Ad1.Definicja stanów - ustalonego i nieustalonego

Stan liniowy obwodu elektrycznego, który charakteryzuje się przejściem od jednego do drugiego stanu ustalonego nazywa się stanem nieustalonym

Przez stan ustalony rozumiemy taki stan obwodu w którym charakter odpowiedzi na wymuszenie jest bądź stały bądź okresowy zależny od wymuszenia. Przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego stanu następuje zazwyczaj przez skokową zmianę wymuszenia np. przez zamknięcie bądź otwarcie wyłącznika W.

Ad2. Metoda klasyczna określenia przebiegów nieustalonych

Metodą klasyczną rozwiązywania obwodów w stanie nieustalonym nazywamy wyznaczenie całki ogólnej równania różniczkowego niejednorodnego o stałych współczynnikach.

x- jest to odpowiedź

f(t) jest związane z wymuszeniami , którymi są prądy lub napięcia źródłowe. Przyjmuje się , że danych jest n warunków początkowych x(0) ; x^΄(0) ; ...x^(n-1)(0). Rozwiązanie równania składa się z dwóch członów X=X_wym+X_sw zwanych składowymi :wymuszoną (ustaloną) , która jest rozwiązaniem całki szczególnej równania niejednorodnego i składowej swobodnej (zaburzeniowej) zwanej inaczej przejściową X_p , która jest całką ogólną równania różniczkowego jednorodnego.

Z tego wynika, że metodą klasyczną rozwiązywania obwodów w stanie nieustalonym nazywamy wyznaczenie całki ogólnej równania różniczkowego niejednorodnego o stałych współczynnikach.

Ad3. Warunki początkowe.

Warunki istniejące w chwili komutacji nazywamy warunkami początkowymi. Warunki początkowe charakteryzują energię pola elektrycznego i magnetycznego nagromadzoną do chwili komutacji czyli napięcie i prąd odpowiednio o wartościach U_C0 i I_L0.

warunki początkowe	W chwili komutacji	Po komutacji

Po komutacji cewki w obwodzie zastępuje się zwarciami a kondensatory rozwarciami obwodu.

Ad4. Prawo komutacji.

Przyjmując że komutacja zachodzi momentalnie ,tzn. ,że włączenie (wyłączenie) lub przełączenie nie wymaga czasu. Jednak przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego wymaga pewnego czasu. Wynika to stąd , że energia pola magnetycznego cewki W_L i pola elektrycznego kondensatora W_C

mogą się zmieniać jedynie płynnie a nie skokowo , gdyż przy zmianie skokowej moc równa pochodnej energii względem czasu osiągnęłaby wartość nieskończoną co jest fizycznie niemożliwe. W związku z tym przy stałej indukcyjności prąd w cewce musi zmieniać się w sposób ciągły. Podobna uwaga dotyczy napięcia na kondensatorze.

i_L(0^-)=i_L(0⁺) i u_C(0^-)=u_C(0⁺) (1), gdy komutacja zachodzi dla t=0.

Podobnie strumień Ψ skojarzony z cewką oraz ładunek q kondensatora muszą się zmieniać w sposób ciągły , czyli
i

W przypadku skokowej zmiany strumienia Ψ (ładunku q) powstałoby na indukcyjności napięcie nieskończenie duże (przepływałby przez pojemność prąd nieskończony), a to jest pozbawione sensu fizycznego.

Ciągłość Ψ i q w chwili komutacji zapisujemy Ψ(0^-)= Ψ(0⁺) i q(0^-)=q(0⁺) (2)

Wzory (1) ,(2) noszą nazwę praw komutacji.

Ad5. Strzałkowanie

Ad6. Impuls Diraca (delta Diraca) skok jednostkowy

Funkcję impulsową pierwszego rzędu (f. Diraka) def. jako:

Funkcja impulsowa II rzędu

Wstawiliśmy na miejsce δ(t) wyrażenie 1(t) - 1(t - a) dzielone przez a i podobnie dla δ(t - a)

Rozpatrzmy całkę oznaczoną funkcji ciągłych f(t)

I =

Gdy <t₁,t₂> zawiera przedział <0;a> oraz gdy a jest bliskie zero mówimy że funkcja δ(t,a) wyfiltrowuje z całki I funkcje f(t) dla argumentu t = 0

Ad 7. Przekształcenie jednostronne (proste) i odwrotne Laplace`a.

Przekształcenie jednostronne jest określone zależnością

Jeżeli funkcja f(t) jest rozwiązaniem równania różniczkowego Laplace`a co zapisujemy

- przekształcenie odwrotne Laplace`a

Ad 8. Podstawowe właściwości przekształcenia Laplace`a

1. Liniowość

2. Transformata całki

3. Transformata pochodnej

4- Przesunięcie w dziedzinie zespolonej

5- Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej

Ad 9. Elementy R,L,C zawierające energię i ich odpowiedniki w dziedzinie operatorowej

Oryginał	Postać operatorowa

Ad 10 Metody wyznaczania oryginału funkcji F(s)

Jedną z metod wyznaczania oryginału jest metoda rozkładu na ułamki proste.

L,M - wielomiany o współczynnikach rzeczywistych

1 przypadek pojedynczych pierwiastków rzeczywistych

współczynniki K_i wyznaczamy z zależności

2 przypadek pojedynczych pierwiastków zespolonych

s_1,2= α±jβ

jeśli pierwiastki s_1,2 są sprzężone

3 przypadek pierwiastków wielokrotnych

ogólny wzór umożliwiający wyznaczenie K₀...K_n-1

Ad 11 Prawa Kirchhoffa w postaci operatorowej

I prawo Kirchhoffa

II prawo Kirchhoffa

e_k- gałęziowe siły elektromotoryczne, u_k0, i_k0 - warunki początkowe na elementach reaktancyjnych, Z_k(s)- impedancja operatorowa

Cs

CU₀

C

U₀

C

Ls

L

Ls

LsJ₀

Ls

L

R

R

i_C

C

U_C

C

i_C

U_C

i_L

L

J₀

U_L

L

U_R

i_R

R

U_R

i_R

R

U₀

C

U₀

i

L

C

J₀

L

R

R

R

f(t)

1/a²

0 a 2a t

Gdy t­₀ leży

wewnątrz odcinka <t_1,t₂>

dla t₀ leżącego na zewnątrz odcinka <t₁,t₂>

f(t) 1/a

δ(t,a)

t₁ 0 t₂ t

- 1/a²

---