uwzględniać wymiary ciała i wówczas siły działające na element muszą spełniać warunki równowagi płaskiego układu sił (6.1). Wówczas równania równowagi dla ciała, leżącego na równi nachylonej pod kątem α mają postać

⇒

oraz

Rys. 7. 2. Rzeczywisty schemat sił tarcia, a) na płaszczyźnie, b) na równi pochyłej.

Przykład. Obliczyć siłę S potrzebną do zahamowania koła o promieniu r obciążonego momentem M. Dane : M, a, b, c, r, h, μ.

Rys. 7. 3. Schemat działania hamulca bębnowego.

7. 1. Tarcie cięgien (wzór Eulera)

Cięgnami nazywamy elementy przenoszące siły rozciągające, jeżeli cięgna te (liny lub taśmy) opasują walcowe elementy urządzeń może między nimi wystąpić tarcie - w ten sposób wykonywane są np. hamulce taśmowe. Rozpatrzmy siły S₁ i S₂ działające na linę opasującą walec na długości s, określonej kątem α i promieniem r (s = α⋅r) Jeżeli występuje tarcie między liną i walcem, a siły S₁ i S₂ nie są równe np. S₂ > S₁ (rys. 7.4.), równowaga układu jest możliwa tylko wtedy gdy siła tarcia T działająca w strefie kontaktu, łącznie z siłą S₁ da taki sam moment jak siła S₂. Zakładając równowagę układu rozpatrujemy element cięgna ds oraz przyjmujemy warunek równowagi granicznej taki, że elementarne siły tarcia dT działające na element ds będą powiązane z naciskiem normalnym dN prawem tarcia (dT = μ dN).

Rys. 7. 4. Siły tarcia działające na walec opasany liną na którą działają siły S₁ i S₂ .

Rozpatrując warunki równowagi elementu cięgna o długości r⋅dϕ na podstawie rzutów sił działających na element liny (na osie poziomą i pionową), otrzymujemy zależności między elementarną siłą tarcia dT oraz przyrostem siły dS.

po uwzględnieniu, że dla elementarnych kątów dϕ → 0 ⇒ cos (dϕ/2) ≅ 1 i sin(dϕ/2) → 0

otrzymujemy zależności między elementarną siłą tarcia dT oraz przyrostem siły dS.

zatem

całkując obustronnie otrzymujemy
skąd

po wprowadzeniu nowej stałej C = e^A otrzymujemy zależność na siłę S w cięgnie

stałą całkowania C wyznaczamy z warunku: dla ϕ = 0 siła S = S₁ skąd C = S₁ oraz dla

ϕ = α S = S₂ otrzymujemy wartość siły S₂ dla kąta opasania walca α oraz współczynnika tarcia μ.

(7. 4)

Wzór ten nosi nazwę wzoru Eulera dla hamulców cięgnowych.

8. Zagadnienia statycznie wyznaczalne i niewyznaczalne.

Przedstawione poprzednio zasady obliczeń układów sił działających na elementy konstrukcji dotyczą płaskiego układu sił i sprowadzają się do spełnienia układu 3 równań równowagi.

Zatem rozwiązanie zagadnienia sprowadza się do rozwiązania równań statyki i wyznaczenia trzech niewiadomych wielkości. Klasyczny przypadek układu statycznie wyznaczalnego przedstawiono na poniższym rysunku. Sztywna płyta o ciężarze Q, obciążona siłą P jest podparta na podporze przegubowej w punkcie A oraz zawieszona na pręcie BC. Na rysunku pokazano składowe reakcji na podporze A oraz siłę w pręcie BC po uwolnieniu od więzów.

Rys. 8. 1. Płyta podparta na podporze A oraz zawieszona na pręcie BC.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać zadanie, należy rozwiązać układ 3 równań równowagi,

,
,

siłę S można obliczyć z warunku sumy momentów względem punktu A,

⇒

a następnie wykorzystując pozostałe równania obliczyć reakcje R_Ax i R_Ay.

W przypadku konstrukcji złożonych z kilku elementów należy zbadać możliwość rozłożenia układu na proste elementy (podukłady) statycznie wyznaczalne. Podamy przykład takiej konstrukcji.

Dla układu przedstawionego na rys. 8. 2. obliczyć reakcje w punktach A i D oraz siłę w pręcie CG. Na podporach przegubowo nieprzesuwnych A i D wystąpią po dwie składowe reakcji: R_AX, R_AY, R_DX, R_DY, zatem mamy cztery niewiadome, aby rozwiązać zadanie należy rozwiązać układ czterech równań. Rozdzielając układ na dwie belki AB oraz BD i zastępując ich wzajemne oddziaływanie siłą R_B otrzymujemy dwa układy statycznie wyznaczalne, które można łatwo rozwiązać stosując równania statyki. Sposób rozdzielenia belki oraz siły reakcji występujące na podporach i w pręcie CG po uwolnieniu od więzów pokazano na rys. 8. 3.

Rys. 8. 2. Układ trójprzegubowy, belki AB i BD są połączone przegubowo.

Rys.8. 3. Przykład rozdzielenia konstrukcji na dwa układy statycznie wyznaczalne.

Rys.8. 4. Przykład konstrukcji statycznie niewyznaczalnej.

Przykład konstrukcji statycznie niewyznaczalnej - na podporach przesuwnych A i B wystąpią reakcje pionowe R_AY i R_BY, a na podporze C przegubowo - nieprzesuwnej dwie składowe reakcji R_CX i R_CY, zatem mamy cztery niewiadome a tylko trzy równania i układu nie można rozłożyć na prostsze elementy. Takie układy zwane statycznie niewyznaczalnymi rozwiązujemy innymi metodami.

Przykłady obliczeń dowolnego płaskiego układu sił.

Aby ułatwić zrozumienie stosunkowo prostych zadań statycznie wyznaczalnych podano przykłady obliczeń konstrukcji statycznie wyznaczalnych.

1. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i D.

Rys. 8. 5. Sztywna belka AD podparta przegubowo nieprzesuwnie w punkcie A oraz na podporze rolkowej D nachylonej pod kątem α.

Aby rozwiązać zadanie, należy rozwiązać układ 3 równań równowagi.

2. Sztywna belka AC jest podparta przegubowo w punkcie C oraz zawieszona na pręcie BD. Obliczyć siłę S w pręcie BD oraz reakcje w punkcie C spowodowane obciążeniem siłą P.

Rys. 8.6. Schemat statyczny belki.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać zadanie, po uwolnieniu od więzów i wprowadzeniu sił reakcji, należy rozwiązać układ 3 równań równowagi,

przy czym siłę S należy obliczyć z warunku sumy momentów względem punktu C,

a następnie wykorzystując pozostałe równania obliczyć reakcje.

,
,

Rys. 8. 7. Siły działające na belkę po uwolnieniu od więzów

9. Kratownice płaskie

Kratownicami nazywamy konstrukcje składające się z prętów połączonych ze sobą w taki sposób, który zapewnia geometryczną niezmienność struktury, przy założeniu, że pręty są nieodkształcalne. Klasycznym przykładem kratownic są konstrukcje mostowe, słupy trakcji wysokiego napięcia, konstrukcje dźwigów, suwnic i tym podobne. Szczególnym przykładem konstrukcji kratownicowych jest wieża Eiffla w Paryżu.

Przykład kratownicy przedstawiono na rys. 9.2. Przegubowy sposób połączenia prętów przyjmowany do obliczeń narzuca założenie, że w kratownicach obciążonych w węzłach pręty mogą być tylko ściskane lub rozciągane. Warunkiem geometrycznej niezmienności struktury jest założenie, że podstawowym elementem kratownicy jest trójkąt zbudowany z trzech prętów.

Rys. 9.1. Sposoby połączenia prętów: a) kratownica, b) mechanizm.

Warunek geometrycznej niezmienności przy założeniu statycznej wyznaczalności układu

można przedstawić następująco
(9.1)

gdzie p - jest liczbą prętów kratownicy, w - liczbą węzłów kratownicy.

Uzasadnienie powyższego wzoru jest następujące każdy pręt posiada 2 węzły, a dla układu płaskiego obowiązują 3 warunki równowagi.

Metody obliczania sił w kratownicach płaskich składających się zazwyczaj z dużej liczby prętów nastręczały wiele kłopotów. W epoce kiedy maszyn liczących nie było, a o zastosowaniu komputerów żaden konstruktor nie myślał, opracowano szereg prostych metod obliczeniowych. Obecnie z metod tych zrezygnowano, ponieważ metody numeryczne przy zastosowaniu równań statyki i odpowiednim oprogramowaniu umożliwiają niemal natychmiastowe wyznaczenie sił w kratownicach o dowolnie dużej liczbie prętów. Najprostszą taką metodą jest metoda równowagi węzłów, polegająca na tym, że dla każdego węzła kratownicy płaskiej układamy dwa równania równowagi, ponieważ każdy węzeł kratownicy jest układem sił zbieżnych. Po rozwiązaniu tych równań otrzymujemy wartości sił w prętach kratownicy. Metodę tę zilustrujemy kilkoma przykładami.

Oprócz metody równowagi węzłów powszechnie stosowana jest również metoda elementów skończonych, ale metoda ta wymaga zastosowania specjalnie ułożonych programów komputerowych.

Przykłady obliczania wartości sił w prętach kratownicy

1. Obliczyć siły w prętach kratownicy przedstawionej na rysunku 21.

Rys. 9.2. Kratownica wspornikowa obciążona siłami pionowymi.

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć siły w prętach kratownicy, najpierw należy obliczyć siły w punktach podparcia B i C traktując kratownicę jak ciało sztywne, a następnie dla każdego węzła zapisać układ 2 równań równowagi

Rys. 9.3. Przykład rozwiązania kratownicy metodą równowagi węzłów.

Reakcje w punktach podparcia B i C obliczamy na podstawie równań

,
,

Siły w prętach kratownicy obliczamy zakładając wstępnie, że wszystkie pręty kratownicy są rozciągane (siły w prętach pokazano na rys. 9.3), a następnie każdy węzeł uwalniamy od więzów i piszemy dla niego warunki równowagi. Jeżeli na podstawie równań równowagi w niektórych prętach otrzymamy ujemne wartości sił, to znaczy, że pręty te są ściskane. Rozwiązywanie zaczynamy od takiego węzła, w którym występują dwie nieznane wartości sił (dwie niewiadome), w naszym przypadku najłatwiej rozpocząć od węzła A, następnie należy rozpatrzyć równowagę węzłów: D, E i C oraz sprawdzić czy spełnione są warunki równowagi w punktach podparcia (B i C).

Przykłady kratownic do samodzielnego rozwiązania metodą równowagi węzłów

2. Obliczyć siły w prętach kratownicach przedstawionych na rysunkach 9.4. 9.5. i 9.6.

Rys. 9.4.

Rys. 9.5.

Rys. 9.6. Kratownica, której ramiona są wspornikami trakcji wysokiego napięcia.

Rys. 9.7. Słup trakcji wysokiego napięcia, klasyczny przykład konstrukcji kratownicowej.

10. Przestrzenne układy sił

10. 1. Przestrzenny układ sił zbieżnych.

Przestrzenny układ sił zbieżnych P_1, P_2,.. P_i przedstawiono schematycznie na rys. 10. 1. Każdą z sił P_i można określić jednoznacznie poprzez jej składowe będące rzutami siły na osie układu współrzędnych.

Rzutując poszczególne siły na osie układu współrzędnych otrzymujemy.

,
,
( 10. 1)

Rys. 10. 1. Zasady rzutowania w przestrzeni. Dla przejrzystości rysunku przedstawiono zasady rzutowania tylko jednej siły P_i. W przypadku dowolnej liczby sił zasady rzutowania są analogiczne.

10. 2 Dowolny przestrzenny układ sił.

Redukcja układu sił do wektora głównego R i momentu głównego M

Rys.10.2. Przykład przestrzennego układ sił.

Wykorzystując definicję momentu siły względem punktu jako iloczynu wektorowego, moment wypadkowej układu sił zbieżnych względem początku układu współrzędnych można zastąpić sumą momentów sił składowych.

Rys. 10. 3. Zasada redukcji przestrzennego układ sił zbieżnych do początku układu współrzędnych..

W przypadku dowolnego przestrzennego układu sił punkty przyłożenia sił określane są przez różne współrzędne, zatem przez różne wektory r. Przesuwając każdą z tych sił do początku układu współrzędnych otrzymujemy w tym punkcie układ sił zbieżnych, ale aby układ sił nie uległ zmianie należy dodać moment każdej z tych sił względem początku układu.

,
, ....
..

Każdy z tych momentów (
) można przedstawić poprzez jego składowe względem osi x, y, z, a następnie obliczyć sumy algebraiczne momentów składowych względem osi układu współrzędnych x, y, z. Mając sumy algebraiczne momentów składowych (M_ox, M_oy, M_oz) możemy obliczyć moment wypadkowy, nazywany również momentem głównym, który jest sumą geometryczną momentów składowych.

Dowolny przestrzenny układ sił można zastąpić wektorem głównym i momentem głównym, wówczas warunki równowagi sprowadzają się do wyzerowania obu tych wielkości.

Wektor główny R obliczamy wg wzoru

(10. 2)

Momenty siły P_i względem osi x, y, z wynoszą odpowiednio

(10. 3)

Moment główny jest wektorem, natomiast jego składowe są sumami momentów względem osi przestrzennego układu współrzędnych x, y, z.

(10. 4)

Wartość momentu głównego M obliczamy wg wzoru

(10. 5)

Rys. 10. 4. Redukcja wektora głównego R do początku układu współrzędnych.

Na rysunku 10. 4. przedstawiono schematyczny sposób redukcji wektora R_i do początku układu współrzędnych. Aby przesunąć wektor R_i do punktu O przykładamy do tego punktu zerowy układ sił (±R_i) - wówczas oznaczone na rysunku prostokątami siły tworzą parę sił o momencie M_i.

Dowolny przestrzenny układ sił - warunki równowagi.

Aby układ sił znajdował się w równowadze zarówno wektor główny R jak i moment główny M muszą być równe zeru. Zatem składowe wektora R oraz składowe momentu głównego M muszą być równe zeru. Warunki równowagi w przypadku przestrzennego układu sił sprowadzają się do spełnienia układu 6 równań.

(10. 6)

Rys. 10. 5. Schemat przestrzennego układu sił P_i (i=1,2..n). Dla przejrzystości rysunku przedstawiono zasady rzutowania tylko jednej siły P_i. W przypadku dowolnej liczby sił zasady rzutowania są analogiczne.

PRZYKŁAD

Obliczyć siły reakcji (R_AY, R_AZ, R_BX, R_BY, R_BZ) w łożyskach A i B utrzymujących wał, na którym zamocowano koła. Dane do obliczeń: P, R, l.

Rys. 10. 6. Schemat obciążenia wału siłami P i S.

Aby rozwiązać zadanie, należy rozwiązać układ 6 równań równowagi, przy czym siłę S należy obliczyć z warunku sumy momentów względem osi x
, a następnie wykorzystując pozostałe równania obliczyć reakcje w łożyskach.

27. Środek sił równoległych - środki ciężkości. Tw. Guldina - Pappusa.

Układ sił w przestrzeni, których linie działania są równoległe nazywamy układem sił równoległych. Przykładami takich układów sił mogą być siły masowe, powierzchniowe, elektromagnetyczne.

Środek sił równoległych w odniesieniu do sił masowych nazywamy środkiem ciężkości. Dzieląc ciało na małe elementy o ciężarze ΔG_i oraz wykorzystując równania sum momentów względem osi x, y i z otrzymujemy odpowiednio.

⇒

⇒

a) b)

Rys.11.1. Schematy sił działających na ciało a) elementarne siły ciężkości ΔG_i, b) zastąpienie sił elementarnych ciężarem ciała G.

Ponieważ suma elementarnych siły ciężkości ΔG_i jest równa ciężarowi ciała, a moment wypadkowej G, (która jest ciężarem ciała) jest równy sumie momentów elementarnych sił ciężkości ΔG_i, zatem możemy napisać

Aby wyznaczyć położenie współrzędnej środka ciężkości wzdłuż osi z obciążamy ciało siłami ΔG_i równoległymi do osi z, wówczas otrzymujemy

a) b)

Rys. 11. 2. Zmiana zwrotów sił równoległych równolegle do osi y - a) elementarne siły ΔG_i , b) zastąpienie sił elementarnych siłą G skierowaną równolegle do osi y.

W przypadku ciał jednorodnych ciężar możemy przedstawić jako iloczyn ciężaru właściwego γ_i pomnożonego przez objętość - ΔG _i= ΔV_i⋅γ_i (lub masę jako iloczyn masy właściwej i objętości) zatem po uproszczeniu otrzymujemy

(11. 1)

Dzieląc ciało na nieskończoną liczbę elementów i stosując zapis całkowy otrzymujemy

(11. 2)

Postępując w analogiczny sposób obliczamy współrzędne środków ciężkości elementów o powierzchni (F) i grubości (g) oraz linii l o przekroju F wg wzorów:

(11. 3)

Rys. 11. 3. Schematy sił działających na ciało o powierzchni F oraz na linię o przekroju S.

Współrzędne środków ciężkości linii

(11. 4)

Przykłady obliczeń współrzędnych środków ciężkości elementów o powierzchni (F)

i grubości g) oraz linii l o przekroju S

1. Współrzędną środka ciężkości łuku okręgu o promieniu r i kącie 2α obliczamy wg wzoru

⇒
oraz

zatem
dla półkola α=π/2
(11. 5)

Rys. 11. 4. Łuk o promieniu r i kącie 2α

2. Współrzędną środka ciężkości wycinka koła o promieniu r i kącie 2α obliczamy w podobny sposób zakładając, że wycinek składa się nieskończonej liczby trójkątów. Linia położenia ich środków ciężkości jest łukiem o promieniu r_s=(2/3)r. Zatem współrzędna środka ciężkości wycinka koła jest równa współrzędnej środka ciężkości tego łuku i wynosi

np. dla półkola α=π/2 oraz
(11. 6)

Rys. 11. 5. Wycinek koła o promieniu r i kącie 2α

3. Współrzędną środka ciężkości trójkąta o podstawie b i wysokości h obliczamy ze wzorów (11.3)

gdzie



(11. 7)

Rys. 11. 6. Trójkąt o podstawie b i wysokości h

4. Współrzędną środka ciężkości wycinka czaszy kulistej (czaszy spadochronu) o promieniu r i kącie 2α obliczamy wg wzoru

zatem

(11. 8)

oraz

Rys. 11. 7. Wycinek czaszy kulistej o promieniu r i kącie 2α.

Przykłady obliczeń współrzędnych środków ciężkości figur płaskich

W przypadku powierzchni składającej się z kilku elementów o znanych powierzchniach (F_i) i znanych współrzędnych środków ciężkości poszczególnych figur (x_i,y_i) przy wyznaczaniu globalnych współrzędnych należy korzystać ze wzorów

(11. 9)

Obliczyć współrzędną środka ciężkości y_c figur przedstawionych na poniższych rysunkach

Rys. 11. 8. Przykłady do obliczeń współrzędnych środków ciężkości figur.

Rys. 11. 9. Przykłady do obliczeń współrzędnych środków ciężkości figur.

Twierdzenia Guldina - Pappusa.

Twierdzenia Guldina - Pappusa wyjaśnimy na prostych przykładach. Na rysunku 11.10 przedstawiono stożek ścięty, powierzchnię boczną stożka i jego objętość można obliczyć stosując twierdzenia Guldina - Pappusa.

Rys. 11. 10. Stożek ścięty, oznaczenia zastosowane do obliczeń: a) powierzchni obrotowej, b) objętości za pomocą twierdzeń Guldina - Pappusa.

1. Powierzchnia boczna bryły obrotowej utworzonej przez obrót płaskiej linii wokół osi leżącej w płaszczyźnie tej linii jest iloczynem drogi środka ciężkości tej linii (2πx_c) pomnożonej przez jej długość (l).

(11. 10)

2. Objętość bryły obrotowej powstałej wskutek obrotu figury płaskiej dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury jest równa iloczynowi drogi środka ciężkości (2πx_c), powierzchni figury (F), przez jej powierzchnię.

(11. 11)

Przykład obliczenia powierzchni bocznej i objętości stożka ściętego (rys. 11.10)

Powierzchina boczna stożka ściętego wg wzoru (11.10) wynosi

gdzie

objętość stożka ściętego wg wzoru (11.11)

gdzie
oraz

Uwaga: współrzędną środka ciężkości x_c figury F_p (trapezu) względem pionowej osi obrotu można obliczyć dzieląc go na prostokąt i trójkąt jak na rysunku 11.10 b, objętość stożka ściętego można również obliczyć klasycznymi metodami stosowanymi w trygonometrii, wiedząc że całkowita wysokość stożka w tym wypadku wynosi
, pozostałe obliczenia zostawiamy czytelnikowi.

Przykład obliczenia powierzchni i objętości torusa i kuli

Powierzchnia torusa wynosi

objętość torusa

Rys. 11. 11. Proste przykłady do zastosowania twierdzenia Guldina - Pappusa.

Powierzchnia kuli wynosi F = 2π (2r/π)⋅πr = 4πr²

objętość kuli

12. Przykłady zadań

Przykład.1. Obliczyć siłę S potrzebną do zahamowania koła o promieniu r obciążonego momentem M. Dane : M, a, b, c, r, h, μ.

Rys. 11. 12. Uproszczony schemat działania hamulca.

Przykład.2. Obliczyć siłę S potrzebną do zahamowania koła o promieniu r obciążonego siłą P. Dane: P, a, b, c, R, r, h, μ.

Rys. 11. 13. Przykład działania hamulca przy opuszczaniu ciężarów.

Przykład.3. Obliczyć minimalną siłę S potrzebną do wciągnięcia ciężaru Q na niewielką wysokość h. Dane: Q, h, a, r, α, μ. Punkty zamocowania łożysk kół A i B są nieruchome. Koło C może przesuwać się bez tarcia po poziomej płaszczyźnie.

Rys. 11. 14. Przykład wciągania ciężaru po równi pochyłej.

Przykład. 4. Obliczyć siłę S, taką aby układ znajdował się w równowadze, a następnie siły R i V, działające na słup o wysokości h. Dane: H, h, a, d, R, r, α.

Rys. 11. 15. Przykład urządzenia do naciągania lin.

Przykład.5. Obliczyć siły reakcji (R_AY, R_AZ, R_BX, R_BY, R_BZ) działające na łożyska (p. A i B) utrzymujące wał, na którym zamocowano koła. Dane do obliczeń: P, R, l.

Rys. 11. 16. Układ sił działających na wał obciążony siłami P i S.

31

Przegub kulisty

Przegub walcowy

---