EAIiE		Maciej Dec Marcin Frankiewicz			Zespół 3
Grupa 2		Pole elektrostatyczne			Ćwiczenie nr 31
Data wykonania	Data oddania	Zwrot do popr.	Data oddania	Ocena	Podpis

Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych wielkości opisujących pole elektrostatyczne, wyznaczenie powierzchni ekwipotencjalnych i wektorów natężenia pola elektrycznego na płaszczyźnie dla różnych konfiguracji elektrod.

Wprowadzenie

Pole elektrostatyczne wytwarzają w przestrzeni nieruchome ładunki elektryczne. Pole elektryczne można opisać wektorowo i skalarnie (natężenie i potencjał).

Przez natężenie pola elektrycznego E w danym punkcie rozumiemy stosunek siły działającej w tym punkcie na ładunek próbny dodatni Q_o­ do wartości tego ładunku:

Wektor natężenia pola ma kierunek zgodny z kierunkiem siły F, działającej na dodatni ładunek próbny Q_o.

Różnica potencjałów elektrycznych między A i B wyznaczamy przesuwając ładunek próbny Q_o z A do B i mierzymy pracę, którą należy wykonać.

Przyjmując V_A=0 (nieskończoność) możemy określić potencjał elektryczny w dowolnym punkcie.

Zbiór punktów, w których potencjał jest jednakowy nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

Metody wyznaczania pola elektrostatycznego:

Znalezienie rozkładu pola przy zadanej konfiguracji ładunków polega na określeniu w każdym punkcie przestrzeni funkcji opisujących jego natężenie E(x, y, z) i potencjał skalarny V(x, y, z).Jest to wykonalne albo na drodze matematycznej przez rozwiązanie podstawowych równań elektrostatyki, np. Gaussa, Laplace'a czy Poissona, albo na drodze doświadczalnej.

Metody doświadczalne oparte są głównie na tak zwanym modelowaniu analogowym, tj. zastąpieniu pola elektrostatycznego polem innego rodzaju, o takim samym rozkładzie funkcji, które je opisują, z tą różnicą, że są łatwiejsze do zmierzenia.

Wygodnym modelem pola elektrostatycznego jest np. pole elektryczne wywołane przez przepływ ładunków w przestrzeni wypełnionej materiałem o określonej przewodności elektrycznej.

W celu uzasadnienia równoważności pola elektrostatycznego w przestrzeni bez ładunków i stacjonarnego pola przepływu prądu w przestrzeni o stałej oporności właściwej ρ należy wyjść od prawa Ohma w zapisie mikroskopowym,

, (1)

które wiąże wektor gęstości prądu j z wektorem natężenia pola elektrycznego E . Wektor E jest związany z polem potencjału V zależnością E=-gradV .

Obliczamy dywergencje obu stron równania (1). Z prawa zachowania ładunku elektrycznego wynika, że pole j jest bezźródłowe, czyli divj=0.

Zatem

,

czyli

(2)

Otrzymaliśmy rezultat, że dla stacjonarnego pola przepływu prądu potencjał v spełnia równanie Laplace'a ,tak samo jak w przypadku pola elektrostatycznego w przestrzeni bez ładunków.

W naszym ćwiczeniu w metodzie modelowania pola elektrycznego wykorzystujemy papier przewodzący .

Ta metoda pozwala na bezpośrednie wyznaczenie potencjału w określonych punktach pola. Wartości potencjału wyznacza się przez pomiar napięcia woltomierzem o dużej oporności właściwej w węzłach siatki płaskiej Przy odpowiednim zagęszczeniu punktów pomiarowych daje się wyznaczyć przebieg linii ekwipotencjalnych, a na ich podstawie obliczyć wartość natężenia pola oraz przebieg linii sił.

Przybliżoną wartość natężenia pola E uzyskujemy obliczając numerycznie gradient potencjału:

, (3)

gdzie: h, k są krokami siatki. Przeważnie h=k.

Pole elektryczne kondensatora cylindrycznego

kondensator ten stanowi bardzo prostą konfiguracje ładunków, dla której łatwo można znaleźć rozkład pola elektrostatycznego.

Rozważmy długi kondensator cylindryczny.

Przez zastosowanie prawa Gaussa

i po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy wektor pola elektrycznego E skierowany wzdłuż promienia r prostopadłego do osi walca:

Korzystając ze związku
wyznaczamy potencjał. Przyjmując odpowiednie warunki brzegowe V(r=a)=U , V(r=b)=0 otrzymujemy końcowe formuły na rozkład potencjału i natężenie pola w kondensatorze cylindrycznym:

(4)

Opracowanie wyników :

KONDENSATOR CYLINDRYCZNY

Z równań (4) przedstawionych we wprowadzeniu wynika, że rozkłady pola elektrycznego E(r) oraz potencjału V(r) w kondensatorze cylindrycznym nie zależą od długości kondensatora l. Badamy więc pole na płaskim modelu w postaci dwu pierścieni koncentrycznych. Metalowe elektrody są umieszczone na papierze przewodzącym, na którym wyznaczono punkty pomiarowe w postaci otworów. Na te elektrody podaje się niewielkie napięcie z zasilacza.

Jedynym używanym w ćwiczeniu miernikiem jest laboratoryjny woltomierz cyfrowy.

Wymiary kondensatora

promień mniejszy a = 2 [cm]

promień większy b = 10 [cm]

Napięcie między okładkami kondensatora U=20 [V]

Wartości natężenia pola i potencjału obliczamy ze wzorów:

r [cm]	Va [V]	Vb [V]	Vc [V]	Vdośw [V]	Vteor [V]		Edośw [V/m]	Eteor [V/m]
2,7	4,96	5,05	5,37	5,13	4,00	0,37	381	410
3,4	7,55	7,67	8,17	7,80	7,08	0,2	345	333
4,1	10,03	10,05	10,56	10,21	9,57	0,14	269	281
4,8	11,96	11,90	12,43	12,10	11,67	0,11	231	243
5,5	13,71	13,51	13,93	13,72	13,49	0,1	205	214
6,2	15,10	15,14	15,22	15,15	15,09	0,07	175	191
6,9	16,28	16,33	16,52	16,38	16,51	0,06	154	172
7,6	17,35	17,41	17,60	17,45	17,80	0,05	163	157
8,3	18,68	18,52	18,59	18,60	18,97	0,05

KONDENSATOR PŁASKI

x [cm]	Va [V]	Vb[V]	Vc[V]	Vd [V]	Ve [V]	Vdośw [V]	Vteor [V]		Edoś [V/m]
0,005	2,20	2,20	2,27	2,16	2,13	2,19	2	0,05	402,00
0,015	5,85	6,28	6,29	6,26	6,38	6,21	6	0,21	358,00
0,025	9,94	9,80	9,80	10,02	9,40	9,79	10	0,24	369,00
0,035	13,45	13,74	13,21	13,69	13,32	13,48	14	0,23	363,20
0,045	16,76	17,69	16,72	17,25	17,15	17,11	18	0,40	577,20

V_dośw zostało wyznaczone jako średnia arytmetyczna wartości V leżących w jednakowych odległościach od jednej z okładek kondensatora.

V_teor zostało wyznaczone zgodnie ze wzorem

E_teor jest stałe i wynośi zgodnie ze wzorem
wynosi E_teor=400V/m.

Wnioski

Zdecydowana większość pomiarów potencjału dla kondensatora cylindrycznego jest wyższa niż by to wynikało z teorii. Można z tego wnioskować że istnieje błąd systematyczny najprawdopodobniej związany z oporem papier-sonda. Opór papier-sonda z kolei zależy od siły docisku sondy. Istnienie tych nieuwzględnianych błędów jest prawdopodobnie odpowiedzialne za to, że zmierzone wartości potencjału nie mieszczą się w granicach błędu z wartościami obliczonymi z teorii. Dodatkowo przy pomiarach dotyczących kondensatora płaskiego istnieją błędy systematyczne wynikające z przybliżenia kondensatora płaskiego skończonego kondensatorem nieskończonym.

---